Esercizio pacchetto d'onda
Buongiono,
Non sono riuscito a risolvere l'esercizio a causa del punto a.
Se decido di risolverlo passando per lo spazio degli impulsi riesco a riscrivere la $psi(x,t)$ imponendo:
$ C(p)=1/sqrt(2pi) int_-infty^infty psi(x,0)e^(-i(px)/bar(h)) dx=(alpha(0)e^(-p^2/(4beta(0)bar(h)^2)))/sqrt(2beta(0)) $
ottengo:
$ psi(x,t)=1/sqrt(2pi) int_-infty^infty C(p)e^(i((px)/bar(h)-(tp^2)/(2mbar(h)))) dx $
$ psi(x,t)=(alpha(0))/sqrt(2beta(0))sqrt((8mbar(h)^3beta(0))/(2mbar(h)+4bar(h)^2beta(0)t))e^(-x^2/4(8mbar(h)^3beta(0))/(2mbar(h)+4bar(h)^2beta(0)t))) $
ora (al di là dei conti che potrebbero anche essere sbagliati ) confrontando questa relazione con quella di partenza posso anche scrivere come devono essere fatti $alpha(t)$ e $beta(t)$ e quindi potrei provare a risolvere il punto b.
Il mio problema è che il punto a chiede di determinare $alpha(t)$ e $beta(t)$ a partire dalle equazioni differenziali.
Però se provo ad applicare Schrodinger:
$ ibar(h)partial /(partialt)psi(x,t)=-bar(h)^2/(2m)partial^2 /(partialx^2)psi(x,t) $
$ ibar(h)partial /(partialt)psi(x,t)=ibar(h)((alpha^{\prime}(t))/(alpha(t))-x^2beta^{\prime}(t))psi(x,t) $
$ -bar(h)^2/(2m)partial^2 /(partialx^2)psi(x,t)=-bar(h)^2/(2m)(4x^2beta^2(t)-2beta(t))psi(x,t) $
allora
$ibar(h)((alpha^{\prime}(t))/(alpha(t))-x^2beta^{\prime}(t))=-bar(h)^2/(2m)(4x^2beta^2(t)-2beta(t))$ che non riesco a risolvere
quindi non so che fare.
Ho provato a ricavare altre informazioni da $psi(x,t)$:
$ (psi(x,t),psi(x,t))=1->|alpha(t)|=((2Re[beta(t)])/pi)^(1/4) $
$
_psi=0 $
$
$
ma non mi hanno dato nessuno spunto, voi che fareste?
Risposte
La normalizzazione l'hai imposta correttamente, poi sì, inserendola nell'equazione d'onda dovremmo riuscire a risolvere rispetto ad $\alpha$ ad esempio...però così ad occhio è abbastanza simmetrica tra i due membri dopo che vai a sostituire. Assicurati di non aver sbagliato nemmeno una virgola nei calcoli di derivate e sostituzioni varie, perché mi pare che per un fattore 2 tu non possa eliminare , raccogliendo opportunamente, tutta la parte dipendente da x il che avrebbe senso perché assume i coefficienti dipendenti solo dal tempo. Dalla normalizzazione puoi ricavare anche $\beta'$ ovviamente eh, basta derivare entrambi i membri. Quindi insomma ricontrolla bene tutti i conti, se ancora non si scioglie il nodo provo a farli io.
Domanda stupida:
visto che la condizione di normalizzazione mette in relazione il modulo di $alpha $ con la parte reale di $beta$ mentre nel equazione differenziale ho $alpha $ e $beta$ come faccio ad inserire la condizione di normalizzazione nel eq differenziale?
visto che la condizione di normalizzazione mette in relazione il modulo di $alpha $ con la parte reale di $beta$ mentre nel equazione differenziale ho $alpha $ e $beta$ come faccio ad inserire la condizione di normalizzazione nel eq differenziale?
Basta considerare che, come per un qualunque numero complesso,
$\alpha(t)=|\alpha| e^(i\theta)$ . La fase poi si semplificherà sicuramente. Comunque la parte reale non serve scriverla quella è proprio $\beta$. Quell'integrale gaussiano vale $\sqrt(\pi/(2\beta)$ se $Re(\beta)>0$ come è.
$\alpha(t)=|\alpha| e^(i\theta)$ . La fase poi si semplificherà sicuramente. Comunque la parte reale non serve scriverla quella è proprio $\beta$. Quell'integrale gaussiano vale $\sqrt(\pi/(2\beta)$ se $Re(\beta)>0$ come è.
Adesso ho capito come risolvere l'equazione, ma ho un'ultimissima domanda (anche questa scema):
se io prendo $beta=Re[beta] $ non sto dicendo che $beta $ è reale e non complesso?
se io prendo $beta=Re[beta] $ non sto dicendo che $beta $ è reale e non complesso?
A parte che una funzione reale è sempre anche complessa (con parte immaginaria nulla). Ma quella è una relazione tra moduli: nel dire $\beta$ intendevo il suo modulo, in genere non si specifica perché è irrilevante, infatti potresti dare una fase anche a lui ma visto come compare nell'equazione con $\alpha$ si tratterebbe solo di ridefinire una fase globale che ancora si semplificherebbe. Sarà poi l'equazione a dirci se i coefficienti sono reali, immaginari puri o con entrambe le parti. O almeno così vuole la norma, vedi un po'se ti tornano i conti altrimenti lo riguardiamo meglio.
Vediamo se ho capito:
Riprendo l'equazione da dove mi ero fermato:
$ ibar(h)((alpha^{\prime}(t))/(alpha(t))-x^2beta^{\prime}(t))=-bar(h)^2/(2m)(4x^2beta^2(t)-2beta(t)) $
pongo $alpha(t)=a(t)e^(iphi(t))$ con $a(t)$ $phi(t)$ funzioni reali in una variabile reale.
Derivando $alpha(t)=a(t)e^(iphi(t))$ ottengo $(alpha'(t))/(alpha(t))=[(a'(t))/(a(t))+iphi'(t)]$
La condizione di normalizzazione diventa $a(t)=(2beta(t)/(pi))^(1/4)$ (oppure $beta(t)=(pi)/2a^4(t)$ ) che derivata restituisce
$(beta'(t))/(beta(t))=(4a'(t))/(a(t))$
Posso riscrivere tutta l'equazione dividendo parte reale e parte immaginaria:
$ { ( (a'(t))/(a(t))(1-2pix^2a^4(t))=0 ),( phi'(t)=bar(h)/(2m)[(xpia^4(t))^2-pia^4(t)] ):} $
oppure se la voglio rispetto a $beta$:
$ { ( (beta'(t))/(beta(t))(1/4-beta(t)x^2)=0 ),( phi'(t)=bar(h)/(2m)(4x^2beta^2(t)-2beta(t)) ):} $
Riprendo l'equazione da dove mi ero fermato:
$ ibar(h)((alpha^{\prime}(t))/(alpha(t))-x^2beta^{\prime}(t))=-bar(h)^2/(2m)(4x^2beta^2(t)-2beta(t)) $
pongo $alpha(t)=a(t)e^(iphi(t))$ con $a(t)$ $phi(t)$ funzioni reali in una variabile reale.
Derivando $alpha(t)=a(t)e^(iphi(t))$ ottengo $(alpha'(t))/(alpha(t))=[(a'(t))/(a(t))+iphi'(t)]$
La condizione di normalizzazione diventa $a(t)=(2beta(t)/(pi))^(1/4)$ (oppure $beta(t)=(pi)/2a^4(t)$ ) che derivata restituisce
$(beta'(t))/(beta(t))=(4a'(t))/(a(t))$
Posso riscrivere tutta l'equazione dividendo parte reale e parte immaginaria:
$ { ( (a'(t))/(a(t))(1-2pix^2a^4(t))=0 ),( phi'(t)=bar(h)/(2m)[(xpia^4(t))^2-pia^4(t)] ):} $
oppure se la voglio rispetto a $beta$:
$ { ( (beta'(t))/(beta(t))(1/4-beta(t)x^2)=0 ),( phi'(t)=bar(h)/(2m)(4x^2beta^2(t)-2beta(t)) ):} $
A questo punto se integro ottengo $beta(t)=C$, con $C$ costante reale, inoltre:
$a(t)=((2C)/(pi))^(1/4)$
$phi(t)=bar(h)/2m[4x^2C^2-2C^2]t+D$ con $D$ costante
ma quindi avrei $psi(x,t)=((2C)/(pi))^(1/4)e^(iD)e^(1bar(h)/(2m)(4x^2-2)Ct) e^(-x^2C)$
ma questa soluzione non mi convince più di tanto...
$a(t)=((2C)/(pi))^(1/4)$
$phi(t)=bar(h)/2m[4x^2C^2-2C^2]t+D$ con $D$ costante
ma quindi avrei $psi(x,t)=((2C)/(pi))^(1/4)e^(iD)e^(1bar(h)/(2m)(4x^2-2)Ct) e^(-x^2C)$
ma questa soluzione non mi convince più di tanto...
No così è sicuramente sbagliato. Se non spariscono le $x$ nell'equazione non potranno mai venire dei coefficienti che dipendono solo dal tempo $t$, per questo ti avevo detto di ricontrollare le derivate. Inoltre nel dare la fase ad $\alpha(t)$ non serve metterci anche il tempo, tanto se il coefficiente avrà delle parti immaginarie verranno fuori dalle soluzioni non ha senso complicarsi la vita già dal principio. Se le derivate fossero giuste…sarebbe un bel problema, o più che altro avrei difficoltà a capire dove possa essere l'errore. Anche perchè alla fine stiamo parlando dell'evoluzione di un'onda gaussiana che si sa come evolve, anche se ho sempre fatto il conto passando dalle autofunzioni dell'impulso ovviamente, perché è più semplice.
provo a ricontrollare e spero di trovare qualcosa ](/datas/uploads/forum/emoji/eusa_wall.gif "Brick wall")
mi dispiace romperti le scatole ho rifatto i conti mettendo la fase di $alpha $ come costante, il risultato mi pare lo stesso di prima con giusto la derivata prima della fase uguale a zero
Sì ovviamente il risultato non cambia per questo ti dicevo di non mettere la fase con il tempo, allunghi solo i calcoli. Comunque parrebbe proprio che la x non vada via. Non saprei dirti francamente non vedo come possa ottenere una soluzione che dipende solo da t in una equazione con pure la x. Ci penso un po'magari anche se in questa settimana sarò parecchio impegnato, quindi non ti prometto nulla. La cosa graffiante è che è un banale pacchetto d'onda facile da risolvere in un modo ma così non ci ho mai provato. Spero ti potrò dire di più.
Non ti scervellare troppo provo a chiedere al professore appena ho la possibilità, comunque ti ringrazio e ti faccio sapere
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