Esercizio particella in anello carico

[mkthlmb]

So che di esercizi sull'anello carico ce ne sono a bizzeffe, infatti il mio problema non sta nel calcolare campi elettrici o potenziali, ma dimostrare questa cosa:

"Su un anello di raggio R=1m è distribuita una carica q=-10^(-6)C uniformemente.
Una particella di massa m e carica q=10^(-10)C è posta al centro dell'anello.
La particella viene spostata di x=0.5cm lungo l'asse dell'anello, con x< Dimostrare che si muoverà di moto armonico e calcolare il periodo per piccole oscillazioni."

Qualcuno sa darmi una mano?

[mgrau]

"mkthlmb":So che di esercizi sull'anello carico ce ne sono a bizzeffe, infatti il mio problema non sta nel calcolare campi elettrici o potenziali, ma dimostrare questa cosa:

"Su un anello di raggio R=1m è distribuita una carica q=-10^(-6)C uniformemente.
Una particella di massa m e carica q=10^(-10)C è posta al centro dell'anello.
La particella viene spostata di x=0.5cm lungo l'asse dell'anello, con x< Dimostrare che si muoverà di moto armonico e calcolare il periodo per piccole oscillazioni."

Qualcuno sa darmi una mano?

La forza di richiamo della carica quando è spostata di $x$ dal centro ha direzione assiale per simmetria.
La componente assiale (che è poi l'unica che rimane) è data da
$F_x = frac{k * q * Q}{R^2} sin theta$
dove $q$ è la carica nel centro e $Q$ è la carica totale sull'anello, $k = 1/(4pi epsilon_0)$
Nell'approssimazione $x$ << $R$, $sin theta = x/R$
Allora la forza di richiamo vale $F_x = frac{k * q * Q}{R^3}* x$
cioè quella di una molla con costante elastica $frac{k * q * Q}{R^3}$