Esercizio operatori momento angolare
ecco qui il terzo esercizio incriminato:
3.Gli operatori associati alle componenti del momento angolare di una particella sono $L_x=yp_z-zp_Y$ , $L_y=zp_x-xp_z$ , $L_z=xp_y-yp_z$.
a) dimostrare che $L_x,L_y,L_z$ sono hermitiani e,utilizzando le proprietà dei commutatori canonicim calcolare $[L_i,L_j]$ per $i,j=x,y,z$
b)facendo uso delle relazioni di indeterminazione $(\DeltaA)_s^2(\DeltaB)_s^2>=\frac{1}{4}<|[A,B]|s>^2$, dimostrare che su un autostato di una componente del momento angolare il valor medio delle altre due componenti è nullo.
Per vedere se sono hermitiani devo verificare che \( = = ^{\ast} \) ??
poi il risultato di $[L_i,L_j]$ li so gia dagli appunti ma non so da dove ricavarli.
l'ultimo punto nebbia totale!
3.Gli operatori associati alle componenti del momento angolare di una particella sono $L_x=yp_z-zp_Y$ , $L_y=zp_x-xp_z$ , $L_z=xp_y-yp_z$.
a) dimostrare che $L_x,L_y,L_z$ sono hermitiani e,utilizzando le proprietà dei commutatori canonicim calcolare $[L_i,L_j]$ per $i,j=x,y,z$
b)facendo uso delle relazioni di indeterminazione $(\DeltaA)_s^2(\DeltaB)_s^2>=\frac{1}{4}<|[A,B]|s>^2$, dimostrare che su un autostato di una componente del momento angolare il valor medio delle altre due componenti è nullo.
Per vedere se sono hermitiani devo verificare che \(
poi il risultato di $[L_i,L_j]$ li so gia dagli appunti ma non so da dove ricavarli.
l'ultimo punto nebbia totale!
Risposte
poi il risultato di $[L_i,L_j]$ li so gia dagli appunti ma non so da dove ricavarli.
Dalla definizione di commutatore $[L_i, L_j] = L_i L_j - L_j L_i$
E ricordando le proprietà dei commutatori canonici, ovvero : $[x,p] = ih$ con $h$ h-tagliato.
mi spiace ma non ci arrivo!
se seguo la definizione di commutatore mi risulta: $ [L_x,L_y]=L_xL_y-L_yL_x=(yp_z-zp_y)(zp_x-zp_z)-(zp_x-zp_z)(yp_z-zp_y) $ però adesso?
se seguo la definizione di commutatore mi risulta: $ [L_x,L_y]=L_xL_y-L_yL_x=(yp_z-zp_y)(zp_x-zp_z)-(zp_x-zp_z)(yp_z-zp_y) $ però adesso?
Ricordando la seguente proprietà dei commutatori:
$[AB,CD] = A[B,C]D+AC[B,D]+[A,C]BD + C[A,D]B$
Calcoliamo il commutatore tra $L_x$ e $L_y$:
$[L_x,L_y] = [yp_z-zp_y , zp_x - xp_z] = [yp_z, zp_x] + [zp_y, xp_z] = y[p_z,z]p_x+p_y[z,p_z]x = ih(xp_y -yp_x) = ihL_z$
I restanti commutatori si trovano tramite permutazione cilica di $x,y,z$
$[AB,CD] = A[B,C]D+AC[B,D]+[A,C]BD + C[A,D]B$
Calcoliamo il commutatore tra $L_x$ e $L_y$:
$[L_x,L_y] = [yp_z-zp_y , zp_x - xp_z] = [yp_z, zp_x] + [zp_y, xp_z] = y[p_z,z]p_x+p_y[z,p_z]x = ih(xp_y -yp_x) = ihL_z$
I restanti commutatori si trovano tramite permutazione cilica di $x,y,z$
grazie!! e per vedere se sono hermitiani come faccio?
mi aiuteresti anche con il punto (b)?
mi aiuteresti anche con il punto (b)?
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