Esercizio M.Q. atomo di idrogeno

[Andrea-.-''112]

Buongiorno,
Spulciando esercitazioni e vecchi esoneri mi sono imbattuto più di una volta in esercizi con funzione d'onda simile a questa.
Come si risolve l'esercizio ?


La mia idea era quella di riscrivere lo $psi$ come combinazione di opportuni autostati del atomo di idrogeno:

Per quanto riguarda la parte angolare scrivendo $z^2=r^2cos^2\theta$.
$cos^2\theta$ si riscrive abbastanza semplicemente come somma di due funzioni armoniche sferiche $Y_0^0$ e $Y_2^0$

Per quanto riguarda la parte radiale non so come procedere perché l'esponenziale nelle soluzioni del atomo idrogenoide dovrebbe avere argomento del tipo $-ar$ e non $-ar^2$.
Non riesco a riscrivere la parte radiale in maniera semplice come combinazione di autostati del atomo idrogenoide.

Se a seguito della misura ho ottenuto $E_3$ allora $psi$ doveva originariamente ''contenere '' una qualche combinazione di $u_(3,2,0)$ e $u_(3,0,0)$ che chiamo $eta$ che è ancora autostato di $hat(H)$ relativo a $E_3$ ed è autostato di $hat(L_z)$ relativamente a $0$ ma non di $hat(L^2)$.
Se dopo la misura $psi->eta$ ho la soluzione.

Questo procedimento è corretto?

[Sk_Anonymous]

Per analizzare le componenti angolari non ci interessa la parte radiale dell'autofunzione, poiché essa è invariante per rotazione quindi, per definizione, autofunzione sia di $L^2$ che $L_z$ con autovalore $0$. Comunque quello stato iniziale potrebbe anche non essere, a priori, autostato dell'energia (e per come è messo alla gaussiana mi parrebbe così). L'importante è che alla fine, dopo la misura, ciò che ottieni è per forza un autostato dell'energia con autovalore $E_3$ che si porta dietro, come giustamente hai osservato, le armoniche sferiche $Y_(00)$ e $Y_(20)$ e non altre, visto che mancavano all'inizio. Quindi sarà autofunzione dell'energia, di $L_z$ ma non di $L^2$ .

Edit : sempre che non sia un refuso quell' $r^2$ all'esponenziale. Avrebbe più senso in effetti, visto che comunque la si metta una combinazione lineare di funzioni radiali dell'atomo di idrogeno non daranno mai $e^(-r^2)$. Al massimo può la posizione del centro di massa essere rappresentata da una gaussiana tipo quella, ma la coordinata interna taglia la testa al toro.

[Andrea-.-''112]

Grazie per la correzione

Comunque non credo sia un errore di stampa perché lo ho ritrovato in altri esercizi possibile che inserendo una parte radiale che non si può ''scomporre'' il professore voglia farci ragionare per proprietà ?

[Sk_Anonymous]

Capisco. Non so mi suona un po' strano, non lo stato in sé perché è davvero tipico dare uno stato come quello e chiedere ad esempio con che probabilità misuro un certo valore di $L^2$ o $L_z$ o se sia autostato di questi operatori. Il punto è che lo associa ad un atomo di idrogeno. Ma magari è una mia fissa. Anche negli altri esercizi simili a questo associa una parte radiale $e^(-r^2)$ all'atomo di idrogeno o parla solo di uno stato generico chiedendo qualcosa di simile a quello che ho detto?

[Andrea-.-''112]

In diversi casi dice proprio che si ha a che fare con un atomo di idrogeno