Esercizio molle e moto armonico (aiuto)

[sofiacanducci]

un carrello di massa=10 kg, mobile senza attrito su un piano perfettamente orizzontale, è legato ad una parete da due molle con lunghezza a riposo rispettivamente L1=30 cm, L2=20 cm, con costante elastica K1=K2=8000 N/m. inizialmente il carrello viene tenuto in posizione Xin= 30 cm, in cui la molla 1 non è tesa nè compressa.
- per quale valore di X il sistema sarebbe all'equilibrio?
- se il sistema viene abbandonato a se stesso, partendo dalla posizione iniziale, in quale altra posizione X2 sarà di nuovo fermo?
- quale tipo di moto avrà il carrello?

per favore spiegatemi il ragionamento e come si fà, non riesco a risolverlo.
vi ringrazio in anticipo !

[anonymous_0b37e9]

Premesso che, come da regolamento, dovresti postare almeno un tentativo di risoluzione, si tratta di un moto armonico:

$[mddotx=-k(x-l_1)-k(x-l_2)] rarr [ddotx+(2k)/mx=k/m(l_1+l_2)]$

[amivaleo]

per quale valore di X il sistema sarebbe all'equilibrio?

Cerco quando la risultante delle forze lungo x è zero: $F = -k_1 (X - L_1) - k_2 (X - L_2) = 0$. È chiaro che in questa posizione di equilibrio, la molla più corta è allungata ed esercita una forza verso il muro, mentre l'altra è compressa e quindi esercita una forza nel verso opposto.

quale tipo di moto avrà il carrello?

Riconsidero la risultante delle due forze applicate al corpo: $F = -k_1 (x' - L_1) - k_2 (x' - L_2)$. Posso riscriverla come: $F = -2k(x' - (L_1 + L_2)/2)$, in altre parole le due molle si comportano come una singola molla di costante $2k$ (dove $k = k_1 = k_2$) e lunghezza a riposo pari a $L = {L_1 + L_2} / 2 = 25 cm$.
Chiamo $x = x' - {L_1 + L_2} / 2$. Posso dunque scrivere l'equazione del moto armonico: $F = -2k x = m \ddot{x}$.
Puoi quindi trovare la forma della funzione $x(t)$, che descrive la posizione del carrello, rispetto a $L$ preso come centro, al variare del tempo. Imponendo le giuste condizioni su questa funzione, puoi trovare $X_2$ che, comunque... Data la forma del moto armonico che verrà con ampiezza $A = 5 cm$... Sarà $X_2 = 20 cm$.