Esercizio moto circolare uniforme
Una particella che si muove di moto armonico semplice viaggia su un percorso totale di 20.0 cm in ciascun ciclo del suo moto, e la sua accelerazione massima è [tex]50.0 m/s^2[/tex]. Calcolare, la pulsazione del moto e la velocità massima della particella.
Non capisco cosa non vada.....ho pensato di ricavare la pulsazione da [tex]a_M=\omega A^2[/tex] e ottengo come valore [tex]15.81 rad/s[/tex] e poi la velocità media risulta [tex]3,16 m/s[/tex]. Ma a quanto pare le risposte corrette sono:
[tex]31.6 rad/s[/tex] e [tex]1.58 m/s[/tex]
Forse sbaglio perchè io ho dato per scontato che l' ampiezza sia lo spazio di 20 cm? Non saprei cosa fare....
P.S che significa in ciascun ciclo del suo moto? Non è ovvio che l' ampiezza sia sempre la stessa?
Non capisco cosa non vada.....ho pensato di ricavare la pulsazione da [tex]a_M=\omega A^2[/tex] e ottengo come valore [tex]15.81 rad/s[/tex] e poi la velocità media risulta [tex]3,16 m/s[/tex]. Ma a quanto pare le risposte corrette sono:
[tex]31.6 rad/s[/tex] e [tex]1.58 m/s[/tex]
Forse sbaglio perchè io ho dato per scontato che l' ampiezza sia lo spazio di 20 cm? Non saprei cosa fare....
P.S che significa in ciascun ciclo del suo moto? Non è ovvio che l' ampiezza sia sempre la stessa?
Risposte
Se il percorso totale fatto in ciascun ciclo è $l=20 \text( cm)$, l'ampiezza dell'oscillazione è $A= l/4 = 5 \text( cm)$.
Poiché $a = -omega^2*x$, l'accelerazione massima si ha agli estremi della traiettoria, cioè $|a_(Max)|=omega^2*A$, da cui $omega=sqrt((|a_(Max)|)/A)=sqrt(50/(5*10^2))~=31.6 \text( rad/s)$.
La velocità massima si ha al centro dell'oscillazione: se la particella al tempo $t=0$ si trova a un estremo dell'oscillazione, la sua legge del moto è $x(t)=A*cos(omega*t)$, la legge della velocità è $v(t) = -A*omega*sin(omega*t)$ e il passaggio per il centro avviene a $t=T/4=(2 pi)/(omega*4)=(pi)/(2*omega)$.
Quindi $v_(Max)=|v(T/4)|=A*omega*sin(omega*(pi)/(2*omega))=A*omega=A*sqrt((|a_(Max)|)/A)=sqrt(A*|a_(Max)|)=sqrt(5*10^-2*50)~=1.58\text( m/s)$.
Probabilmente il testo dice "in ciascun ciclo" per sottolineare che per percorso completo si intende quello corrispondente a un'oscillazione completa, cioè un'andata e un ritorno.
Poiché $a = -omega^2*x$, l'accelerazione massima si ha agli estremi della traiettoria, cioè $|a_(Max)|=omega^2*A$, da cui $omega=sqrt((|a_(Max)|)/A)=sqrt(50/(5*10^2))~=31.6 \text( rad/s)$.
La velocità massima si ha al centro dell'oscillazione: se la particella al tempo $t=0$ si trova a un estremo dell'oscillazione, la sua legge del moto è $x(t)=A*cos(omega*t)$, la legge della velocità è $v(t) = -A*omega*sin(omega*t)$ e il passaggio per il centro avviene a $t=T/4=(2 pi)/(omega*4)=(pi)/(2*omega)$.
Quindi $v_(Max)=|v(T/4)|=A*omega*sin(omega*(pi)/(2*omega))=A*omega=A*sqrt((|a_(Max)|)/A)=sqrt(A*|a_(Max)|)=sqrt(5*10^-2*50)~=1.58\text( m/s)$.
Probabilmente il testo dice "in ciascun ciclo" per sottolineare che per percorso completo si intende quello corrispondente a un'oscillazione completa, cioè un'andata e un ritorno.
Scusa il ritardo con cui rispondo, non mi sono chiare molte cose. Come mai l' ampiezza è data da [tex]A=\frac{l}{4}[/tex] ?
Nel calcolo della pulsazione perchè hai scritto [tex]5*10^2[/tex] ? Si tratta sicuramente di lacune "grosse" mie in matematica, credo devi portare quel valore in metri, da cm dovrei spostare la virgola di due posti a salire giusto? Quindi non diventa [tex]0,05[/tex] ?
E poi per la velocità massima come mai il centro d' oscillazione si ottiene dividendo il periodo per 4?
Grazie.
Nel calcolo della pulsazione perchè hai scritto [tex]5*10^2[/tex] ? Si tratta sicuramente di lacune "grosse" mie in matematica, credo devi portare quel valore in metri, da cm dovrei spostare la virgola di due posti a salire giusto? Quindi non diventa [tex]0,05[/tex] ?
E poi per la velocità massima come mai il centro d' oscillazione si ottiene dividendo il periodo per 4?
Grazie.
"Darèios89":
Scusa il ritardo con cui rispondo, non mi sono chiare molte cose. Come mai l' ampiezza è data da [tex]A=\frac{l}{4}[/tex] ?
Nel calcolo della pulsazione perchè hai scritto [tex]5*10^2[/tex] ? Si tratta sicuramente di lacune "grosse" mie in matematica, credo devi portare quel valore in metri, da cm dovrei spostare la virgola di due posti a salire giusto? Quindi non diventa [tex]0,05[/tex] ?
E poi per la velocità massima come mai il centro d' oscillazione si ottiene dividendo il periodo per 4?
Grazie.
Il percorso in un ciclo completo è l'andata da un estremo all'altro più il ritorno. L'ampiezza invece corrisponde alla distanza fra il centro dell'oscillazione e un estremo, cioè è mezza andata (o mezzo ritorno). Quindi $A=l/4 = 5 \text( cm)$.
Nel calcolo della pulsazione hai ragione: c'è un mio errore di battuta. Era $A= 5*10^(-2) \text( m)$. Nei conti comunque avevo usato il valore giusto e quindi il risultato va bene.
Mi pareva di aver cercato di spiegare che la velocità è massima al centro dell'oscillazione. Se la partenza è a un estremo dell'oscillazione, in un periodo avviene un'andata all'altro estremo più un ritorno, in mezzo periodo un'andata sola e in un quarto di periodo mezza andata, cioè il corpo arriva al centro dell'oscillazione.
Ok, grazie mille, ora è chiaro, ho rivisto da wikipedia la circonferenza e chiaramente è perfetto il ragionamento.
Quindi abbiamo dovuto calcolare noi(meglio dire tu
) il tempo impiegato ad arrivare al centro di oscillazione.
Nel testo leggo che ovviamente il seno oscilla tra -1 ed 1 e quindi che in quella formula generale la velocità massima sarebbe [tex]V_{max}=\omega A[/tex] facendo direttamente questa moltiplicazione ho verificato che il calcolo risulta comunque senza cercare il tempo.
Quindi abbiamo dovuto calcolare noi(meglio dire tu
) il tempo impiegato ad arrivare al centro di oscillazione.Nel testo leggo che ovviamente il seno oscilla tra -1 ed 1 e quindi che in quella formula generale la velocità massima sarebbe [tex]V_{max}=\omega A[/tex] facendo direttamente questa moltiplicazione ho verificato che il calcolo risulta comunque senza cercare il tempo.
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