Esercizio momento angolare quantistico
ciao a tutti,
ci sarebbe questo esercizio sul momento angolare su cui vorrei fare qualche domanda:
Una particella si trova nello stato : $|psi \rangle = a |Y_1 ^1 \rangle + b |Y _1 ^0 \rangle + c |Y_1 ^-1 \rangle $
1) qual è la probabilità che da una misura di $L_z$ si ottenga $h$? (acca tagliato)
2) Supponiamo di aver ottenuto $h$ da una misura di $L_z$. Qual è la probabilità che una misura successiva di $L_x$ dia $-h$ come risultato?
Per quanto riguarda il primo punto direi che $h$ è l'autovalore di $L_z$ relativo all'autostato $|Y_1 ^1 \rangle$ .Quindi la probabilità di ottenere $h$ è pari al modulo quadro del coefficiente di $|Y_1 ^1 \rangle$ nella $|psi \rangle $ cioè $|a|^2$.
per quanto riguarda il secondo punto farei cosi:
tramite gli operatori $L_+$ e $L_-$ ottengo che $L_x = ((0,1,0),(1,0,1),(0,1,0)){h}/{sqrt2}$ .
Calcolo gli autovalori di quest'ultimo operatore per conoscerne i possibili risultati di una misura dell'osservabile $L_x$.
Ottengo che gli autovalori sono $lambda = 0, +- sqrt 2$ .Già da qui direi che non si può ottenere $-h$ da una misura di $L_x$...che dite? giusto???
ci sarebbe questo esercizio sul momento angolare su cui vorrei fare qualche domanda:
Una particella si trova nello stato : $|psi \rangle = a |Y_1 ^1 \rangle + b |Y _1 ^0 \rangle + c |Y_1 ^-1 \rangle $
1) qual è la probabilità che da una misura di $L_z$ si ottenga $h$? (acca tagliato)
2) Supponiamo di aver ottenuto $h$ da una misura di $L_z$. Qual è la probabilità che una misura successiva di $L_x$ dia $-h$ come risultato?
Per quanto riguarda il primo punto direi che $h$ è l'autovalore di $L_z$ relativo all'autostato $|Y_1 ^1 \rangle$ .Quindi la probabilità di ottenere $h$ è pari al modulo quadro del coefficiente di $|Y_1 ^1 \rangle$ nella $|psi \rangle $ cioè $|a|^2$.
per quanto riguarda il secondo punto farei cosi:
tramite gli operatori $L_+$ e $L_-$ ottengo che $L_x = ((0,1,0),(1,0,1),(0,1,0)){h}/{sqrt2}$ .
Calcolo gli autovalori di quest'ultimo operatore per conoscerne i possibili risultati di una misura dell'osservabile $L_x$.
Ottengo che gli autovalori sono $lambda = 0, +- sqrt 2$ .Già da qui direi che non si può ottenere $-h$ da una misura di $L_x$...che dite? giusto???
Risposte
no allora,ho sbagliato.
Rifacendo i conti ho ottenuto che gli autovalori di $L_x$ sono $lambda = 0,+-h$.
Gli autovettori sono :
$V_h = (({1}/{sqrt2}),(1),({1}/{sqrt2})){1}/{sqrt2}$ , $V_0 = ((1),(0),(-1)){1}/{sqrt2}$,$V_-h = ((-{1}/{sqrt2}),(1),(-{1}/{sqrt2})){1}/{sqrt2}$
e questi sono espressi nella base delle armoniche sferiche ,cioè nella base delle autofunzioni di $L_z$. si Può infatti scrivere:
$V_h = {1}/{2} |1\rangle + {1}/{2} |0\rangle - {1}/{2}|-1\rangle $
$V_0 = {1}/{sqrt2} |1\rangle - {1}/{sqrt2}|-1\rangle $
$V_-h = -{1}/{2} |1\rangle + |0\rangle - {1}/{2}|-1\rangle $
da cui poi ricavare:
$|1\rangle = alpha |V_h\rangle + beta |V_0\rangle + gamma |V_-h\rangle$ e gli altri. $alpha,beta e gamma$ sono i coefficienti che non ho voluto calcolare per il momento.
Ora,siccome dalla misura di $L_z$ abbiamo ottenuto $h$ ,la particella si trova sicuramente nello stato
$|psi \rangle =|1\rangle = alpha |V_h\rangle + beta |V_0\rangle + gamma |V_-h\rangle$. La probabilità allora che a questo punto si ottenga $-h$ è $|gamma|^2 $..giusto????
Rifacendo i conti ho ottenuto che gli autovalori di $L_x$ sono $lambda = 0,+-h$.
Gli autovettori sono :
$V_h = (({1}/{sqrt2}),(1),({1}/{sqrt2})){1}/{sqrt2}$ , $V_0 = ((1),(0),(-1)){1}/{sqrt2}$,$V_-h = ((-{1}/{sqrt2}),(1),(-{1}/{sqrt2})){1}/{sqrt2}$
e questi sono espressi nella base delle armoniche sferiche ,cioè nella base delle autofunzioni di $L_z$. si Può infatti scrivere:
$V_h = {1}/{2} |1\rangle + {1}/{2} |0\rangle - {1}/{2}|-1\rangle $
$V_0 = {1}/{sqrt2} |1\rangle - {1}/{sqrt2}|-1\rangle $
$V_-h = -{1}/{2} |1\rangle + |0\rangle - {1}/{2}|-1\rangle $
da cui poi ricavare:
$|1\rangle = alpha |V_h\rangle + beta |V_0\rangle + gamma |V_-h\rangle$ e gli altri. $alpha,beta e gamma$ sono i coefficienti che non ho voluto calcolare per il momento.
Ora,siccome dalla misura di $L_z$ abbiamo ottenuto $h$ ,la particella si trova sicuramente nello stato
$|psi \rangle =|1\rangle = alpha |V_h\rangle + beta |V_0\rangle + gamma |V_-h\rangle$. La probabilità allora che a questo punto si ottenga $-h$ è $|gamma|^2 $..giusto????
"qadesh":
Quindi la probabilità di ottenere $h$ è pari al modulo quadro del coefficiente di $|Y_1 ^1 \rangle$ nella $|psi \rangle $ cioè $|a|^2$.
Devi ricordarti che lo stato di partenza potrebbe non essere normalizzato.
tramite gli operatori $L_+$ e $L_-$ ottengo che $L_x = ((0,1,0),(1,0,1),(0,1,0)){h}/{sqrt2}$ .
Calcolo gli autovalori di quest'ultimo operatore per conoscerne i possibili risultati di una misura dell'osservabile $L_x$.
Ottengo che gli autovalori sono $lambda = 0, +- sqrt 2$ .Già da qui direi che non si può ottenere $-h$ da una misura di $L_x$...che dite? giusto???
Come fa $L_x$ sul multipletto con [tex]\ell = 1[/tex] ad avere autovalori che non siano [tex]0,\pm \hbar[/tex] ?
si hai ragione,ho sbagliato..anche per quanto riguarda la normalizzazione. Supponiamo che lo stato sia normalizzato
ciao, scusate l'intromissione, ma la domanda credo sia lecità.
quali sono le condizioni di normalizzazione per la $\Psi$ nel caso non fosse normalizzata? (nella prima domanda..)
nella seconda domanda l'ipotesi è : Supponiamo di aver ottenuto $h$ da una misura di $L_z$ quindi:
$<\psi | L_z | \psi > = h = |a|^2 h + |b|^2 0 h - |c|^2 h = h $ quindi:
$a^2 - c^2 = 1$
quali sono le condizioni di normalizzazione per la $\Psi$ nel caso non fosse normalizzata? (nella prima domanda..)
nella seconda domanda l'ipotesi è : Supponiamo di aver ottenuto $h$ da una misura di $L_z$ quindi:
$<\psi | L_z | \psi > = h = |a|^2 h + |b|^2 0 h - |c|^2 h = h $ quindi:
$a^2 - c^2 = 1$
la condizione per la normalizzazione è che la NORMA di $|psi\rangle| $sia unitaria. Deve cioè valere : $\langle psi|psi\rangle =1$.
Quindi:
$\langle psi|psi\rangle = |a|^2 \langle Y_1 ^1|Y_1 ^1\rangle + |b|^2 \langle Y_1 ^0|Y_1 ^0\rangle + |c|^2 \langle Y_1 ^-1|Y_1 ^-1\rangle = 1$.
i singoli prodotti scalari $ \langle Y_i ^j|Y_i ^j\rangle$ fanno tutti $1$ perchè sono le norme delle armoniche sferiche .
Allora deve verificarsi che $|a|^2 + |b|^2 + |c|^2 = 1$
Quindi:
$\langle psi|psi\rangle = |a|^2 \langle Y_1 ^1|Y_1 ^1\rangle + |b|^2 \langle Y_1 ^0|Y_1 ^0\rangle + |c|^2 \langle Y_1 ^-1|Y_1 ^-1\rangle = 1$.
i singoli prodotti scalari $ \langle Y_i ^j|Y_i ^j\rangle$ fanno tutti $1$ perchè sono le norme delle armoniche sferiche .
Allora deve verificarsi che $|a|^2 + |b|^2 + |c|^2 = 1$
$|a|^2 = 1 - |b|^2 - |c|^2 $
ma non conoscendo b e c ... mi chiedo come trovarli. Nei problemi che ho io, il testo dice già che sono normalizzati, ma ne l caso non lo siano è un problema credo :%
ma non conoscendo b e c ... mi chiedo come trovarli. Nei problemi che ho io, il testo dice già che sono normalizzati, ma ne l caso non lo siano è un problema credo :%
no ragazzi ,scusate ma mi sono espresso male io.
Ho omesso sbadatamente di dire che la funzione è normalizzata nel senso di considerare quei coefficienti come se già (soddisfacciano?)la condizione di normalizzazione. La questione importante per me sono i punti successivi del problema.
Ho omesso sbadatamente di dire che la funzione è normalizzata nel senso di considerare quei coefficienti come se già (soddisfacciano?)la condizione di normalizzazione. La questione importante per me sono i punti successivi del problema.
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