Esercizio momento di inerzia
Salve, mi trovo di nuovo alle prese con un esercizio al quale ho provato a dare una soluzione e mi piacerebbe avere un confronto con voi.
L'esercizio è il seguente, vi lascio anche del disegnino.
Quanto vale il momento di inerzia della sbarra omogenea (AB in figura) più la massa m rispetto all'asse z passante per A? https://i.postimg.cc/vZ5XJ6h3/esercizio.png
$l = 9 m$
$m = 1,5 kg$
$\lambda = 0,6 (kg)/m$
Il modo in cui ho proceduto per risolverlo è il seguente:
Ho calcolato il baricentro del sistema, calcolando prima la massa della sbarra considerando la forza peso applicata nel baricentro (della sbarra stessa, se omogenea) e poi applicando la formula tenedo conto della massa m
$xg = (x_1m_1 + x_2m_2)/(m_1 + m_2) = (5,4kg*4,5m + 1,5kg*9m)/(5,4kg + 1,5kg) = 5,47 m $
Poi ho trovato i due momenti di inerzia rispetto al centro di massa con il teorema di Huygens-Steiner come segue:
$ I_(sb) = I_(cm) + m*d^2 = 1/12*\lambda*l^3 + m*d^2 = 1/12*0,6 (kg)/m* (9m)^3 + 5,4kg*(5,47 m - 4,5 m )^2 = 41,68 kg*m^2$
$I_m=m*r^2 = 1,5 kg * (9m-5,47m)^2 = 5,29 kg * m^2$
E alla fine li ho sommati
$ I_(A) = I_1 + I_2 = 46,97 kg*m^2$
Grazie
L'esercizio è il seguente, vi lascio anche del disegnino.
Quanto vale il momento di inerzia della sbarra omogenea (AB in figura) più la massa m rispetto all'asse z passante per A? https://i.postimg.cc/vZ5XJ6h3/esercizio.png
$l = 9 m$
$m = 1,5 kg$
$\lambda = 0,6 (kg)/m$
Il modo in cui ho proceduto per risolverlo è il seguente:
Ho calcolato il baricentro del sistema, calcolando prima la massa della sbarra considerando la forza peso applicata nel baricentro (della sbarra stessa, se omogenea) e poi applicando la formula tenedo conto della massa m
$xg = (x_1m_1 + x_2m_2)/(m_1 + m_2) = (5,4kg*4,5m + 1,5kg*9m)/(5,4kg + 1,5kg) = 5,47 m $
Poi ho trovato i due momenti di inerzia rispetto al centro di massa con il teorema di Huygens-Steiner come segue:
$ I_(sb) = I_(cm) + m*d^2 = 1/12*\lambda*l^3 + m*d^2 = 1/12*0,6 (kg)/m* (9m)^3 + 5,4kg*(5,47 m - 4,5 m )^2 = 41,68 kg*m^2$
$I_m=m*r^2 = 1,5 kg * (9m-5,47m)^2 = 5,29 kg * m^2$
E alla fine li ho sommati
$ I_(A) = I_1 + I_2 = 46,97 kg*m^2$
Grazie
Risposte
Ci sono degli errori nell'applicazione di Huygens-Steiner.
Io piu' semplicemente calcolerei il momento della sbarra rispetto all'asse direttamente:
$m_1L^2/3 = 0.6 * 9 * 9^2 /3= 145.8 \ "kg"\ m^2$
e poi gli aggiungo il momento d'inerzia della massa
$m_2 r^2 = 1.5 * 9 ^2 = 121.5 \ "kg"\ m^2$
Io piu' semplicemente calcolerei il momento della sbarra rispetto all'asse direttamente:
$m_1L^2/3 = 0.6 * 9 * 9^2 /3= 145.8 \ "kg"\ m^2$
e poi gli aggiungo il momento d'inerzia della massa
$m_2 r^2 = 1.5 * 9 ^2 = 121.5 \ "kg"\ m^2$
Okkei, ci sono ho sbagliato perché ho fatto il calcolo per l'asse passante per il centro di massa del sistema sbarra blocchetto e non per A non so per quale ragione. Mi trovo con quello che dici, ma all'inerzia della sbarra non dovrei aggiungere la massa per la $4,5^2$? visto che lo voglio calcolare rispetto ad A e non rispetto al baricentro della sbarra?
"beranto":
Okkei, ci sono ho sbagliato perché ho fatto il calcolo per l'asse passante per il centro di massa del sistema sbarra blocchetto e non per A non so per quale ragione. Mi trovo con quello che dici, ma all'inerzia della sbarra non dovrei aggiungere la massa per la $4,5^2$? visto che lo voglio calcolare rispetto ad A e non rispetto al baricentro della sbarra?
Se guardi qui
https://it.wikipedia.org/wiki/Lista_dei ... erzia#Asta
ti danno il momento d'inerzia per la sbarra calcolato rispetto ad un estremo (1) oppure rispetto al centro di massa(2).
Nel nostro caso la (1) si puo' applicare direttamente, perche' e' proprio il nostro caso.
Oppure possiamo usare la (2) usando Huygens-steiner in questo modo:
$I = {mL^2}/12 + m(L/2)^2 = mL^2 (1/12 + 1/4) = {mL^2}/3$
Ho sommato la formula (2) alla massa moltiplicata per la distanza (al quadrato): asse - (centro di massa) come dice Huygens-steiner
Risulta la stessa formula (1), come deve essere.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo