Esercizio Oscillatore Armonico [Meccanica Quantistica]

[grimx]

Salve a tutti,
dato che mi sentivo un po' arrugginito, sono tornato a risolvere qualche esercizietto di Meccanica Quantistica.
Riporto il testo dell'esercizio e la mia soluzione, mi serve sapere soltanto se ho fatto giusto oppure ho scritto cavolate.
Premessa: $h$ equivale a $h$ tagliato.

ESERCIZIO
Una particella di massa m è soggetta all' energia potenziale:
$V(x)=1/2m\omega^2x^2$
Si trova all'istante $t=0$ in uno stato determinato dalle seguenti condizioni:
1) Ogni misura dell'energia da con certezza valori che soddisfano la seguente relazione:
$h\omega < E < 3\omega$

2)Il valore di aspettazione dell'energia è:
$ =11/6h\omega$

3) Il valore di aspettazione della coordinata x è:
$ =-sqrt((8h)/(9m\omega))$

Determinare lo stato a $t=0$ e a $t>0$

SOLUZIONE

Notiamo subito che si tratta di un oscillatore armonico.
Dato che: $E_n=(n+1/2)h\omega$
Dalla condizione 1 i possibili valori dell'energia sono soltanto due:

n=1
$3/2h\omega=E_1$

n=2
$5/2h\omega=E_2$

E lo stato della particella allora può essere scritto in questo modo:
$|\Psi> =A|1>+B|2>$ con $|A|^2+|B|^2=1$

Dobbiamo quindi trovare un'altra condizione per $A$ e $B$ da mettere a sistema, quindi procediamo nel guardare le altra condizioni.

Dalla condizione 2 abbiamo il valore di $$, possiamo scrivere:
$ =|A|^2E_1+|B|^2E_2= |A|^2*3/2h\omega+|B|^2*5/2h\omega= 11/6h\omega$
Abbiamo quindi trovato la seconda condizione da mettere a sistema con la prima, allo scopo di trovare $A$ e $B$

${ ( |A|^2+|B|^2=1 ),( 3/2h\omega|A|^2+5/2h\omega|B|^2=11/6h\omega ):}$

Per risolverlo applico il metodo di Cramer e ottendo quindi:

${ ( |A|^2= D_1/D=2/3 ),( |B|^2=D_2/D=1/3 ):}$ ($D , D_1 , D_2$ sono i determinanti)

ottengo quindi i coefficenti $A$ e $B$ per un fattore di fase in uno dei due coefficienti che può essere fissata a piacimento:

$A=sqrt(2/3)$ ; $B=1/sqrt(3) e^(i\delta)$

Utilizziamo quindi l'ultima condizione per identificare univocamente lo stato della particella, ricordando che $$ è dato da:
$ =(A^+<1|+B^+<2|)sqrt(h/(2m\omega))(a+a^+)(A|1>+B|2>)$
utilizzando le proprietà di $a$ e $a^+$ ottengo la seguente condizione:
$A^+B+AB^+=-(2sqrt(2))/3$
otteniamo quindi che $e^(i\delta)=-1$ e quindi il coefficiente $B=-1/sqrt(3)$

In conclusione si ottiene che $|\Psi> = sqrt(⅔) |1> -1/sqrt(3) |2>$
E applicando l'operatore di evoluzione temporale otteniamo lo stato per $t>0$ e concludiamo l'esercizio.

Come vi sembra?
Grazie per l'aiuto che mi potrete dare!

[ludwigZero]

"grimx":
$ =(A^+<1|+B^+<2|)sqrt(h/(2m\omega))(a+a^+)(A|1>+B|2>)$
utilizzando le proprietà di $a$ e $a^+$ ottengo la seguente condizione:
$A^+B+AB^+=-(2sqrt(2))/3$

ciao a me viene uguale, però vorrei vedere se il mio ragionamento fila, essendo:



$a |1> = |0>$

$a |2> = sqrt(2) |1>$

$a^+ |1> = sqrt(2) |2>$

$a^+ |2> = sqrt(3) |3>$

$(A^+<1|+B^+<2|)sqrt(h/(2m\omega)) [A (|0> + sqrt(2) |2>) + B (sqrt(2) |1> + sqrt(3) |3> ]$

$A^+ B sqrt(2) + B^+ A sqrt(2) = sqrt(2) (A^+B+AB^+) sqrt(h/(2m\omega)) = (A^+B+AB^+) sqrt(h/(m\omega))$

dimmi, hai fatto anche tu così?