Esercizio - pendolo
Salve a tutti,
ho trovato questo esercizio e non capisco come risolvere il secondo punto.
"Un pendolo conico è formato da un filo inestensibile trascurabile, fissato ad una estremità ad un supporto e l'altra ad una massa di dimensioni trascurabili, che in questo modo è libera di muoversi su una superficie sferica, centrata sul punto di supporto (non consideriamo moti confinati in un piano verticale).
In una data situazione la massa si muove tra una quota massima ed una quota minima, che si differenziano tra di loro per una quantità $DeltaH$. Sapendo che nel punto di quota più alto della traiettoria la massa ha una velocità $V1$ e si trova ad una distanza $R1$ dalla verticale del supporto:
1) Determinare la velocità della massa nel punto di quota più basso
2) Determinare la distanza della massa nel punto di quota più basso, dalla verticale del supporto
Allora il primo punto l'ho risolto sfruttando il principio di conservazione dell'energia meccanica. Il secondo punto invece non credo di averlo capito bene, c'è qualcuno che mi può dare un suggerimento?
Non capisco se chiede la lunghezza del filo, oppure la distanza che c'è tra il punto di quota più basso di $DeltaH$ e la linea immaginaria verticale che passa per il punto di "attaccatura" del pendolo.
ho trovato questo esercizio e non capisco come risolvere il secondo punto.
"Un pendolo conico è formato da un filo inestensibile trascurabile, fissato ad una estremità ad un supporto e l'altra ad una massa di dimensioni trascurabili, che in questo modo è libera di muoversi su una superficie sferica, centrata sul punto di supporto (non consideriamo moti confinati in un piano verticale).
In una data situazione la massa si muove tra una quota massima ed una quota minima, che si differenziano tra di loro per una quantità $DeltaH$. Sapendo che nel punto di quota più alto della traiettoria la massa ha una velocità $V1$ e si trova ad una distanza $R1$ dalla verticale del supporto:
1) Determinare la velocità della massa nel punto di quota più basso
2) Determinare la distanza della massa nel punto di quota più basso, dalla verticale del supporto
Allora il primo punto l'ho risolto sfruttando il principio di conservazione dell'energia meccanica. Il secondo punto invece non credo di averlo capito bene, c'è qualcuno che mi può dare un suggerimento?
Non capisco se chiede la lunghezza del filo, oppure la distanza che c'è tra il punto di quota più basso di $DeltaH$ e la linea immaginaria verticale che passa per il punto di "attaccatura" del pendolo.
Risposte
nessuno mi da un aiutino? 
"Optimus Prime":
...
Non capisco se chiede la lunghezza del filo, oppure la distanza che c'è tra il punto di quota più basso di $DeltaH$ e la linea immaginaria verticale che passa per il punto di "attaccatura" del pendolo.
Io direi la seconda che hai detto.
Mi spiace ma io non so aiutarti 
non capisco proprio cosa è richiesto nel punto 2.... a me sembra la lunghezza del filo, l'altra ipotesi che fai tu non l'ho capita neanche 
non capisco proprio cosa è richiesto nel punto 2.... a me sembra la lunghezza del filo, l'altra ipotesi che fai tu non l'ho capita neanche
"Optimus Prime":
nessuno mi da un aiutino?
Non sono sufficienti i dati
Se fosse data la tensione della corda nel punto più alto...
Riguardo al punto 2 io ragionerei così.
Dette $V_1$ e $V_2$ le velocità già calcolate nel punto più alto e più basso della traiettoria, queste velocità sono certamente ortogonali al filo, che supponiamo di lunghezza $r$, ed entrambe perfettamente orizzontali.
Allora si possono determinare i corrispondenti momenti angolari rispetto al punto di sospensione:
$L_1 = rmV_1$ e $L_2 = rmV_2$
Prendiamo in considerazione le forze che agiscono sulla massa. Esse sono: la gravità e la tensione del filo.
Rispetto al punto di sospensione la tensione del filo dà momento nullo, mentre la gravità dà momento diverso da zero.
Tuttavia poiché il momento dovuto alla gravità è costituito dal prodotto vettoriale del vettore distanza per il vettore forza di gravità, questo momento è ortogonale a entrambi. In particolare è ortogonale alla forza di gravità, dunque deve giacere su un piano orizzontale. Pertanto la sua componente nel verso z (verticale) deve essere nulla. Ne consegue che la componente secondo z (verticale) del momento angolare della massa non subisce alcuna variazione. In particolare calcoliamo questa componente verticale nei due punti di massima e minima altezza:
$L_{1z} = rmV_1\sin \theta _1$ e $L_{2z} = rmV_2\sin \theta _2$
dove gli angoli sono quelli tra il vettore L e la verticale.
Essendo però:
$\sin \theta _1 = \frac{R_1}{r}$ e $\sin \theta _2 = \frac{R_2}{r}$
si ricava la relazione finale:
$R_2 = \frac{V_1}{V_2}R_1$
($R_2$ e $R_1$ sono le distanze dalla verticale)
Però se ho detto delle fesserie fatemelo notare, grazie.
Dette $V_1$ e $V_2$ le velocità già calcolate nel punto più alto e più basso della traiettoria, queste velocità sono certamente ortogonali al filo, che supponiamo di lunghezza $r$, ed entrambe perfettamente orizzontali.
Allora si possono determinare i corrispondenti momenti angolari rispetto al punto di sospensione:
$L_1 = rmV_1$ e $L_2 = rmV_2$
Prendiamo in considerazione le forze che agiscono sulla massa. Esse sono: la gravità e la tensione del filo.
Rispetto al punto di sospensione la tensione del filo dà momento nullo, mentre la gravità dà momento diverso da zero.
Tuttavia poiché il momento dovuto alla gravità è costituito dal prodotto vettoriale del vettore distanza per il vettore forza di gravità, questo momento è ortogonale a entrambi. In particolare è ortogonale alla forza di gravità, dunque deve giacere su un piano orizzontale. Pertanto la sua componente nel verso z (verticale) deve essere nulla. Ne consegue che la componente secondo z (verticale) del momento angolare della massa non subisce alcuna variazione. In particolare calcoliamo questa componente verticale nei due punti di massima e minima altezza:
$L_{1z} = rmV_1\sin \theta _1$ e $L_{2z} = rmV_2\sin \theta _2$
dove gli angoli sono quelli tra il vettore L e la verticale.
Essendo però:
$\sin \theta _1 = \frac{R_1}{r}$ e $\sin \theta _2 = \frac{R_2}{r}$
si ricava la relazione finale:
$R_2 = \frac{V_1}{V_2}R_1$
($R_2$ e $R_1$ sono le distanze dalla verticale)
Però se ho detto delle fesserie fatemelo notare, grazie.
I passaggi che hai scritto sono giusti, ammesso che si conosca la velocità $V_2$. Questa però non è un dato del problema ma è stato ricavata applicando il teorema delle forze vive.
Alla base della dimostrazione di questo teorema sta l'applicazione del secondo princpio della dinamica, come anche nella formulazione delle equazioni cardinali della dinamica. In poche parole hai applicato due volte lo stesso principio, cioè hai utilizzato due equazioni che non sono indipendenti.
Alla base della dimostrazione di questo teorema sta l'applicazione del secondo princpio della dinamica, come anche nella formulazione delle equazioni cardinali della dinamica. In poche parole hai applicato due volte lo stesso principio, cioè hai utilizzato due equazioni che non sono indipendenti.
"nnsoxke":
I passaggi che hai scritto sono giusti, ammesso che si conosca la velocità $V_2$. Questa però non è un dato del problema ma è stato ricavata applicando il teorema delle forze vive.
Alla base della dimostrazione di questo teorema sta l'applicazione del secondo princpio della dinamica, come anche nella formulazione delle equazioni cardinali della dinamica. In poche parole hai applicato due volte lo stesso principio, cioè hai utilizzato due equazioni che non sono indipendenti.
Ma che dici? Da quando in qua le considerazioni energetiche e quelle inerenti il momento angolare sono tra loro dipendenti????
Io davo per scontato che calcolare la $V_2$ fosse assai banale... ma se così non è allora lo esplicito:
$V_2=\sqrt(V_1^2+2g\DeltaH)
$R_2=V_1/(\sqrt(V_1^2+2g\DeltaH))R_1$
Mi pare che l'indipendenza ci sia eccome, visto che il risultato si ottiene utilizzando i dati forniti senza giungere a un'identità
Si l'errore che ho fatto è stato quello di non tenere conto che nel punto a velocità $V_2$ c'è un minimo dell'energia potenziale della forza peso, per cui mi risultava che il raggio non fosse ricavabile.
Grazie ci rifletterò su..
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