Esercizio particella spin
posto qui il secondo esercizio.
2. Si consideri una particella di spin $1/2$ e momento magnetico $\vec(\mu)=\gamma\vec(S)$ , $\gamma\in\mathbb(R)^+$, immersa in un campo magnetico $\vec(B)=B(0,0,B)$ uniforme. L'hamiltoniana di interazione è $H=-\vec(\mu)\cdot\vec(B)$.
a)all'instante t=0 lo stato del sistema $|\psi(0)>$ si trova nell'autostato $S_x$ con autovalore \( +\hbar/2 \). Determinare dopo quanto tempo lo stato della particella $|\psi(t)>$ sarà autostato di $S_x$ con autovalore \( -\hbar/2 \).
b)se a t=0 lo stato fosse in autostato di $S_z$ con autovalore \( +\hbar/2 \), determinare dopo quanto tempo lo stato della particella sarà autostato di $S_z$ con autovalore \( -\hbar/2 \).
c) confrontare i risultati ottenuti nei punti (a) e (b) e discuterne le eventuali differenze o i punti in comune.
Come suggerimento il prof ci da: $|\chi_(\pm,x)> =1/\sqrt(2)((1),(\pm1))$ , $|\chi_(\pm,y)> =1/\sqrt(2)((1),(\pmi))$ , $|\chi_(+,z)> =((1),(0))$ , $|\chi_(-,z)> =((0),(1)) $
non so perchè si vede così!
questo esercizio nell'esame non l'ho fatto perchè non sapevo da dove iniziare.
Mi viene da dire che $|\psi(t)> =U(t)|\psi(0)$ e conosco $H$.
Forse per il punto a) devo rappresentare tutti nella base di $S_x$ mentre per il punto b) è già apposto. Ma non so come si faccia.
2. Si consideri una particella di spin $1/2$ e momento magnetico $\vec(\mu)=\gamma\vec(S)$ , $\gamma\in\mathbb(R)^+$, immersa in un campo magnetico $\vec(B)=B(0,0,B)$ uniforme. L'hamiltoniana di interazione è $H=-\vec(\mu)\cdot\vec(B)$.
a)all'instante t=0 lo stato del sistema $|\psi(0)>$ si trova nell'autostato $S_x$ con autovalore \( +\hbar/2 \). Determinare dopo quanto tempo lo stato della particella $|\psi(t)>$ sarà autostato di $S_x$ con autovalore \( -\hbar/2 \).
b)se a t=0 lo stato fosse in autostato di $S_z$ con autovalore \( +\hbar/2 \), determinare dopo quanto tempo lo stato della particella sarà autostato di $S_z$ con autovalore \( -\hbar/2 \).
c) confrontare i risultati ottenuti nei punti (a) e (b) e discuterne le eventuali differenze o i punti in comune.
Come suggerimento il prof ci da: $|\chi_(\pm,x)> =1/\sqrt(2)((1),(\pm1))$ , $|\chi_(\pm,y)> =1/\sqrt(2)((1),(\pmi))$ , $|\chi_(+,z)> =((1),(0))$ , $|\chi_(-,z)> =((0),(1)) $
non so perchè si vede così!
questo esercizio nell'esame non l'ho fatto perchè non sapevo da dove iniziare.
Mi viene da dire che $|\psi(t)> =U(t)|\psi(0)$ e conosco $H$.
Forse per il punto a) devo rappresentare tutti nella base di $S_x$ mentre per il punto b) è già apposto. Ma non so come si faccia.
Risposte
Le possibilità sono due: cambiare base (diagonalizzando $s_x$ invece di $s_z$), oppure continuare a lavorare nella base di autovettori di $s_z$ (che è quello che il professore implicitamente ti suggerisce fornendoti le espressioni per gli autovettori di $s_x$).
L'autostato di $s_x$ con autovalore \(\hbar/2\) nella base in cui $s_z$ è diagonale è:
\[|\psi_0\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}{1 \choose 1}\]
Come hai suggerito tu, per fare evolvere tale stato devi applicarvi l'operatore $U(t)$.
L'esponenziale di un operatore $e^O$ è definito mediante la seguente serie di Neumann:
\[e^O=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{O^n}{n!}\]
Ti potrebbe inoltre essere utile sapere che \(\sigma_i^2 = \mathbb{I} \), dove le $\sigma$ sono le matrici di Pauli.
L'autostato di $s_x$ con autovalore \(\hbar/2\) nella base in cui $s_z$ è diagonale è:
\[|\psi_0\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}{1 \choose 1}\]
Come hai suggerito tu, per fare evolvere tale stato devi applicarvi l'operatore $U(t)$.
L'esponenziale di un operatore $e^O$ è definito mediante la seguente serie di Neumann:
\[e^O=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{O^n}{n!}\]
Ti potrebbe inoltre essere utile sapere che \(\sigma_i^2 = \mathbb{I} \), dove le $\sigma$ sono le matrici di Pauli.
"DelCrossB":
Le possibilità sono due: cambiare base (diagonalizzando $s_x$ invece di $s_z$), oppure continuare a lavorare nella base di autovettori di $s_z$ (che è quello che il professore implicitamente ti suggerisce fornendoti le espressioni per gli autovettori di $s_x$).
L'autostato di $s_x$ con autovalore \(\hbar/2\) nella base in cui $s_z$ è diagonale è:
\[|\psi_0\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}{1 \choose 1}\]
Come hai suggerito tu, per fare evolvere tale stato devi applicarvi l'operatore $U(t)$.
L'esponenziale di un operatore $e^O$ è definito mediante la seguente serie di Neumann:
\[e^O=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{O^n}{n!}\]
Ti potrebbe inoltre essere utile sapere che \(\sigma_i^2 = \mathbb{I} \), dove le $\sigma$ sono le matrici di Pauli.
allora io so per certo che la particella è in $|\psi(0)> =|\chi_(x,+)> =1/\sqrt(2)(|\chi_(z,+)>+|\chi_(z,-)>) $
ora \( |\psi(t)> = U(t)|\psi(0)> =1/\sqrt{2}e^{-iHt/\hbar}|\chi_{z,+}> + 1/\sqrt{2}e^{-iHt/\hbar}|\chi_{z,-}> \)
so che $H|\chi_(z,\pm)> =E_(\pm)|\chi_(z,\pm)> $ con \( E_{\pm}=\mp {\gamma B_0 \hbar}/2 \)
e ottengo che \( |\psi(t)> = 1/\sqrt{2}e^{-iE_{+}t/\hbar}|\chi_{z,+}> + 1/\sqrt{2}e^{-iE_{-}t/\hbar}|\chi_{z,-}> \)
e ora? devo determinare a che $t$ il primo coefficiente resta uguale e il secondo cambia segno?
Esatto, devi determinare qual è il $t$ per cui il sistema si trova nello stato $\bar\psi = ((1),(-1))$.
ma come fa il secondo esponenziale a darmi $-1$? non può o sbaglio?
\[E_{\pm} = \mp \gamma B_0 \hbar/2\equiv\mp\hbar\omega\]
\[\psi(t) = \frac{1}{\sqrt{2}} \left[e^{i\omega t}{1 \choose 0}+e^{-i\omega t}{0 \choose 1}\right] = \frac{1}{\sqrt{2}} \left[\cos{\omega t}{1 \choose 1}+i\sin{\omega t}{1 \choose -1}\right] \]
\[\psi(t) = \frac{1}{\sqrt{2}} \left[e^{i\omega t}{1 \choose 0}+e^{-i\omega t}{0 \choose 1}\right] = \frac{1}{\sqrt{2}} \left[\cos{\omega t}{1 \choose 1}+i\sin{\omega t}{1 \choose -1}\right] \]
"DelCrossB":
\[E_{\pm} = \mp \gamma B_0 \hbar/2\equiv\mp\hbar\omega\]
\[\psi(t) = \frac{1}{\sqrt{2}} \left[e^{i\omega t}{1 \choose 0}+e^{-i\omega t}{0 \choose 1}\right] = \frac{1}{\sqrt{2}} \left[\cos{\omega t}{1 \choose 1}+i\sin{\omega t}{1 \choose -1}\right] \]
a parte il fatto che non sapevo il fatto di $\omega$, grazie! ma non capisco la seconda parte:\[\frac{1}{\sqrt{2}} \left[\cos{\omega t}{1 \choose 1}+i\sin{\omega t}{1 \choose -1}\right] \]
come mai nelle parentesi tonde sono passato da \( {1 \choose 0} \) e \( {0 \choose 1} \) a \( {1 \choose 1} \) e \( {1 \choose -1} \) ??
$psi(t) = 1/(sqrt2) [ (cos\omegat + isin\omegat) ( ( 1 ),( 0 ) ) + (cos\omegat - isin\omegat) ( ( 0 ),( 1 ) )]$
Eseguendo i conti :
$psi(t) = 1/(sqrt2)[cos\omegat ( ( 1 ),( 0 ) ) + isin\omegat ( ( 1 ),( 0 ) ) + cos\omegat ( ( 0 ),( 1 ) ) - isin\omegat ( ( 0 ),( 1 ) )]$
Raccolgo :
$psi(t) = 1/(sqrt2) [ cos\omegat ((1),(1)) + isin\omegat ((1),(-1))]$
Eseguendo i conti :
$psi(t) = 1/(sqrt2)[cos\omegat ( ( 1 ),( 0 ) ) + isin\omegat ( ( 1 ),( 0 ) ) + cos\omegat ( ( 0 ),( 1 ) ) - isin\omegat ( ( 0 ),( 1 ) )]$
Raccolgo :
$psi(t) = 1/(sqrt2) [ cos\omegat ((1),(1)) + isin\omegat ((1),(-1))]$
"grimx":
$psi(t) = 1/(sqrt2) [ (cos\omegat + isin\omegat) ( ( 1 ),( 0 ) ) + (cos\omegat - isin\omegat) ( ( 0 ),( 1 ) )]$
Eseguendo i conti :
$psi(t) = 1/(sqrt2)[cos\omegat ( ( 1 ),( 0 ) ) + isin\omegat ( ( 1 ),( 0 ) ) + cos\omegat ( ( 0 ),( 1 ) ) - isin\omegat ( ( 0 ),( 1 ) )]$
Raccolgo :
$psi(t) = 1/(sqrt2) [ cos\omegat ((1),(1)) + isin\omegat ((1),(-1))]$
grazie!!! quindi devo porre $ cos\omegat = 0 $ e $ isin\omegat = 1$ ?
a me verrebbe da dire $\frac{\pi}{2}+k\pi$ ma la $i$ dove la metto?
e il punto (b) si fa nello stesso modo?
La $i$ perché dovrebbe essere un problema? E' semplicemente un fattore di fase che è davanti allo stato. 
Il punto b) è di gran lunga più semplice. Basterebbe leggere con attenzione la richiesta del problema. Sappiamo che a $t=0$ il sistema si trova nell'autostato positivo di $s_z$. Con quella hamiltoniana, come potrebbe mai evolvere lo stato? ^^
Il punto b) è di gran lunga più semplice. Basterebbe leggere con attenzione la richiesta del problema. Sappiamo che a $t=0$ il sistema si trova nell'autostato positivo di $s_z$. Con quella hamiltoniana, come potrebbe mai evolvere lo stato? ^^
mi viene da dire che rimane in quello stato per tutti i successivi $t$.
Puoi giustificare la risposta? Credo che all'esame un paio di righe fossero richieste 
sicuramente!! cioè ho detto così perchè ho visto che lo stato non è sovrapposizione di più stati ma solo di $|\chi_(z,+)>$
ma non so se è giusto!
Beh sì, è giusto essendo l'hamiltoniana diagonale in quella base. Essendo all'istante $t=0$ in un autostato, il sistema vi resterà all'infinito.
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