Esercizio moto rototraslatorio
Mi scuso preventivamente se questo non è il forum adatto, ma è il mio primo argomento che apro; spero che possiate perdonarmi per gli eventuali errori burocratici. Vorrei proporvi un esercizio che mi ha dato del serio filo da torcere e che purtroppo non sono riuscito a risolvere. Il testo è il seguente: Un disco omogeneo, di massa $ m= 20 kg $ e raggio $ r= 1 m $ , può ruotare con attrito trascurabile attorno ad un asse verticale passante per il suo centro e perpendicolare alla sua superficie. Sul bordo del disco, inizialmente fermo, si trova un'automobilina di massa $ m1 = 1 Kg $ , che all'istante $ t = 0 $ si mette in movimento. Lo sterzo dell automobilina è bloccato in modo tale da farla correre lungo il bordo del disco e l'accelerazione tangenziale dell'automobilina rispetto al disco è costante e vale $ A = 1,1 m/s^2 $ . SI calcoli l'istante $ tau $ in cui l'automobilina scivola fuori dal disco se il coefficiente di attrito statico è $ mu s = 0,20 $ .
Ho provato a ragionare sul fatto che affinché l'automobilina scivoli, la forza centrifuga deve essere maggiore della forza di attrito, ma ciò non basta... Poi ho provato con la conservazione della quantità di moto del sistema e con la conservazione dell'energia cinetica, ma niente. Ringrazio chiunque avrà la pazienza e la volontà di provare ad aiutarmi e chiedo nuovamente scusa nel caso di un'errata inserzione del forum. La soluzione dell'esercizio è la seguente: $ tau = 1/A {(1+(2m 1)/m)^2[(1+(2m 1)/m)^2mus^2g^2-A^2]r^2 }^(1/4)=1,3 s $
Ho provato a ragionare sul fatto che affinché l'automobilina scivoli, la forza centrifuga deve essere maggiore della forza di attrito, ma ciò non basta... Poi ho provato con la conservazione della quantità di moto del sistema e con la conservazione dell'energia cinetica, ma niente. Ringrazio chiunque avrà la pazienza e la volontà di provare ad aiutarmi e chiedo nuovamente scusa nel caso di un'errata inserzione del forum. La soluzione dell'esercizio è la seguente: $ tau = 1/A {(1+(2m 1)/m)^2[(1+(2m 1)/m)^2mus^2g^2-A^2]r^2 }^(1/4)=1,3 s $
Risposte
Il pedice A è per automobile, D per disco.
Conservazione momento angolare:
1) $I_A\omega_A+I_D\omega_D = 0$
derivando rispetto al tempo:
2) $I_A\alpha_A+I_D\alpha_D = 0$
Ora sappiamo che per le accelerazioni 3) $a_A-a_D = A$
quindi 4) $\alpha_D-\alpha_A = (A)/r $
Combinando la 2) e la 4)
5) $(I_A+I_D)\alpha_A+I_D(A)/(r) = 0$
siccome $I_D=1/2m_Dr^2$ e $I_A=m_Ar^2$
6) $\alpha_A = (A)/(r)(m_D)/(2m_A+m_D)$
7) $\omega_A=\alpha_A\tau = (A)/(r)(m_D)/(2m_A+m_D)\tau$
ora impostiamo la forza centrifuga più l'accelerazione tangenziale uguale all'attrito
8) $(g\mu_s)^2 =(\omega_A^2r)^2+((m_D)/(2m_A+m_D))^2A^2= ((A)/(r)(m_D)/(2m_A+m_D)\tau)^4r^2+((m_D)/(2m_A+m_D))^2 A^2 $
da cui $\tau=((g\mu_s)^2-((m_D)/(2m_A+m_D))^2 A^2)^(1/4)\sqrt r/A (1+2m_A/m_D) $
Come nel risultato del libro.
Conservazione momento angolare:
1) $I_A\omega_A+I_D\omega_D = 0$
derivando rispetto al tempo:
2) $I_A\alpha_A+I_D\alpha_D = 0$
Ora sappiamo che per le accelerazioni 3) $a_A-a_D = A$
quindi 4) $\alpha_D-\alpha_A = (A)/r $
Combinando la 2) e la 4)
5) $(I_A+I_D)\alpha_A+I_D(A)/(r) = 0$
siccome $I_D=1/2m_Dr^2$ e $I_A=m_Ar^2$
6) $\alpha_A = (A)/(r)(m_D)/(2m_A+m_D)$
7) $\omega_A=\alpha_A\tau = (A)/(r)(m_D)/(2m_A+m_D)\tau$
ora impostiamo la forza centrifuga più l'accelerazione tangenziale uguale all'attrito
8) $(g\mu_s)^2 =(\omega_A^2r)^2+((m_D)/(2m_A+m_D))^2A^2= ((A)/(r)(m_D)/(2m_A+m_D)\tau)^4r^2+((m_D)/(2m_A+m_D))^2 A^2 $
da cui $\tau=((g\mu_s)^2-((m_D)/(2m_A+m_D))^2 A^2)^(1/4)\sqrt r/A (1+2m_A/m_D) $
Come nel risultato del libro.
La ringrazio molto Quinzio. Un'ultima domanda s'è possibile; per imporre la conservazione del momento angolare ha considerato tutto il sistema, ossia macchina più disco? In questo modo la forza d'attrito tangenziale e le forze apparenti $ -mD*aA $ e $ mA*aD $ diventano forze interne e non compaiono nella risultante dei momenti delle forze esterne. Giusto?
Rispondo solo se mi dai del tu. 
Per questa volta passi...
Si va considerato il sistema complessivo che ha momento angolare nullo.
Le forze apparenti che hai scritto non mi sono molto chiare. Sono due prodotti scalari (o forse due semplici moltiplicazioni...), es $-m_D\cdot a_A$, ma un prodotto scalare è un numero non un vettore e una forza deve essere un vettore, quindi va specificato anche il verso.
Ok, anch'io ho scritto solo degli scalari, ma i versi sono talmente semplici...
Comunque nei moti rotatori ci sono due forze apparenti: la forza centrifuga che qui ha effetto sulla automobile, ma il problema dice che l'auto fornisca da sola la forza centripeta che bilancia quella centrifuga. E' una forza radiale, quindi non influenza il momento angolare. L'altra è la forza di Coriolis, che si manifesta se ci sono delle velocità con componente radiale, cioè da e per il centro, ma qui non ci sono.
In sintesi, le forze apparenti qui non le consideriamo.
Ma il risultato viene da un libro, è fatto in classe,... ?
Per questa volta passi... Si va considerato il sistema complessivo che ha momento angolare nullo.
Le forze apparenti che hai scritto non mi sono molto chiare. Sono due prodotti scalari (o forse due semplici moltiplicazioni...), es $-m_D\cdot a_A$, ma un prodotto scalare è un numero non un vettore e una forza deve essere un vettore, quindi va specificato anche il verso.
Ok, anch'io ho scritto solo degli scalari, ma i versi sono talmente semplici...
Comunque nei moti rotatori ci sono due forze apparenti: la forza centrifuga che qui ha effetto sulla automobile, ma il problema dice che l'auto fornisca da sola la forza centripeta che bilancia quella centrifuga. E' una forza radiale, quindi non influenza il momento angolare. L'altra è la forza di Coriolis, che si manifesta se ci sono delle velocità con componente radiale, cioè da e per il centro, ma qui non ci sono.
In sintesi, le forze apparenti qui non le consideriamo.
Ma il risultato viene da un libro, è fatto in classe,... ?
Sì, scusami per il lei e per la scarsa precisione nel linguaggio matematico. Comunque con i prodotti$ -mD*aA $ e $ mA*aD $ intendevo i moduli dei vettori delle forze apparenti -con il relativo verso- che agiscono su disco e su automobile. Ossia, se l'auto viaggia con un'accelerazione $ aA $ allora il disco, per il terzo principio risentirà di una forza apparente di modulo $ mD*aA $ e verso opposto all'accelerazione dell'automobilina; stessa situazione per quanto riguarda la forza apparente che agisce sull'automobilina generata dal moto del disco. Correggimi se sbaglio, ma io di solito ho sempre ragionato in questo modo in esercizi affini a questo. Comunque l'esecizio è preso dal libro "Problemi di fisica generale" di Sergio Rosati. Non finirò mai di ringraziarti per la pazienza e l'aiuto che mi stai offrendo.
C'è qualcosa da mettere a posto nella mia soluzione.
Non avevo considerato anche l'accelerazione tangenziale $A$ che anch'essa tende a far slittare l'auto.
Però ci sono ancora delle differenze. Non saprei cos'altro può mancare.
Non avevo considerato anche l'accelerazione tangenziale $A$ che anch'essa tende a far slittare l'auto.
Però ci sono ancora delle differenze. Non saprei cos'altro può mancare.
Ok, ecco cosa non torna.
Non bisogna prendere l'intera accelerazione $A$, ma solo l'accelerazione dell'automobilina rispetto al suolo, cioè $A(m_D)/(m_D+2m_A)$
Non bisogna prendere l'intera accelerazione $A$, ma solo l'accelerazione dell'automobilina rispetto al suolo, cioè $A(m_D)/(m_D+2m_A)$
Scusa ma non mi è molto chiaro quest'ultimo accorgimento...
"Soter":
Scusa ma non mi è molto chiaro quest'ultimo accorgimento...
(A parte che mi è venuto in mente mentre ero fuori un'errore grosso... non ho elevato $m\omega^2r$ al quadrato... dopo correggo.)
Eh, neanche a me era chiaro l'accorgimento...
Esempio: immagina di correre su un tappeto mobile, un tapis roulant.
Caso 1: il tappeto è fermo e tu inizi ad correre, ad accelerare. Ha senso stabilire un attrito massimo delle suole. Se uno spinge troppo, scivola.
Caso 2: non sei tu ad accelerare, ma è il tappeto che accelera all'indietro, mentre tu assecondi il movimento in modo da rimanere fermo rispetto a una ringhiera. Come per l'attrezzo per la corsa che si trova in palestra. Anche se il tappeto accelera molto forte, importa qualcosa dell'attrito scarpe-tappeto ? La risposta è no, può anche essere nullo.
Perchè quello che conta è l'accelerazione rispetto a un sistema non accelerato, che nel nostro caso è comodo prendere il suolo.
Non è da considerare l'accelerazione relativa.
Per l'automobilina, quello che conta per l'attrito non è $A$, ma $a_A$, cioè l'accelerazione rispetto al suolo.
Chiarissimo, grazie mille 
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