Esercizio molla su piano inclinato
L'esercizio è il seguente:
Una molla ideale di costante elastica $k = 1000 N/m$ è posta su un piano inclinato di $30°$ rispetto all'orizzontale. Un blocco di massa $500 g$ è posto fermo a distanza $2 m$ dalla molla non compressa. Il corpo parte con velocità nulla. Calcolare la velocità con cui il blocco raggiunge l'estremo libero della molla e la massima compressione della molla:
a) se il piano inclinato è liscio
b) se è presente un attrito dinamico di 0.2.
Allora, io ho ragionato in questo modo per il punto a)
Dato che ci sono in gioco solo forze conservative, posso usare la legge della conservazione dell'energia meccanica la quale mi dice che:
$K_0 + U_0 = K + U$
Abbiamo quindi:
$K_0 = 1/2 * m * v_0^2 = 0$
dato che la velocità iniziale è nulla.
$U_0 = -L_0 = 0$
dato che la velocità iniziale è nulla non c'è nessuna accelerazione e quindi nessuna forza in gioco, quindi nessun lavoro.
$K = 1/2 * m * v^2$
$v$ è la velocità che si ha appena tocca la molla, cioè quella che ci dobbiamo calcolare.
$U = m * g * sin30° * ds$
questa è l'energia potenziale finale appena si tocca la molla. Ho usato $P * sin30°$ perché noi dobbiamo sapere solo la velocità sull'asse $x$.
A questo punto abbiamo:
$0 = 1/2 * m * v^2 + m * g * sin30° * ds$
Però se adesso faccio i vari passaggi mi trovo con un numero negativo sotto radice quadrata, cosa impossibile.
Ho sbagliato ragionamento? A me sembra corretto.
Una molla ideale di costante elastica $k = 1000 N/m$ è posta su un piano inclinato di $30°$ rispetto all'orizzontale. Un blocco di massa $500 g$ è posto fermo a distanza $2 m$ dalla molla non compressa. Il corpo parte con velocità nulla. Calcolare la velocità con cui il blocco raggiunge l'estremo libero della molla e la massima compressione della molla:
a) se il piano inclinato è liscio
b) se è presente un attrito dinamico di 0.2.
Allora, io ho ragionato in questo modo per il punto a)
Dato che ci sono in gioco solo forze conservative, posso usare la legge della conservazione dell'energia meccanica la quale mi dice che:
$K_0 + U_0 = K + U$
Abbiamo quindi:
$K_0 = 1/2 * m * v_0^2 = 0$
dato che la velocità iniziale è nulla.
$U_0 = -L_0 = 0$
dato che la velocità iniziale è nulla non c'è nessuna accelerazione e quindi nessuna forza in gioco, quindi nessun lavoro.
$K = 1/2 * m * v^2$
$v$ è la velocità che si ha appena tocca la molla, cioè quella che ci dobbiamo calcolare.
$U = m * g * sin30° * ds$
questa è l'energia potenziale finale appena si tocca la molla. Ho usato $P * sin30°$ perché noi dobbiamo sapere solo la velocità sull'asse $x$.
A questo punto abbiamo:
$0 = 1/2 * m * v^2 + m * g * sin30° * ds$
Però se adesso faccio i vari passaggi mi trovo con un numero negativo sotto radice quadrata, cosa impossibile.
Ho sbagliato ragionamento? A me sembra corretto.
Risposte
L'ho riprovato a fare in questo modo:
Dato che so sia la distanza che l'accelerazione ho pensato di usare questa formula
$v_f^2 - v_0^2 = 2 * g * sin30° * ds$
cioè
$v_f = sqrt(2 * g * sin30° * ds) = 4.43 m/s$
Ora, usando di nuovo la legge della conservazione dell'energia meccanica ho
$K_0 = 1/2 * m * v_f^2$
$U_0 = 1/2 * k *x_0^2 = 0$
perché x_0 è la molla a riposo e cioè uguale a $0$.
$K = 1/2 * m * v_f^2 = 0$
perché quando la molla è compressa al massimo essa ha una velocità finale uguale a $0$.
$U = 1/2 * k * x_f^2$
Quindi abbiamo
$1/2 * m * v_0^2 = 1/2 * k * x_f^2$
e cioè
$x_f = sqrt(m * v_0^2/k) = 0.1 m$
Anche se non mi convince l'ultimo risultato. Va bene questo procedimento per il primo punto?
Dato che so sia la distanza che l'accelerazione ho pensato di usare questa formula
$v_f^2 - v_0^2 = 2 * g * sin30° * ds$
cioè
$v_f = sqrt(2 * g * sin30° * ds) = 4.43 m/s$
Ora, usando di nuovo la legge della conservazione dell'energia meccanica ho
$K_0 = 1/2 * m * v_f^2$
$U_0 = 1/2 * k *x_0^2 = 0$
perché x_0 è la molla a riposo e cioè uguale a $0$.
$K = 1/2 * m * v_f^2 = 0$
perché quando la molla è compressa al massimo essa ha una velocità finale uguale a $0$.
$U = 1/2 * k * x_f^2$
Quindi abbiamo
$1/2 * m * v_0^2 = 1/2 * k * x_f^2$
e cioè
$x_f = sqrt(m * v_0^2/k) = 0.1 m$
Anche se non mi convince l'ultimo risultato. Va bene questo procedimento per il primo punto?
Non so se posso fare "up" di questo thread ma comunque mi serve solo capire se ho risolto bene il punto a).
Per favore!
Per favore!
Il procedimento va abbastanza bene, solo due appunti:
- Non ti conviene tirare in ballo l'energia cinetica, puoi benissimo confrontare l'energia iniziale (tutta potenziale gravitazionale) con quella finale (tutta potenziale elastica), la velocita' avviene nel mezzo ma non ci interessa
- Se vuoi cercare il pelo nell'uovo, dovresti considerare che quando la massa comprime la molla, non sta perdendo solo energia cinetica, ma continua a perdere anche energia potenziale gravitazionale.
Algebricamente quindi, hai che la distanza tra il punto iniziale e il punto finale non e' $2$, bensi' $2 + x$, dove $x$ e' la misura della compressione della molla in metri. Pertanto, l'energia iniziale diventa
$E_{\text{in}}= mg (2+ x)$
e quella finale
$E_{\text{fin}}= \frac{1}{2} k x^2$.
Uguagliando, hai un'equazione di secondo grado in $x$. Ti torna? Ciao
ps: scusa, non ho visto che il problema chiede anche la velocita'. Allora va bene come hai fatto, almeno per la velocita'!
- Non ti conviene tirare in ballo l'energia cinetica, puoi benissimo confrontare l'energia iniziale (tutta potenziale gravitazionale) con quella finale (tutta potenziale elastica), la velocita' avviene nel mezzo ma non ci interessa
- Se vuoi cercare il pelo nell'uovo, dovresti considerare che quando la massa comprime la molla, non sta perdendo solo energia cinetica, ma continua a perdere anche energia potenziale gravitazionale.
Algebricamente quindi, hai che la distanza tra il punto iniziale e il punto finale non e' $2$, bensi' $2 + x$, dove $x$ e' la misura della compressione della molla in metri. Pertanto, l'energia iniziale diventa
$E_{\text{in}}= mg (2+ x)$
e quella finale
$E_{\text{fin}}= \frac{1}{2} k x^2$.
Uguagliando, hai un'equazione di secondo grado in $x$. Ti torna? Ciao
ps: scusa, non ho visto che il problema chiede anche la velocita'. Allora va bene come hai fatto, almeno per la velocita'!
Scusami ma non capisco perché $E_0 = m * g * (2 + x)$. Io, invece di calcolarmi tutta l'energia meccanica dall'inizio fino alla fine, sono semplicemente partito da quando tocca la molla fino alla sua compressione massima. Perché metti in gioco l'energia potenziale gravitazionale quando in quel momento c'è l'energia potenziale elastica?
Comunque facendo il calcolo con il tuo precedimento mi trovo un risultato molto simile. ($x = 0.15 m$)
Comunque facendo il calcolo con il tuo precedimento mi trovo un risultato molto simile. ($x = 0.15 m$)
Non sono sicuro di aver capito la tua obiezione. Se volessimo correggere il tuo metodo di qualche post fa con la mia osservazione, dovremmo fare cosi' come segue.
Anzitutto nota che nel mio post precedente ho sbagliato, al posto di $2+x$ avrei dovuto scrivere $(2+x) \sin (30)$.
Sia $v$ la velocita' massima raggiunta dalla massa, ovvero poco prima di toccare la molla. Nel momento in cui la molla e' compressa del tutto, l'energia meccanica del sistema e' $\frac{1}{2}k x^2$, dove $x$ e' la misura di compressione della molla. Questa e' l'energia meccanica nello stato finale. Nello stato precedente, ovvero un attimo prima che la molla fosse toccata, abbiamo energia cinetica della massa pari a $\frac{1}{2}m v^2$, e poi, se confronti le due situazioni, la massa si trova piu' in alto di dove finisce dopo aver schiacciato la molla. E la misura di questa variazione di quota e' $x \sin (30)$.
Quindi
$\frac{1}{2} k x^2 = \frac{1}{2}m v^2 + mg x \sin (30)$.
E' una differenza sottile, ma c'e'. Devi pensare solo che mentre la massa schiaccia la molla, non solo sta perderendo energia cinetica, ma sta perdendo anche (poca) altra energia potenziale. Quindi l'energia elastica finale e' data dalla cinetica piu' la piccola energia potenziale gravitazionale persa durante la piccola compressione.
Dimmi se ti torna. Ciao!
Anzitutto nota che nel mio post precedente ho sbagliato, al posto di $2+x$ avrei dovuto scrivere $(2+x) \sin (30)$.
Sia $v$ la velocita' massima raggiunta dalla massa, ovvero poco prima di toccare la molla. Nel momento in cui la molla e' compressa del tutto, l'energia meccanica del sistema e' $\frac{1}{2}k x^2$, dove $x$ e' la misura di compressione della molla. Questa e' l'energia meccanica nello stato finale. Nello stato precedente, ovvero un attimo prima che la molla fosse toccata, abbiamo energia cinetica della massa pari a $\frac{1}{2}m v^2$, e poi, se confronti le due situazioni, la massa si trova piu' in alto di dove finisce dopo aver schiacciato la molla. E la misura di questa variazione di quota e' $x \sin (30)$.
Quindi
$\frac{1}{2} k x^2 = \frac{1}{2}m v^2 + mg x \sin (30)$.
E' una differenza sottile, ma c'e'. Devi pensare solo che mentre la massa schiaccia la molla, non solo sta perderendo energia cinetica, ma sta perdendo anche (poca) altra energia potenziale. Quindi l'energia elastica finale e' data dalla cinetica piu' la piccola energia potenziale gravitazionale persa durante la piccola compressione.
Dimmi se ti torna. Ciao!
Ora sì, mi trovo! Perché nel tuo post precedente non hai aggiunto $1/2 * m * v^2$ nell'energia meccanica iniziale, per questo mi sembrava strano che ci fosse solo l'energia potenziale gravitazionale.
"Kernul":
Ora sì, mi trovo! Perché nel tuo post precedente non hai aggiunto $1/2 * m * v^2$ nell'energia meccanica iniziale, per questo mi sembrava strano che ci fosse solo l'energia potenziale gravitazionale.
No, il mio modo era corretto! Nel secondo post ho scritto solo un modo alternativo. Rispiego cosa volevo dire inizialmente.
Tu puoi benissimo applicare la conservazione dell'energia meccanica allo stato iniziale (massa in alto e ferma) e allo stato finale (molla compressa al massimo) senza passare per lo stato intermedio (massa che tocca la molla).
L'energia finale e', come abbiamo detto, solo elastica, quindi $\frac{1}{2}kx^2$. L'energia meccanica iniziale e' invece tutta gravitazionale; la quota rispetto alla posizione finale e', come detto prima, $(2+x) \sin 30$ (perche' devi considerare la quota soltanto). Quindi hai
$ \frac{1}{2} k x^2 = mg (2+ x) \sin 30 $
e questo ti da' $x$.
ciao!
Aaaaah! Ora ho capito il tuo ragionamento! Grazie mille!
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