Esercizio Moto Armonico(eq.differenziale)
Ciao ragazzi , vorrei avere dei chiarimenti riguardo la prima domanda dell''esercizio 1:
Allora vi dico come l'ho fatto io...(aiutandomi con le soluzioni del prof).
Potreste dirmi se i ragionamenti sono corretti?
Considero un sistema di riferimento cartesiano con l'asse delle y rivolto verso il basso.
Anzitutto notiamo che la carrucola deve rimanere ferma, quindi $T_1= T_2=T$, per la seconda cardinale.
Studiamo ora il moto del corpo B:
$Mddot(x) = Mg - T$
Dal momento che la molla non ha massa $rarr T=kx rarr Mddot(x) = Mg - kx$
Questa è l'equazione del moto armonico con pulsazione $Omega = sqrt(k/M)$ e $x_0 = (Mg)/k =$ posizione di riposo della molla.
Ora, dal momento che in pratica mi viene chiesto il max allungamento della molla , considero
$y = x-x_0 =$ allungamento della molla
Quindi $ ddot(y) = -k/M y $ (Eq.diff. omogenea secondo ordine)
A questo punto svolgo il problema di Cauchy imponendo come condizioni iniziali $dot(y)(0) = 0$ e $y(0) = A_(max)$, trovando la soluzione $y(t)= A_(max) cos (Omegat)$.
A questo punto il prof deriva $y(t)$:
$ddot(y)(t)= -A_(max) Omega^2 cos(Omegat)$
e dopo di che eguaglia l'accelerazione della molla a quella del corpo B, cioè $ddot(x_B)(t) = ddot(y)(t)$ (Perché?)
Una volta fatto questo , so che l'ampiezza massima $A_(max)$ si ha quando l'accelerazione del corpo B $ddot(x_B)(t)$ è massima.
Dal momento che il filo è inestensibile ,abbiamo che $a_(A)(t) = ddot(x_B)(t)$
Studiando le forze che agiscono sul corpo A abbiamo che:
$5Ma = T- A_s$
Quindi la massima accelerazione si ha quando T è massima.
So che $ T = kx = Mg - Mddot(x)$ , quindi
$T_(max) = Mg - Mddot(x)_(max) = Mg - M(-A_(max) Omega^2)= M(g+A_(max)Omega^2)$
A questo punto non mi resta che imporre:
$T_(max) < mu_s (5Mg)$ ricavandomi $A_(max) <(2Mg)/(3k)$
Sono corretti i ragionamenti?
Non ho capito bene perché il prof dice che l'accelerazione della molla è uguale a quella del corpo B.
Lo chiedo perché tra gli appunti del prof c'è scritto che
Non ho quindi capito bene questa differenza..
Grazie!
Allora vi dico come l'ho fatto io...(aiutandomi con le soluzioni del prof).
Potreste dirmi se i ragionamenti sono corretti?
Considero un sistema di riferimento cartesiano con l'asse delle y rivolto verso il basso.
Anzitutto notiamo che la carrucola deve rimanere ferma, quindi $T_1= T_2=T$, per la seconda cardinale.
Studiamo ora il moto del corpo B:
$Mddot(x) = Mg - T$
Dal momento che la molla non ha massa $rarr T=kx rarr Mddot(x) = Mg - kx$
Questa è l'equazione del moto armonico con pulsazione $Omega = sqrt(k/M)$ e $x_0 = (Mg)/k =$ posizione di riposo della molla.
Ora, dal momento che in pratica mi viene chiesto il max allungamento della molla , considero
$y = x-x_0 =$ allungamento della molla
Quindi $ ddot(y) = -k/M y $ (Eq.diff. omogenea secondo ordine)
A questo punto svolgo il problema di Cauchy imponendo come condizioni iniziali $dot(y)(0) = 0$ e $y(0) = A_(max)$, trovando la soluzione $y(t)= A_(max) cos (Omegat)$.
A questo punto il prof deriva $y(t)$:
$ddot(y)(t)= -A_(max) Omega^2 cos(Omegat)$
e dopo di che eguaglia l'accelerazione della molla a quella del corpo B, cioè $ddot(x_B)(t) = ddot(y)(t)$ (Perché?)
Una volta fatto questo , so che l'ampiezza massima $A_(max)$ si ha quando l'accelerazione del corpo B $ddot(x_B)(t)$ è massima.
Dal momento che il filo è inestensibile ,abbiamo che $a_(A)(t) = ddot(x_B)(t)$
Studiando le forze che agiscono sul corpo A abbiamo che:
$5Ma = T- A_s$
Quindi la massima accelerazione si ha quando T è massima.
So che $ T = kx = Mg - Mddot(x)$ , quindi
$T_(max) = Mg - Mddot(x)_(max) = Mg - M(-A_(max) Omega^2)= M(g+A_(max)Omega^2)$
A questo punto non mi resta che imporre:
$T_(max) < mu_s (5Mg)$ ricavandomi $A_(max) <(2Mg)/(3k)$
Sono corretti i ragionamenti?
Non ho capito bene perché il prof dice che l'accelerazione della molla è uguale a quella del corpo B.
Lo chiedo perché tra gli appunti del prof c'è scritto che
l'allungamento $y(t)$ della molla nel tempo non è uguale alla posizione $x(t)$
del corpo nel tempo
Non ho quindi capito bene questa differenza..
Grazie!
Risposte
Ho l'impressione che tu stia cercando di risolvere il problema complicandolo inutilmente. Infatti, indicando con $x(t)$ l'allungamento istantaneo della molla:
Tra l'altro, non riesco nemmeno a capire se le nostre soluzioni coincidono.
$[m_Ba_B=m_Bg-kx] rarr [x(t)=Acos\omegat+(m_Bg)/k] rarr$
$rarr [x_(max)=A+(m_Bg)/k] rarr [T_(max)=kA+m_Bg] rarr$
$rarr [kA+m_Bg lt= \mu_sm_Ag] rarr [A lt= g/k(\mu_sm_A-m_B)]$
Tra l'altro, non riesco nemmeno a capire se le nostre soluzioni coincidono.
Coincidono.
Io ho risolto seguendo quello che faceva il professore, non so perché ha ha fatto questa distinzione tra $ddot(y)$ e $ddot(x)$.
Comunque così è molto più immediato , ti ringrazio!
Approffito per chiederti un chiarimento riguardo l'eq. differenziale del moto armonico.
In questo caso abbiamo:
Da quello che ho studiato , questa equazione ha una soluzione data da :
Il termine costante $Mg$ mi sfasa lungo x il piano delle fasi, quindi ho una posizione di riposo $!=0$.
Per calcolare $A ,B,C$ svolgo il problema di Cauchy:
Sappiamo che $v_0 = 0$.
Per quanto riguarda $x(0)$ invece , esso è uguale ad $A_(max)$ perchè la velocità allo stesso istante è nulla?
Cioè io so che nel moto armonico la velocità è nulla agli estremi ,quindi dal momento che la velocità al tempo 0 è nulla allora di conseguenza l'allungamento della molla al tempo 0 è massimo?
Poi un'altra cosa , hai scritto $x(t)$ = allungamento istantaneo della molla, però in generale non è così, giusto?
$x(t)$ è la legge oraria del corpo che fa moto armonico.
In questo caso quest'ultima è uguale all'allungamento della molla perché il corpo B oscilla soltanto tra i suoi due estremi,dal momento che A non deve muoversi e quindi " il filo non può scendere". È corretto?
Ti ringrazio tanto per tutti gli aiuti!
Io ho risolto seguendo quello che faceva il professore, non so perché ha ha fatto questa distinzione tra $ddot(y)$ e $ddot(x)$.
Comunque così è molto più immediato , ti ringrazio!
Approffito per chiederti un chiarimento riguardo l'eq. differenziale del moto armonico.
In questo caso abbiamo:
$ddot(x) + Omegax = g $
Da quello che ho studiato , questa equazione ha una soluzione data da :
$Acos(Omegat) + Bsin(Omegat) + C$
Il termine costante $Mg$ mi sfasa lungo x il piano delle fasi, quindi ho una posizione di riposo $!=0$.
Per calcolare $A ,B,C$ svolgo il problema di Cauchy:
$\{(ddot(x) + Omegax = g),(x(0)=x_0),(v(0)=v_0):}$
Sappiamo che $v_0 = 0$.
Per quanto riguarda $x(0)$ invece , esso è uguale ad $A_(max)$ perchè la velocità allo stesso istante è nulla?
Cioè io so che nel moto armonico la velocità è nulla agli estremi ,quindi dal momento che la velocità al tempo 0 è nulla allora di conseguenza l'allungamento della molla al tempo 0 è massimo?
Poi un'altra cosa , hai scritto $x(t)$ = allungamento istantaneo della molla, però in generale non è così, giusto?
$x(t)$ è la legge oraria del corpo che fa moto armonico.
In questo caso quest'ultima è uguale all'allungamento della molla perché il corpo B oscilla soltanto tra i suoi due estremi,dal momento che A non deve muoversi e quindi " il filo non può scendere". È corretto?
Ti ringrazio tanto per tutti gli aiuti!
"BigDummy":
In questo caso abbiamo: $ddot(x)+Omegax=g$.
Probabilmente intendevi scrivere $[ddot(x)+Omega^2x=g]$.
"BigDummy":
... questa equazione ha una soluzione data da: $Acos(Omegat)+Bsin(Omegat)+C$
Poiché $C$ non è una costante arbitraria, meglio scrivere $[Acos(Omegat)+Bsin(Omegat)+g/Omega^2]$.
"BigDummy":
Per calcolare $A, B, C$ svolgo il problema di Cauchy:
La costante $C$ non ha nulla a che fare con il problema di Cauchy. Le condizioni iniziali sono imposte per determinare le costanti $A$ e $B$.
"BigDummy":
... hai scritto $x(t)$ allungamento istantaneo della molla, però in generale non è così ... $x(t)$ è la legge oraria del corpo che fa moto armonico.
Certamente. Tuttavia, se l'origine coincide con la posizione del punto materiale quando la molla è a riposo, la posizione istantanea del punto materiale coincide con l'allungamento della molla.
"BigDummy":
Per quanto riguarda $x(0)$ invece, esso è uguale ad $A_(max)$ perché la velocità allo stesso istante è nulla?
Certamente. Tuttavia, in base alle considerazioni di cui sopra, nel mio svolgimento $[x(0)=A+(m_Bg)/k]$.
chiarissimo , grazie ancora!
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