Esercizio meccanica razionale

[ing.mecc1]

dato il corpo rigido e piano nel riferimento cartesiano Oxy formato da una semi-corona circolare posta nel semipiano positivo delle y, con r=a e R=2a,calcolare il momento di inerzerzia Ix,Iy,Iz,Ixy,It dove t è la retta passante per i punti A(0;2a) e B(-2a;0)
il corpo è omogeneo e di massa M

spero che la traccia sia chiara, aspetto i vostri risultati...ciao a tutti

[ing.mecc1]

ciao a tutti,
ma nn è chiara la traccia???

[Sk_Anonymous]

Presumo che il centro della semicorona sia in O ,altrimenti il
quesito diventa troppo generico.
Se cosi' e' ,allora si tratta di ordinari calcoli di integrali doppi.
La densita' (superficiale) del corpo e':$sigma=M/(3pia^2)$ e quindi si ha:
$I_x=sigmaintint_Cy^2dxdy,I_y=sigmaintint_Cx^2dxdy,I_z=sigmaintint_C(y^2+x^2)dxdy$
dove C e' il continuo definito dalla semicorona .
Per il calcolo effettivo conviene passare a coordinate polari (piane) per cui i
precedenti integrali diventano:
$I_x=sigmaint_0^(pi)d theta int_a^(2a)rho^3sin^2 theta drho,I_y=sigmaint_0^(pi)d theta int_a^(2a)rho^3cos^2 theta drho,I_z=I_x+I_y$
tutti facilmente integrabili.
Per $I_(xy)$ penso che si tratti del momento di deviazione o prodotto d'inerzia uguale a :
$I_(xy)=sigmaintint_Cxydxdy=sigma int_0^(pi)d theta int_a^(2a)rho^3sinthetacosthetad rho$
La retta t ha equazione cartesiana (piana ) $x-y+2a=0$ e la distanza del punto generico P(x,y) di C da essa e' : $|x-y+2a|/(sqrt2)$ e quindi ,in coordinate polari,risulta:
$I_t=sigmaint_0^(pi)d theta int_a^(2a) rho (rhocos theta -rho sin theta +2a)^2/2d rho$
anche questa facile da integrare con un po' di calcoli.
karl