Esercizio momenti
Ciao a tutti ragazzi! Sono qui con un simpatico quesito di Fisica 1 
Dunque, un rullo di massa $m$ e raggior $r$ si trova su un piano inclinato liscio (triangolo rettangolo) di angolo alla base $theta$ e fisso. Su di lui (rullo) agiscono due forze uguali in intensità $F$, che hanno un momento su di lui, e agiscono in direzioni perpendicolari rispetto all'ipotenusa del piano inclinato. Per prima cosa il problema richiede quanto valgono queste forze se il disco deve rimanere fermo! Io ho per prima cosa scritto l'equazione dei momenti, quindi $(1/2)mr^2alpha=2rF-rf_a$ da cui, se il rullo dele restare fermo, ho solo che $F=(f_a)/2$. Poi ho scritto la Seconda Legge di Newton sull'asse parallelo all'ipotenusa, ottenendo che, sempre ponendo $a=0$, $mgsin(theta)=f_a$. Vi pare corretto? Quindi sostituendo ottengo il valore di $F$.
Dunque, un rullo di massa $m$ e raggior $r$ si trova su un piano inclinato liscio (triangolo rettangolo) di angolo alla base $theta$ e fisso. Su di lui (rullo) agiscono due forze uguali in intensità $F$, che hanno un momento su di lui, e agiscono in direzioni perpendicolari rispetto all'ipotenusa del piano inclinato. Per prima cosa il problema richiede quanto valgono queste forze se il disco deve rimanere fermo! Io ho per prima cosa scritto l'equazione dei momenti, quindi $(1/2)mr^2alpha=2rF-rf_a$ da cui, se il rullo dele restare fermo, ho solo che $F=(f_a)/2$. Poi ho scritto la Seconda Legge di Newton sull'asse parallelo all'ipotenusa, ottenendo che, sempre ponendo $a=0$, $mgsin(theta)=f_a$. Vi pare corretto? Quindi sostituendo ottengo il valore di $F$.
Risposte
Direi di sì, la sola cosa che mi lascia perplesso è la specifica che il piano inclinato sia liscio. Se non vi fosse attrito, il corpo non potrebbe assolutamente rimanere fermo, dato che, come hai notato, la forza peso non sarebbe bilanciata.
Perdonami, in effetti il testo non parla di piano liscio! Comunque, le successive richieste dicevano: 1: se le forze $F$ raddoppiano, qual è l'accelerazione del $CM$? Nell'ipotesi il moto sia di pure rotolamento! 2: Energia cinetica in funzione del tempo! Io ho riscritto l'equazione dei momenti con le forze raddoppiate rispetto al valore trovato prima, quindi ho scritto che, trattandosi di moto di pure rotolamento, $a_(cm)=alphar$. Per l'energia cinetica ho scritto che è pari a $(1/2)m((a_(cm))t)^2$. Corretto? Grazie ancora
Le equazioni dinamiche del sistema saranno:
\[\left\{ \begin{array}{l}
I\alpha_{cm} = 2rF'-rf_a \\
ma_{cm}=mg\sin\theta - f_a
\end{array} \right.\]
da cui: $a_{cm} = (2F'-mg\sin\theta)/(m+I/r^2)$
Per quanto riguarda l'energia cinetica, tieni conto che c'è sia un moto traslazionale ($v_{cm} != 0$), sia un moto di rotazione ($\omega_{cm}!= 0$). Entrambi i moti contribuiscono all'energia cenetica del sistema.
\[\left\{ \begin{array}{l}
I\alpha_{cm} = 2rF'-rf_a \\
ma_{cm}=mg\sin\theta - f_a
\end{array} \right.\]
da cui: $a_{cm} = (2F'-mg\sin\theta)/(m+I/r^2)$
Per quanto riguarda l'energia cinetica, tieni conto che c'è sia un moto traslazionale ($v_{cm} != 0$), sia un moto di rotazione ($\omega_{cm}!= 0$). Entrambi i moti contribuiscono all'energia cenetica del sistema.
Ma dato che è di puro rotolamento non dovrei scriverne uno, dato che uno dipende dall'altro? (sto dicendo una stupidaggine, vero? )
)
Non ho capito se ti riferisci all'energia cinetica o alle equazioni del moto. Nel primo caso, sono necessarie due equazioni perché non puoi conoscere a priori il valore della forza d'attrito statico. Potresti scrivere una sola equazione se scegliessi come polo rispetto a cui calcolare i momenti il punto di contatto, ma a mio avviso complichi inutilmente il problema. 
Per quanto riguarda l'energia cinetica, non puoi negare l'uno o l'altro termine. Se scrivi $K= 1/2 m v_{cm}^2$ o $K= 1/2 I \omega_{cm}^2$ stai sottostimando l'energia cinetica del sistema negando uno dei due contributi. L'equazione $a_{cm}=α_{cm}r$ costituisce semplicemente un vincolo cui è soggetto il corpo, non implica che uno dei due termini cinetici sia nullo, ma semplicemente che il moto rotazione e traslazionale siano correlati e "costretti" a svolgersi in una certa maniera (ossia in modo che il punto di contatto abbia velocità nulla ad ogni istante).
Per quanto riguarda l'energia cinetica, non puoi negare l'uno o l'altro termine. Se scrivi $K= 1/2 m v_{cm}^2$ o $K= 1/2 I \omega_{cm}^2$ stai sottostimando l'energia cinetica del sistema negando uno dei due contributi. L'equazione $a_{cm}=α_{cm}r$ costituisce semplicemente un vincolo cui è soggetto il corpo, non implica che uno dei due termini cinetici sia nullo, ma semplicemente che il moto rotazione e traslazionale siano correlati e "costretti" a svolgersi in una certa maniera (ossia in modo che il punto di contatto abbia velocità nulla ad ogni istante).
Sì, hai ragione Grazie mille per l'aiuto! Come ho potuto? Cioé, è normale siano entrambe le cose nell'energia, in pratica io ho scritto che tutte le piccole parti del cilindro si muovono solo con la velocità del cm, senza aggiungere l'energia che deriva dalla velocità rotazionale! Assurdo! Grazie Per quanto riguarda le equazioni, non suona strano però il momento della forza di attrito sia opposto a quello delle forze $F'$ che fanno salire il cilindro? Cioé, nel puro rotolamento non è proprio l'attrito che garantisce il moto?
Grazie mille per l'aiuto! Come ho potuto? Cioé, è normale siano entrambe le cose nell'energia, in pratica io ho scritto che tutte le piccole parti del cilindro si muovono solo con la velocità del cm, senza aggiungere l'energia che deriva dalla velocità rotazionale! Assurdo! Grazie Per quanto riguarda le equazioni, non suona strano però il momento della forza di attrito sia opposto a quello delle forze $F'$ che fanno salire il cilindro? Cioé, nel puro rotolamento non è proprio l'attrito che garantisce il moto?
Ho letto qualche posto, ora mi è chiaro anche l'ultimo dubbio che avevo Grazie ancora!
Grazie ancora!
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