Esercizio moto circolare
"Un punto materiale si muove su una circonferenza di raggio $R = 4 m$ secondo l'equazione oraria $s(t) = v_0 * t + k * t^2$ dove $s$ è l'arco percorso dal punto in metri, $v_0 = 2 m/s$ e $k = 1 m/s^2$.
Trovare per l'istante $t = 6 s$ il numero di giri, la velocità e le componenti radiale e tangenziale dell'accelerazione del punto materiale."
Sono confuso su come svolgerlo però ho iniziato in questo comunque:
Il problema chiede il numero di giri, quindi in effetti chiede la frequenza $\upsilon = 1 / T = \omega / (2*\pi)$.
A questo punto mi devo calcolare $\omega$ ma so che varia dato che si ha una accelerazione angolare. Mi sono quindi calcolato $\theta$ come
$\theta = \theta_0 + \omega_0 * t + 1/2 * \alpha * t^2$
e cioè
$\theta = \omega_0 * t + 1/2 * (\omega - \omega_0)/(t - t_0) * t^2$
a questo punto ho pensato di calcolarmi le due omega in questo modo:
Dato che $(ds)/(dt) = \omega * r$, cioè $v = \omega * r$, abbiamo
$\omega_0 = v_0/r = 2/4 = 0.5 (rad)/s$
$\omega = v/r$
per conoscere $v$ basta derivare $s(t)$ rispetto al tempo, cioè
$v(t) = v_0 + 2 * k * t = 14 m/s$
quindi
$\omega = v/r = 14 / 4 = 3.5 m/s$
a questo punto posso calcolarmi $\theta$:
$\theta = 0.5 * 6 + 1/2 * (3.5 - 0.5)/(6 - 0) * 6^2 = 12 rad$
a questo punto conosco di quanto si è mosso il punto materiale ma non conosco il numero di giri.
Come dovrei continuare da questo punto in poi?
Trovare per l'istante $t = 6 s$ il numero di giri, la velocità e le componenti radiale e tangenziale dell'accelerazione del punto materiale."
Sono confuso su come svolgerlo però ho iniziato in questo comunque:
Il problema chiede il numero di giri, quindi in effetti chiede la frequenza $\upsilon = 1 / T = \omega / (2*\pi)$.
A questo punto mi devo calcolare $\omega$ ma so che varia dato che si ha una accelerazione angolare. Mi sono quindi calcolato $\theta$ come
$\theta = \theta_0 + \omega_0 * t + 1/2 * \alpha * t^2$
e cioè
$\theta = \omega_0 * t + 1/2 * (\omega - \omega_0)/(t - t_0) * t^2$
a questo punto ho pensato di calcolarmi le due omega in questo modo:
Dato che $(ds)/(dt) = \omega * r$, cioè $v = \omega * r$, abbiamo
$\omega_0 = v_0/r = 2/4 = 0.5 (rad)/s$
$\omega = v/r$
per conoscere $v$ basta derivare $s(t)$ rispetto al tempo, cioè
$v(t) = v_0 + 2 * k * t = 14 m/s$
quindi
$\omega = v/r = 14 / 4 = 3.5 m/s$
a questo punto posso calcolarmi $\theta$:
$\theta = 0.5 * 6 + 1/2 * (3.5 - 0.5)/(6 - 0) * 6^2 = 12 rad$
a questo punto conosco di quanto si è mosso il punto materiale ma non conosco il numero di giri.
Come dovrei continuare da questo punto in poi?
Risposte
Dopo $t=6s$ il punto materiale ha percorso:
$s(6)=12m+1*36m = 48m$
Dividendo questo percorso per la misura della circonferenza $C=2\piR$ ottieni il numero di giri effettuati $6/\pi$.
$s(6)=12m+1*36m = 48m$
Dividendo questo percorso per la misura della circonferenza $C=2\piR$ ottieni il numero di giri effettuati $6/\pi$.
Oh! Capito! Grazie!
La velocità poi sarebbe la derivata dello spostamento e quindi
$v(6) = 2 m/s + 2 * 1 m/s^2 * 6 s = 14 m/s$
mentre le componenti radiale e tangenziale sono
$a_r = v_0^2/r = 2^2 / 4 = 1 m/s^2$
$a_t = (v - v_0)/(t-t_0) = (14-2)/(6-0) = 2 m/s^2$
Giusto?
La velocità poi sarebbe la derivata dello spostamento e quindi
$v(6) = 2 m/s + 2 * 1 m/s^2 * 6 s = 14 m/s$
mentre le componenti radiale e tangenziale sono
$a_r = v_0^2/r = 2^2 / 4 = 1 m/s^2$
$a_t = (v - v_0)/(t-t_0) = (14-2)/(6-0) = 2 m/s^2$
Giusto?
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