Esercizio particelle identiche

[Andrea-.-''112]

Buonasera,
Questo è il primissimo esercizio sulle particelle identiche che provo a fare e già mi sono bloccato

Provo a postare la mia soluzione:

a) Siccome ho a che fare con dei Fermioni devo chiedere la completa asimmetria delle soluzioni, ma visto che la
configurazione di spin totale è in uno stato di tripletto avrò che essa è simmetrica e la posso scrivere in uno dei
seguenti modi:
${(chi_+^(1)chi_+^(2)),(1/sqrt(2)(chi_+^(1)chi_-^(2)+chi_-^(1)chi_+^(2))),(chi_-^(1)chi_-^(2)):}$
con $S_z^(i)chi_(pm)=pmbar(h)/2chi_(pm)$ e l'indice alto è per la particella.
Per completare la funzione d'onda devo moltiplicare uno dei tre stati di tripletto per una opportuna combinazione di armoniche sferiche che deve essere antisimmetrica e relativa a $l_(1,2)=0,1$.
Quindi indicando con $(Y_(l)^m)^(i)$ le armoniche sferiche per la particella i-esima ho pensato che le possibili combinazioni debbano essere:
${(1/sqrt(2)((Y_(1)^m)^(1)(Y_(1)^(m'))^(2)-(Y_(1)^(m'))^(1)(Y_(1)^m)^(2))),(1/sqrt(2)((Y_(1)^m)^(1)(Y_(0)^0)^(2)-(Y_(0)^0)^(1)(Y_(1)^m)^(2))):}$ con $m,m'=-1,0,1 $ e $m!=m'$
b) Queste sono autofunzioni di $L_z$ relative a 0.
c) a me verrebbe da dire che non ci sono soluzioni perché la parte delle armoniche sferiche antisimmetrica per due particelle avrà comunque autovalore 0 rispetto a $L_z$ (questo risultato per qualche motivo non mi convince!)
dove sbaglio?

[Sk_Anonymous]

Per come interpreto io il testo $l_1$ ed $l_2$ possono essere entrambi 0 o 1, quindi devi considerare le combinazioni $(l_1,l_2)$ del tipo $(0,0);(0,1);(1,0);(1,1)$ scartando le funzioni (o combinazioni lineari) simmetriche per scambio. Ad occhio direi 6 stati (antisimm) per la parte angolare che moltiplicati per i 3 di spin fanno 18 stati.

[Andrea-.-''112]

In effetti ora che ci faccio caso anche a me verrebbero 6 stati antisimmetrici per la parte angolare, contando le possibili combinazioni di m e m' con $m'!=m $ho i casi $(-1,1),(-1,0),(0,1)$ , mentre nella seconda forma devo prendere $m=0,pm1$ che sono in tutto sei.
Secondo te il punto c è corretto?

[Sk_Anonymous]

Ti dicevo di scriverli caso per caso ( o almeno alcuni) perché in quella forma compatta forse non riesci a "vederli" bene. Intanto ok, hai inserito anche $m=0$ in quella che hai chiamato "seconda forma" (stando a quello che avevi scritto il vincolo $m\nem'$ sembrava valere per tutte, cosa non vera appunto).

Quindi, in modo più esplicito, sei sicuro che in quegli stati $L_z$ valga sempre zero? Mi parrebbe di no, secondo me se li scrivi con i ket te ne accorgi più facilmente rispetto alla "seconda forma". Inoltre per la prima forma, in cui sommi due momenti angolari uguali hai estratto gli stati con $L=1$ e questi avranno sicuramente $L_z=+-1,0$ senza fare proprio nessun conto, quindi vedi che almeno qualche $L_z$ non nullo ce l'hai.

[Andrea-.-''112]

"Andrea-.-''":
b) Queste sono autofunzioni di $ L_z $ relative a 0.
c) a me verrebbe da dire che non ci sono soluzioni perché la parte delle armoniche sferiche antisimmetrica per due particelle avrà comunque autovalore 0 rispetto a $ L_z $ (questo risultato per qualche motivo non mi convince!)
dove sbaglio?

"Nikikinki":Ti dicevo di scriverli caso per caso ( o almeno alcuni) perché in quella forma compatta forse non riesci a "vederli" bene. Intanto ok, hai inserito anche $ m=0 $ in quella che hai chiamato "seconda forma" (stando a quello che avevi scritto il vincolo $ m\nem' $ sembrava valere per tutte, cosa non vera appunto).

Quindi, in modo più esplicito, sei sicuro che in quegli stati $ L_z $ valga sempre zero? Mi parrebbe di no, secondo me se li scrivi con i ket te ne accorgi più facilmente rispetto alla "seconda forma". Inoltre per la prima forma, in cui sommi due momenti angolari uguali hai estratto gli stati con $ L=1 $ e questi avranno sicuramente $ L_z=+-1,0 $ senza fare proprio nessun conto, quindi vedi che almeno qualche $ L_z $ non nullo ce l'hai.

Hai ragione e ho capito dove ho sbagliato
ho scritto
$ L_z1/sqrt(2)((Y_(1)^m)^(1)(Y_(1)^(m'))^(2)-(Y_(1)^(m'))^(1)(Y_(1)^m)^(2))=bar(h)((m+m')-(m+m'))((Y_(1)^m)^(1)(Y_(1)^(m'))^(2)+(Y_(1)^(m'))^(1)(Y_(1)^m)^(2))/sqrt(2)$
invece di
$ L_z1/sqrt(2)((Y_(1)^m)^(1)(Y_(1)^(m'))^(2)-(Y_(1)^(m'))^(1)(Y_(1)^m)^(2))=bar(h)(m+m')((Y_(1)^m)^(1)(Y_(1)^(m'))^(2)-(Y_(1)^(m'))^(1)(Y_(1)^m)^(2))/sqrt(2)$
ecco perché sbagliavo

[Sk_Anonymous]

Già meglio. Quindi direi che fatto questo, l'ultimo punto viene da sé.