Esercizio moto circolare
L'esercizio è il seguente:
Un corpo puntiforme si muove su una circonferenza di raggio $20 cm$ con una velocità di $5 m/s$. All'istante $t = 0$ al corpo viene applicata una forza tangenziale costante per fermarlo. Il corpo si ferma dopo aver percorso due circonferenze. Calcolare l'accelerazione tangenziale (costante). Calcolare l'istante in cui il modulo dell'accelerazione tangenziale è uguale a quello dell'accelerazione centripeta.
Sono partito in questo modo:
Mi sono calcolato la velocità angolare e l'accelerazione centripeta e quindi
$|\omega_0| = v/r = 25 (rad)/s$
$a_c = v * |\omega_0| = 125 m/s^2$
dato che l'accelerazione centripeta è la differenza di velocità nel tempo, mi serve sapere il tempo impiegato a percorrere due giri, quindi
$\theta = 2 * 2\pi = 4\pi$
$\theta = -1/2 * \alpha * t^2$
$\alpha$ è l'accelerazione angolare e si calcola come
$\alpha = (\omega - \omega_0)/(t - t_0)$
sostituendo si ha
$\theta = -1/2 * (\omega - \omega_0)/(t - t_0) * t^2$
e quindi
$4\pi = -1/2 * (0 - 25)/(t - 0) * t^2$
$4\pi = -1/2 * (- 25) * t$
$4\pi = 1/2 * 25 * t$
$t = (8\pi)/25 = 1 s$
a questo punto sappiano anche il tempo impiegato e quindi
$a_t = (0 - 5)/(1 - 0) = -5 m/s^2$
A questo punto il problema mi chiede in quale istante $|a_t| = |a_c|$. Io non ho proprio capito cosa intende con ciò. Qualcuno potrebbe spiegarmi cosa chiede e come si dovrebbe ragionare?
Un corpo puntiforme si muove su una circonferenza di raggio $20 cm$ con una velocità di $5 m/s$. All'istante $t = 0$ al corpo viene applicata una forza tangenziale costante per fermarlo. Il corpo si ferma dopo aver percorso due circonferenze. Calcolare l'accelerazione tangenziale (costante). Calcolare l'istante in cui il modulo dell'accelerazione tangenziale è uguale a quello dell'accelerazione centripeta.
Sono partito in questo modo:
Mi sono calcolato la velocità angolare e l'accelerazione centripeta e quindi
$|\omega_0| = v/r = 25 (rad)/s$
$a_c = v * |\omega_0| = 125 m/s^2$
dato che l'accelerazione centripeta è la differenza di velocità nel tempo, mi serve sapere il tempo impiegato a percorrere due giri, quindi
$\theta = 2 * 2\pi = 4\pi$
$\theta = -1/2 * \alpha * t^2$
$\alpha$ è l'accelerazione angolare e si calcola come
$\alpha = (\omega - \omega_0)/(t - t_0)$
sostituendo si ha
$\theta = -1/2 * (\omega - \omega_0)/(t - t_0) * t^2$
e quindi
$4\pi = -1/2 * (0 - 25)/(t - 0) * t^2$
$4\pi = -1/2 * (- 25) * t$
$4\pi = 1/2 * 25 * t$
$t = (8\pi)/25 = 1 s$
a questo punto sappiano anche il tempo impiegato e quindi
$a_t = (0 - 5)/(1 - 0) = -5 m/s^2$
A questo punto il problema mi chiede in quale istante $|a_t| = |a_c|$. Io non ho proprio capito cosa intende con ciò. Qualcuno potrebbe spiegarmi cosa chiede e come si dovrebbe ragionare?
Risposte
Mentre l'accelerazione tangenziale rimane costante per tutto il tempo, lo stesso non si può dire dell'accelerazione centripeta: questa dipende dal quadrato della velocità, dunque una variazione della velocità (che avviene attraverso l'accelerazione tangenziale) porta inevitabilmente a una variazione di essa.
Okay, quindi, dato che la velocità diminuisce, diminuisce anche l'accelerazione centripeta. Dovrei metterli a confronto? Del tipo:
$a_t = a_c = v^2 / r$
e quindi poi calcolarmi la velocità nell'istante in cui $a_c = a_t$. Poi dovrei partire dall'inizio per trovarmi il tempo impiegato del tipo:
$a_c = (v - v_0)/(t - t_0)$
e poi procedere col calcolarmi $t$, cioè
$t = (v - v_0)/a_c$
E' giusto così?
$a_t = a_c = v^2 / r$
e quindi poi calcolarmi la velocità nell'istante in cui $a_c = a_t$. Poi dovrei partire dall'inizio per trovarmi il tempo impiegato del tipo:
$a_c = (v - v_0)/(t - t_0)$
e poi procedere col calcolarmi $t$, cioè
$t = (v - v_0)/a_c$
E' giusto così?
Esattamente, il procedimento è giusto.
Però mi viene un tempo negativo. ($t = -0.8 s$)
$v_0$ è maggiore di $v$, dunque il risultato della sottrazione è negativo, come del resto l'accelerazione tangenziale; con la divisione i segni negativi si annullano e la soluzione è positiva.
Oh okay! Grazie!
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