Esercizio meccanica razionale: ulteriori chiarimenti

[Daniela011]

Scusate ancora il disturbo, ma a breve avró un esame ed ho veramente la necessità di chiarire alcuni dubbi.
In particolare, non riesco a capire perché nell'esercizio seguente, quando calcola la velocità angolare del disco di raggio $R$ consideri l'angolo $\vartheta$ di rotazione rispetto ad $e3$ , mentre, nel secondo esercizio allegato, ció non avviene( $\vartheta$ non é considerato per il calcolo di $\w$ e viene considerato solo l'angolo $\varphi$ di rotazione su se stesso). Perché? Qual'é la differenza? Voglio dire, mi é stato spiegato che nel secondo esercizio la rotazione rispetto ad O di angolo $\vartheta$ viene effettivamente considerata nel termine $(1/2)mv^2$ , eppure questo termine relativo al centro é presente anche nel primo esercizio ma tuttavia la velocità angolare viene comunque calcolata considerando la rotazione rispetto ad $e3$ di angolo $\vartheta$ , anche in tale caso infatti il termine $(1/2)mv^2$ non dovrebbe tenere conto, come nel secondo caso, della rotazione rispetto ad 0?

[Sk_Anonymous]

La differenza è che qui il cerchio grande non ruota su sé stesso e l'asta non ha massa. Quindi prende il momento di inerzia del cerchio rispetto al centro e lo sposta in O con il teorema degli assi paralleli

$I_O=I_(B)+M(L+R)^2$

[Daniela011]

Io non riesco assolutamente a capire perché quando calcolo la velocità angolare del disco nel secondo esercizio questa non sia:

$\omega = dot \varphi e3+ dot \vartheta e3$
ma solamente
$\omega = dot \varphi e3$

[Sk_Anonymous]

Per trovare l'energia cinetica devi sommare le energie non le velocità angolari, cosa che fa nel testo.

[anonymous_0b37e9]

"Daniela0":
... perché quando calcolo la velocità angolare del disco nel secondo esercizio ...

Semplicemente perché:

$\varphi$ è l'angolo che la retta solidale al disco contenente il segmento $bar(AC)$ forma con l'asse $x$ del sistema di riferimento fisso.

Avresti avuto ragione se:

$\varphi$ fosse stato l'angolo che la retta solidale al disco contenente il segmento $bar(AC)$ forma con l'asta $bar(OC)$, non solidale al sistema di riferimento fisso.

Insomma, come esprimere la velocità angolare dipende dalle coordinate lagrangiane adottate. Tuttavia:

Se una delle coordinate lagrangiane è l'angolo $\alpha$ che una retta solidale a un corpo rigido forma con un asse del sistema di riferimento fisso, la velocità angolare del corpo rigido è sicuramente $dot\alpha$, indipendentemente dall'altra coordinata lagrangiana adottata.

Ad ogni modo, trattandosi di concetti base, ti consiglio di ripassare la definizione di velocità angolare di un corpo rigido.

[Daniela011]

Vediamo se ho capito, quindi dato che $\varphi$ é già un angolo che il disco forma con un asse del sistema inerziale non considero $ \vartheta$ giusto? In generale quindi quando calcolo la velocità angolare se ho già un angolo che descrive la posizione del corpo rigido rispetto al sistema di riferimento inerziale $Oxyz$ considero solo quello, ho capito bene?

Quindi nel primo esercizio quando calcola:
$\omega = - dot \vartheta e3$
é perché non c'é nessun angolo che esprima direttamente la posizione del disco rispetto alla terna $Oxyz$ ?

[anonymous_0b37e9]

Hai capito bene.

[Daniela011]

Grazie mille! Finalmente é chiaro☺