Esercizio molla verticale

[mary98scc]

Un corpo di massa m = 2 kg è appeso al soffitto tramite una molla di costante elastica K. Sapendo che,
rispetto alla sua lunghezza a riposo, la molla risulterebbe allungata di y = 10 cm qualora il corpo fosse in equilibrio,
a - determinare la frequenza di oscillazione del sistema.
b - Se il corpo è appeso da fermo quando la molla è nella sua lunghezza a riposo, determinare la sua velocità massima.

Ho svolto questo esercizio e sto riscontrando dei problemi nel calcolare la velocità massima. Fino ad ora l'ho svolto così:

$-ky=-mg $ da cui mi ricavo $k=(mg)/y = (2 *9.81)/10 = 1,962 N/m$
$\omega =\sqrt{k/m}= 0.99 rad/s$
$T=(2\pi)/(\omega)=6.34$ da cui facendo l'inverso mi trovo la frequenza $f=(1/T)=0.16$

ho pensato di utilizzare la conservazione dell'energia meccanica per trovare la velocità massima ma non ne sono sicura

[mgrau]

Ti dico la soluzione, poi prova a pensare perchè è così... la velocità massima si ha quando la molla raggiunge la posizione di equilibrio (allungata di 10cm)

[mary98scc]

Utilizzo le leggi orarie
$y(t)=ycos(wt)$ e sapendo che all'equilibrio $y(t)=0$ se e solo se $cost(wt)=0$ ovvero se $wt=(\pi/2)$ sostituisco i valori in $v(t)=-y \omega sin(wt)$ ottengo $V_(max)=-9.9 m/s$

[mgrau]

Non ho capito niente... potresti esplicitare meglio il ragionamento che hai seguito? Magari mettendo qualche parolina di spiega fra una formula e l'altra?
Incidentalmente, a me la velocità risulta 10 volte meno, ma questo potrebbe essere un errore mio

[mary98scc]

io ho ragionato così: fissando l'origine del sistema di riferimento all'equilibrio,sapendo che la velocità è massima in tale punto , considerando la legge oraria dello spostamento suppongo che $y(t)=ycos(wt)=0$ e questo si verifica solo se $cost(wt)=0$ ovvero se $wt=(\pi/2)$. Sostituendo i valori di $\omega t$ ,di $y=10m$(ovvero l'allungamento che subisce la molla dopo che viene liberata) e di $\omega$ nella legge oraria della velocità $v(t)=-y \omega sin(wt)$ ottengo $V_(max)=-9.9 m/s$.

Ho provato anche imponendo la conservazione dell'energia meccanica:
$(1/2)m( V_0)^2 + (1/2)k(y_0)^2=(1/2)m(V_f)^2+(1/2)ky^2$
siccome il corpo parte da fermo la $V_0=o$ e poichè da fermo la molla è a riposo anche l'allungamento $y_0=0$ perciò i fattori al primo membro sono tutti nulli , quindi mi ritrovo che
$(1/2)m(V_f)^2+(1/2)ky^2=0$ da cui mi ricavo $V_max=V_f=(\sqrt{(ky^2)/m}=-9.9$

[mgrau]

"mari.98":io ho ragionato così: fissando l'origine del sistema di riferimento all'equilibrio,(1) sapendo che la velocità è massima in tale punto , considerando la legge oraria dello spostamento (2) suppongo che $y(t)=ycos(wt)=0$ e questo si verifica solo se $cost(wt)=0$ ovvero se $wt=(\pi/2)$. Sostituendo i valori di $\omega t$ ,di (3)$y=10m$(ovvero l'allungamento che subisce la molla dopo che viene liberata) e di $\omega$ nella legge oraria della velocità $v(t)=-y \omega sin(wt)$ ottengo $V_(max)=-9.9 m/s$.

Ho provato anche imponendo la (4) conservazione dell'energia meccanica:
$(1/2)m( V_0)^2 + (1/2)k(y_0)^2=(1/2)m(V_f)^2+(1/2)ky^2$
siccome il corpo parte da fermo la $V_0=o$ e poichè da fermo la molla è a riposo anche l'allungamento $y_0=0$ perciò i fattori al primo membro sono tutti nulli , quindi mi ritrovo che
$(1/2)m(V_f)^2+(1/2)ky^2=0$ da cui mi ricavo $V_max=V_f=(\sqrt{(ky^2)/m}=-9.9$

Vai un po' a ruota libera...
Allora:
(1) "Sapendo..." e chi te l'ha detto? (è vero che te l'ho detto io, ma non vale)
(2) Chi te l'ha detto? E cosa è $y$? E perchè $= 0$?
(3) Sono 10cm, non 10m
(4) Ma il peso proprio non lo consideri?
e mi fermo qui...

Ti propongo la mia soluzione: Metto l'origine di x nel punto di partenza, con la molla a riposo, verso il basso.
Dopo uno spostamento $x$, il bilancio energetico dice che: lavoro della forza peso va in energia elastica della molla e in energia cinetica della massa. Quindi: $mgx = 1/2kx^2 + 1/2mv^2$
Poi abbiamo che $k = (mg)/(10cm) = 200 N/m$ (mettendo $g = 10)$
Sostituendo $k$: $mgx - 1/2(mg)/0.1x^2 = 1/2mv^2$
Sostituendo i valori: $20x - 100*x^2 = v^2$, che ci dà l'andamento di $v^2$ in funzione di $x$. E' una parabola con vertice in $x = 0.1$ (massimo (di $v^2$ ma anche di $v$[nota]Sì, d'accordo, questo andrebbe argomentato meglio[/nota]) nella posizione di equilibrio), e sostituendo $x = 0.1$ abbiamo $v = 1$