Esercizio moto rettilineo uniforme
Salve a tutti. E' tutto il pomeriggio che sto ragionando su un esercizio (probabilmente facile) di cui non riesco a venirne a capo 
L'esercizio è preso da un esame: Una barca scende lungo un fiume e sorpassa una zattera nel punto A (la zattera ha la stessa velocità $ v_0 $ della corrente). La barca, dopo avere navigato per 60 min verso valle, vira nel punto B e raggiunge la zattera nel punto C, che si trova a 6 Km a valle di A. Si calcoli la velocità della corrente. (Suggerimento: si eguagli il tempo necessario alla zattera per andare da A a C con quello che ci mette la barca per andare da A a B e poi in C.
Di soluzioni ne ho provate tante e l'unica cosa che posso affermare è che in tutti i casi mi rimangono sempre delle incognite ( velocità della barca, oppure AB cioè $ x_B $ se considero A come origine dell'asse) che non riesco a semplificare.
Qualcuno può darmi una mano? grazie.
L'esercizio è preso da un esame: Una barca scende lungo un fiume e sorpassa una zattera nel punto A (la zattera ha la stessa velocità $ v_0 $ della corrente). La barca, dopo avere navigato per 60 min verso valle, vira nel punto B e raggiunge la zattera nel punto C, che si trova a 6 Km a valle di A. Si calcoli la velocità della corrente. (Suggerimento: si eguagli il tempo necessario alla zattera per andare da A a C con quello che ci mette la barca per andare da A a B e poi in C.
Di soluzioni ne ho provate tante e l'unica cosa che posso affermare è che in tutti i casi mi rimangono sempre delle incognite ( velocità della barca, oppure AB cioè $ x_B $ se considero A come origine dell'asse) che non riesco a semplificare.
Qualcuno può darmi una mano? grazie.
Risposte
Ciao sai il risultato per caso?
Allora a me dovrebbe essere venuto...
Allora a me dovrebbe essere venuto...
Innanzitutto chiama P la distanza per andare dal punto A al punto B.
chiama Va la velocita della barca
chiama Vb la velocità della zattera
Dunque
P/Va=3600 secondi
6000 m /Vb= (2 P - 6000 m) / Va
Fai ilsistema tra queste due equazioni ...
chiama Va la velocita della barca
chiama Vb la velocità della zattera
Dunque
P/Va=3600 secondi
6000 m /Vb= (2 P - 6000 m) / Va
Fai ilsistema tra queste due equazioni ...
Allora, cosa rappresenta m ?
La seconda equazione come l'hai ricavata ? potresti scrivermi il procedimento che ci sta dietro?
Grazie.
La seconda equazione come l'hai ricavata ? potresti scrivermi il procedimento che ci sta dietro?
Grazie.
Troppo facile così, quel sistema ha 3 incognite e 2 equazioni.
La velocità della barca e della zattera non son note ma nemmeno la distanza AB che tu chiami P.
La velocità della barca e della zattera non son note ma nemmeno la distanza AB che tu chiami P.
Allora m sono i metri. In realtà infatti era meglio ometterli.
La seconda equazione l ho ricavata pensando:
la legge oraria è
x-xo= vo • t + 1/2 a t ^2
ora a=0
quindi l equazione diventa
x-xo = vo• t
percui t = x-xo/ vo
per quanto riguarda la zattera il tempo è
t:6000/Vb
cioè è il tempo impiegato per andare da A a C e fare quindi 6 km
per quanto riguarda la barca
t= (2P - 6000)/ Va
perché se tu pensi al percorso fatto dalla barca ( fatti un disegno) puoi vederlo come 2 volte il percorso per andare da A a B a cui sottrai ilpercorso fatto dalla zattera, ovvero 6 km.
Quindi ti eguagli i due tempi perché sono uguali e ottieni l equazione
La seconda equazione l ho ricavata pensando:
la legge oraria è
x-xo= vo • t + 1/2 a t ^2
ora a=0
quindi l equazione diventa
x-xo = vo• t
percui t = x-xo/ vo
per quanto riguarda la zattera il tempo è
t:6000/Vb
cioè è il tempo impiegato per andare da A a C e fare quindi 6 km
per quanto riguarda la barca
t= (2P - 6000)/ Va
perché se tu pensi al percorso fatto dalla barca ( fatti un disegno) puoi vederlo come 2 volte il percorso per andare da A a B a cui sottrai ilpercorso fatto dalla zattera, ovvero 6 km.
Quindi ti eguagli i due tempi perché sono uguali e ottieni l equazione
No si infatti se metti a sistema hai due incognite in un equazione. Però le equazioni che ti ho dato mi sembrano giuste. Dovresti trovare un altra equazione... cmq si la distanza A B nn è nota però è noto il tempo che impiega a farla, cioè 60 minuti...
Seriesci a risolverlo fammi sapere come che mi sono incuriosita...
è proprio lì il problema, non riesco (per quanto abbia provato) a ricavarmi un'equazione che non dipenda da altre: ci sono sempre troppe incognite e pochi dati a disposizione per trovarle. A questo punto mi viene da pensare che se il problema ha soluzione, ci deve essere sicuramente un'altra strada per risolverlo.
Grazie lo stesso.
Altre idee (anche di altri utenti)?
Grazie lo stesso.
Altre idee (anche di altri utenti)?
Ho provato ad impostarlo nel seguente modo, sempre non riuscendo a concludere, ma forse qualcuno può prendere spunto e riuscire a finire l'esercizio:
Indico con $V0$ la velocità della corrente, e con $Vm$ la velocità del motore della barca;
Considero la direzione della corrente come positiva;
Quindi mentre la barca va a valle, la sua velocità sarà data da $Vm+V0$, e quindi la distanza AB sarà data da:
$AB=60(Vm+V0)$
Si ha inoltre che una volta a valle, la barca andrà contro corrente, e quindi la sua velocità sarà data da $V0-Vm$ (perchè la direzione della corrente è quella positiva)
Notando che la distanza $BC$ è uguale ad $AB-6$ posso porre il tempo per fare da B a C per la barca, come $Tp=(AB-6)/(V0-Vm)$
Si ha inoltre (ed è abbastanza ovvio): $V0=6/(Tp+60)$
Ricapitolando abbiamo:
$ { ( AB=60(Vm+V0) ),( Tp=(AB-6)/(V0-Vm) ),( V0=6/(Tp+60) ) :} $
Come si nota manca sempre una equazione...
In sostanza si rimane con questa roba $(6/(V0))=60+((V0+Vm)*60-6)/(V0-Vm)$ ugualiando subito i tempi (come da suggerito dal testo).
Indico con $V0$ la velocità della corrente, e con $Vm$ la velocità del motore della barca;
Considero la direzione della corrente come positiva;
Quindi mentre la barca va a valle, la sua velocità sarà data da $Vm+V0$, e quindi la distanza AB sarà data da:
$AB=60(Vm+V0)$
Si ha inoltre che una volta a valle, la barca andrà contro corrente, e quindi la sua velocità sarà data da $V0-Vm$ (perchè la direzione della corrente è quella positiva)
Notando che la distanza $BC$ è uguale ad $AB-6$ posso porre il tempo per fare da B a C per la barca, come $Tp=(AB-6)/(V0-Vm)$
Si ha inoltre (ed è abbastanza ovvio): $V0=6/(Tp+60)$
Ricapitolando abbiamo:
$ { ( AB=60(Vm+V0) ),( Tp=(AB-6)/(V0-Vm) ),( V0=6/(Tp+60) ) :} $
Come si nota manca sempre una equazione...
In sostanza si rimane con questa roba $(6/(V0))=60+((V0+Vm)*60-6)/(V0-Vm)$ ugualiando subito i tempi (come da suggerito dal testo).
Precisiamo alcune cose.
Le velocità in gioco sono riferite al riferimento assoluto rappresentato dalle sponde del canale, che supponiamo orientate da sn a ds (asse $x$ ). La zattera è trascinata dalla corrente, quindi ha velocità assoluta uguale a $vecv_0$, che supponiamo anch'essa da sn a ds. Perciò proiettando sull'asse risulta $v_0>0$. Cioè la zattera ha velocità relativa zero. Con tale velocità la zattera si muove lungo $AC = 6000 m$ , quindi il suo tempo di viaggio totale vale $t_z = (AC)/v_0$ .
E qui già abbiamo due incognite, $t_z$ e $ v_0$
Durante questo tempo $t_z$ la barca ha fatto i due tratti AB e BC , giusto ?
La barca ha una velocità assoluta $vecv_b$ uguale alla somma della velocità relativa all'acqua, che Gabmat ha chiamato $vecv_m$ , più la velocità di trascinamento uguale a $vecv_0$ :
$vecv_b = vecv_m + vecv_0$
e questa relazione vettoriale vale sia all'andata che al ritorno.
Proiettando sull'asse $x$ , all'andata si ha che: $v_b = v_m + v_0$ . La barca mantiene questa velocità per $t_1 = 3600 s$ , da A fino a B , quindi :
$AB = t_1(v_m + v_0)$.
e qui conosciamo solo $t_1$ , mentre AB e la velocità $v_m$ sono altre due incognite. La velocità $v_0$ già sapevamo essere incognita.
Poi in B la barca inverte la direzione, perciò la velocità assoluta , che vettorialmente è sempre data da $vecv_b = vecv_m + vecv_0$ risulta essere, proiettata sull'asse , uguale a $-v_m + v_0$ , e deve risultare negativa, cioè diretta nel verso negativo di x, altrimenti la barca non riuscirebbe a risalire la corrente. Ma ora anche lo spostamento BC della barca va considerato negativo, perché si suppone che C sia a monte di B .
Quindi la barca naviga contro corrente per un tempo $t_2 = (-BC)/(-v_m+v_0) = (BC)/(v_m - v_0)$ e deve essere, in modulo : $v_m > v_0$ , altrimenti la barca non può vincere la corrente.
Abbiamo introdotto altre due incognite, BC e il tempo $t_2$ .
Abbiamo ora che deve essere : $t_z = t_1 + t_2$
Inoltre : $AB - BC = AC = 6000 m $
Riassumendo abbiamo queste equazioni :
$ t_1 + t_2 = (AC)/v_0$
$t_1 = (AB)/(v_m + v_0)$
$t_2 = (BC)/(v_m - v_0)$
$AB - BC = AC$
e conosciamo $AC = 6000m$ ; $t_1 = 60 min = 3600 s$
Le incognite sono : $t_2$ ; $v_0$ ; $ AB$ ; $ BC $ ; $v_m$ .
Sono troppo poche 4 equazioni per trovare 5 incognite. C'è qualcosa che non abbiamo capito. O forse non lo ha capito chi ha proposto il problema a Meetmat.
Le velocità in gioco sono riferite al riferimento assoluto rappresentato dalle sponde del canale, che supponiamo orientate da sn a ds (asse $x$ ). La zattera è trascinata dalla corrente, quindi ha velocità assoluta uguale a $vecv_0$, che supponiamo anch'essa da sn a ds. Perciò proiettando sull'asse risulta $v_0>0$. Cioè la zattera ha velocità relativa zero. Con tale velocità la zattera si muove lungo $AC = 6000 m$ , quindi il suo tempo di viaggio totale vale $t_z = (AC)/v_0$ .
E qui già abbiamo due incognite, $t_z$ e $ v_0$
Durante questo tempo $t_z$ la barca ha fatto i due tratti AB e BC , giusto ?
La barca ha una velocità assoluta $vecv_b$ uguale alla somma della velocità relativa all'acqua, che Gabmat ha chiamato $vecv_m$ , più la velocità di trascinamento uguale a $vecv_0$ :
$vecv_b = vecv_m + vecv_0$
e questa relazione vettoriale vale sia all'andata che al ritorno.
Proiettando sull'asse $x$ , all'andata si ha che: $v_b = v_m + v_0$ . La barca mantiene questa velocità per $t_1 = 3600 s$ , da A fino a B , quindi :
$AB = t_1(v_m + v_0)$.
e qui conosciamo solo $t_1$ , mentre AB e la velocità $v_m$ sono altre due incognite. La velocità $v_0$ già sapevamo essere incognita.
Poi in B la barca inverte la direzione, perciò la velocità assoluta , che vettorialmente è sempre data da $vecv_b = vecv_m + vecv_0$ risulta essere, proiettata sull'asse , uguale a $-v_m + v_0$ , e deve risultare negativa, cioè diretta nel verso negativo di x, altrimenti la barca non riuscirebbe a risalire la corrente. Ma ora anche lo spostamento BC della barca va considerato negativo, perché si suppone che C sia a monte di B .
Quindi la barca naviga contro corrente per un tempo $t_2 = (-BC)/(-v_m+v_0) = (BC)/(v_m - v_0)$ e deve essere, in modulo : $v_m > v_0$ , altrimenti la barca non può vincere la corrente.
Abbiamo introdotto altre due incognite, BC e il tempo $t_2$ .
Abbiamo ora che deve essere : $t_z = t_1 + t_2$
Inoltre : $AB - BC = AC = 6000 m $
Riassumendo abbiamo queste equazioni :
$ t_1 + t_2 = (AC)/v_0$
$t_1 = (AB)/(v_m + v_0)$
$t_2 = (BC)/(v_m - v_0)$
$AB - BC = AC$
e conosciamo $AC = 6000m$ ; $t_1 = 60 min = 3600 s$
Le incognite sono : $t_2$ ; $v_0$ ; $ AB$ ; $ BC $ ; $v_m$ .
Sono troppo poche 4 equazioni per trovare 5 incognite. C'è qualcosa che non abbiamo capito. O forse non lo ha capito chi ha proposto il problema a Meetmat.
La velocità della corrente è di $3\ (km)/h$.
La barca si muove ad una velocità costante rispetto alla corrente, sia all'andata che al ritorno.
Questo fatto implica che se prendiamo come punto di riferimento la zattera, questa risulta ferma rispetto alla barca; da ciò ne consegue allora che la distanza tra barca e zattera raggiunta all'andata dalla barca è la stessa che la barca percorrerà al ritorno; quindi il tempo totale del percorso fatto dalla barca sarà di $120\ \text(minuti)$ e la conclusione è che la velocità delle corrente è $v_0=6/2=3\ (km)/h$.
La velocità della barca è ininfluente ai fini del risultato finale (è sufficiente che sia superiore alla velocità della corrente); provate ...
Cordialmente, Alex
La barca si muove ad una velocità costante rispetto alla corrente, sia all'andata che al ritorno.
Questo fatto implica che se prendiamo come punto di riferimento la zattera, questa risulta ferma rispetto alla barca; da ciò ne consegue allora che la distanza tra barca e zattera raggiunta all'andata dalla barca è la stessa che la barca percorrerà al ritorno; quindi il tempo totale del percorso fatto dalla barca sarà di $120\ \text(minuti)$ e la conclusione è che la velocità delle corrente è $v_0=6/2=3\ (km)/h$.
La velocità della barca è ininfluente ai fini del risultato finale (è sufficiente che sia superiore alla velocità della corrente); provate ...
Cordialmente, Alex
se prendiamo come punto di riferimento la zattera, questa risulta ferma rispetto alla barca;
La barca risulta ferma rispetto alla zattera? Nel riferimento della zattera, la barca non ha una velocità diversa da zero? Come fa la barca a superare la zattera, andare avanti e poi tornare indietro?
Spiegami Alex, io non ho capito, ma d'altronde si sa che sono poco intelligente. Probabilmente hai ragione ma vorrei capire, ti spiace?
axpgn, però tu affermi che la barca e la zattera si incontrano dopo 120 minuti, ma così sbagli, perchè se prendo un riferimento qualsiasi il tempo a cui si incontrano rimane lo stesso... soltanto che la barca la vedrò muovere più veloce rispetto alla zattera (che se presa come punto di riferimento è ferma)
"navigatore":
La barca risulta ferma rispetto alla zattera? Nel riferimento della zattera, la barca non ha una velocità diversa da zero? Come fa la barca a superare la zattera, andare avanti e poi tornare indietro?
Sì, scusa, intendevo che la zattera essendo l'origine del sistema di riferimento è ferma rispetto a questo (cioè rispetto a se stessa
) mentre la cosa importante che voleva sottolineare era che la velocità della barca rispetto alla corrente (e alla zattera) è costante e perciò è la stessa sia all'andata che al ritorno (salvo il verso, ovviamente ed è altrettanto pacifico che rispetto al terreno la velocità della barca sarà $v_b+v_o$ all'andata e $v_b-v_o$ al ritorno).Detto questo, dato che la zattera e l'origine del mio sistema di riferimento sono la stessa cosa, se un corpo si allontana da esso a velocità costante (con moto rettilineo) dopo un certo tempo $t$ arriverà ad una certa distanza $d$ dall'origine e se in quell'istante inverte il verso di marcia ma sempre nella stessa direzione con una velocità con modulo uguale all'andata, per tornare al punto di partenza impiegherà lo stesso tempo. Ergo la barca per allontanarsi dalla zattera e poi tornarvi impiegherà giusto $2$ ore e siccome nello stesso tempo la zattera si è mossa di $6\ km$ allora la velocità della zattera (alias corrente) sarà $v_0=6/2=3\ (km)/h$.
Cordialmente, Alex
Penso di aver capito! grazie Alex!
In poche parole considerando la zattera come punto di riferimento, non considero più la corrente e quindi all'andata avrò velocità Vm e al ritorno -Vm; quindi se all'andata impiego 60 minuti, anche al ritorno ne impiego 60 giusto?
In poche parole considerando la zattera come punto di riferimento, non considero più la corrente e quindi all'andata avrò velocità Vm e al ritorno -Vm; quindi se all'andata impiego 60 minuti, anche al ritorno ne impiego 60 giusto?
Grazie a tutti per le risposte, in ogni caso non sono d'accordo con axpng. Nello specifico:
Come fai a dirlo? Capisco che se prendiamo come sistema di riferimento la zattera, la barca si muove di moto rettilineo uniforme e ciò che vedo è solo la velocità della barca comunque anche la zattera si muove (quindi anche l'origine del mio sistema di riferimento si muove) ed inoltre $ AB !=BC $. Cerco di spiegarmi meglio: quando la barca arriva in B la zattera si troverà in un punto del tratto AC, ora la barca quando torna nell'origine del nuovo sistema di riferimento (che sarebbe il punto in cui s'incontra con la zattera cioè C) percorrerà un tratto minore del tratto che ha fatto per arrivare in B ed essendo il suo un moto rettilineo uniforme (in tempi uguali percorre spazi uguali) il tratto percorso per tornare in C sarà minore di quello dell'andata con conseguente fatto che ci impiegherà meno di un'ora.
Spero di essere stato chiaro
. Tengo comunque a precisare che non ho dimestichezza con i moti relativi i quali oltre a non essere (o quasi) parte del programma del corso , mi risultano anche difficili da capire.
"axpgn":
Ergo la barca per allontanarsi dalla zattera e poi tornarvi impiegherà giusto $ 2 $ ore
Come fai a dirlo? Capisco che se prendiamo come sistema di riferimento la zattera, la barca si muove di moto rettilineo uniforme e ciò che vedo è solo la velocità della barca comunque anche la zattera si muove (quindi anche l'origine del mio sistema di riferimento si muove) ed inoltre $ AB !=BC $. Cerco di spiegarmi meglio: quando la barca arriva in B la zattera si troverà in un punto del tratto AC, ora la barca quando torna nell'origine del nuovo sistema di riferimento (che sarebbe il punto in cui s'incontra con la zattera cioè C) percorrerà un tratto minore del tratto che ha fatto per arrivare in B ed essendo il suo un moto rettilineo uniforme (in tempi uguali percorre spazi uguali) il tratto percorso per tornare in C sarà minore di quello dell'andata con conseguente fatto che ci impiegherà meno di un'ora.
Spero di essere stato chiaro
. Tengo comunque a precisare che non ho dimestichezza con i moti relativi i quali oltre a non essere (o quasi) parte del programma del corso , mi risultano anche difficili da capire.
"Meetmat":
Come fai a dirlo?
L'ho detto sopra ...
"Meetmat":
... comunque anche la zattera si muove (quindi anche l'origine del mio sistema di riferimento si muove) ...
Vero, si muove rispetto alla terra ma è FERMA rispetto all'origine del sistema di riferimento adottato; perciò, per la nostra barca, la zattera e l'origine del sistema di riferimento sono la stessa cosa ... e se si allontana dall'una con velocità costante si allontana dall'altro allo stesso modo.
"Meetmat":
... ora la barca quando torna nell'origine del nuovo sistema di riferimento (che sarebbe il punto in cui s'incontra con la zattera cioè C) percorrerà un tratto minore del tratto che ha fatto per arrivare in B ...
"un tratto minore" rispetto a che? No di certo rispetto alla zattera che non si è spostata dall'origine, quindi per la stessa distanza alla stessa velocità occorre lo stesso tempo.
Il "tratto è minore" se misurato rispetto a terra, ma anche la velocità della barca è minore se misurata rispetto a terra ...
Fai attenzione al fatto che NON esiste un NUOVO sistema di riferimento! Non confondere "il terreno" come se fosse un sistema di riferimento assoluto ...
Facciamo un esemipo: Se $v_b=30\ (km)/h$ dopo $1\ h$ la barca sarà a $30\ km$ dalla zattera e a $30+3=33\ km$ a valle del loro punto d'incontro (punto di partenza); al ritorno, dopo un'ora, la barca sarà nello stesso punto della zattera ma a $6\ km$ a valle del punto di partenza perché $33-(30-3)=6$.
Ho detto che la velocità della barca è ininfluente, rifacciamolo con $v_b=10\ (km)/h$: dopo un'ora la barca è a $10\ km$ dalla zattera e a $13$ dal punto di partenza; al ritorno, dopo un'ora, sarà nello stesso punto della zattera e a $6\ km$ dal punto di partenza perché $13-(10-3)=6$.
Cordialmente, Alex
"GabMat":
In poche parole ... giusto?
Giusto.
Grazie mille axpng.
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