Esercizio meccanica razionale
Questo è parte dell'esercizio che avevo nel compito di meccanica razionale di stamattina. Ero molto sicuro di riuscire a farlo, tuttavia ho trovato difficoltà e non sono sicuro di averlo fatto bene.
Ho un asta lunga $2L$ incernierata nell'origine O col suo punto medio. L'asta può ruotare con asse nell'origine. Una forza $F_B=-k|y^3|hat(e_2) $ è applicata verso il basso nel punto $B$ e una forza $F_A=ky^2hat(e_2) $ è applicata nel punto $A$. Un punto $P$ è libero di muoversi lungo l'asta, la distanza da $P$ da $O$ è la coordinata generalizzata $s$ e $theta$ è l'altra coordinata segnata in figura. Nel punto $P$ agisce una forza $F_P=-mghat(e_1)$
Qual è l'energia potenziale associata a questo sistema? (siamo in presenza di gravità; i simboli $y$ indicano le ordinate di quel punto
Tralasciando per un attimo il calcolo di tutta l'energia (che sarei comunque interessato a vedere), vorrei fare alcune considerazioni: nel calcolo dell'energia potenziale delle forza $F_A$ e $F_B$ non c'entra la coordinata $s$ ma solo la coordinata $theta$. Nella energia potenziale delle forze del punto $P$ invece ho calcolato l'energia potenziale come $V_P=mgs(costheta+sintheta)$. Calcolando la derivata seconda rispetto a $s$ trovo che è $0$ e che quindi il determinante dell'Hessiana è per forza negativo per qualsiasi valore (mi rimane la diagonale secondaria che è a elementi uguali e quindi negativa) e quindi ogni posizione di equilibrio è instabile. Eppure un punto dell'esercizio mi chiedeva di trovare le frequenze delle piccole oscillazioni attorno al punto di equilibrio stabile.
Credo di avere sbagliato qualcosa, di solito negli altri esercizi rimaneva sempre una coordinata come argomento di un seno o coseno, o c'erano delle molle e le derivate seconde non si annullavano mai (al massimo si annullavano le miste).
Vorrei un vostro aiuto, grazie
Ho un asta lunga $2L$ incernierata nell'origine O col suo punto medio. L'asta può ruotare con asse nell'origine. Una forza $F_B=-k|y^3|hat(e_2) $ è applicata verso il basso nel punto $B$ e una forza $F_A=ky^2hat(e_2) $ è applicata nel punto $A$. Un punto $P$ è libero di muoversi lungo l'asta, la distanza da $P$ da $O$ è la coordinata generalizzata $s$ e $theta$ è l'altra coordinata segnata in figura. Nel punto $P$ agisce una forza $F_P=-mghat(e_1)$
Qual è l'energia potenziale associata a questo sistema? (siamo in presenza di gravità; i simboli $y$ indicano le ordinate di quel punto
Tralasciando per un attimo il calcolo di tutta l'energia (che sarei comunque interessato a vedere), vorrei fare alcune considerazioni: nel calcolo dell'energia potenziale delle forza $F_A$ e $F_B$ non c'entra la coordinata $s$ ma solo la coordinata $theta$. Nella energia potenziale delle forze del punto $P$ invece ho calcolato l'energia potenziale come $V_P=mgs(costheta+sintheta)$. Calcolando la derivata seconda rispetto a $s$ trovo che è $0$ e che quindi il determinante dell'Hessiana è per forza negativo per qualsiasi valore (mi rimane la diagonale secondaria che è a elementi uguali e quindi negativa) e quindi ogni posizione di equilibrio è instabile. Eppure un punto dell'esercizio mi chiedeva di trovare le frequenze delle piccole oscillazioni attorno al punto di equilibrio stabile.
Credo di avere sbagliato qualcosa, di solito negli altri esercizi rimaneva sempre una coordinata come argomento di un seno o coseno, o c'erano delle molle e le derivate seconde non si annullavano mai (al massimo si annullavano le miste).
Vorrei un vostro aiuto, grazie
Risposte
nel calcolo dell'energia potenziale delle forza $F_A$ e $F_B$ non c'entra la coordinata s ma solo la coordinata $θ$.
Si ma quel' è quest' energia potenziale ? Insomma la c' è un certo tipo di forza mi sembra.
$ F_q=-(delU)/(delq) $
In più non capisco tanto bene il disegno , se la forza peso agisce un quel verso , suppongo che sia da ruotare io modo tale che sia diretta contro la verticale ascendente , quindi cambierei anche $theta$ con il suo complementare.
A questo punto l'energia potenziale associata alla forza peso sarebbe $mgssintheta'$
con $theta'=(pi)/2-theta$
No, la forza peso non agisce in quel modo! Quella è una forza che ha modulo pari alla forza peso e agisce lungo l'asse delle $x$. La forza peso agisce ma non la ho disegnata. Quindi agisce sia quella forza che la forza peso nel punto $P$.
Mentre per le forze $F_A$ e $F_B$ certamente c'è un'energia potenziale. Io ho la calcolata come come
$V_A=-int F_Ad(theta)$ ma non so se sia giusto, in quanto agiscono solo sull'asse $y$ e, nel compito, ho pure lasciato l'integrale indefinito... Tuttavia qualsiasi sia questo valore di $V_A$ e $V_B$ non mi cambia il valore dell'Hessiana, o meglio non mi cambia il segno del determinante (negativo)
Mentre per le forze $F_A$ e $F_B$ certamente c'è un'energia potenziale. Io ho la calcolata come come
$V_A=-int F_Ad(theta)$ ma non so se sia giusto, in quanto agiscono solo sull'asse $y$ e, nel compito, ho pure lasciato l'integrale indefinito... Tuttavia qualsiasi sia questo valore di $V_A$ e $V_B$ non mi cambia il valore dell'Hessiana, o meglio non mi cambia il segno del determinante (negativo)
Si so come agisce la forza peso,
chiamando l'altra forza che agisce su $P$ , $F_P$ e dato quel modulo penso sia lecita la mia incomprensione sul testo.
Detto questo il calcolo dell' energia potenziale del punto $P$ è giusto .
Per $V_A$ e $V_B$ , come hai espresso le forze?
L'integrale comunque sia va lasciato indefinito , come hai fatto per le altre forze del resto.
In più quante posizioni di equilibrio hai trovato ?
1, 2 , 3,.. ?
Mi sembra strano che il determinante dell' Hessiana (riferita ad ogni posizione di equilibrio) non cambia segno
se aggiungi o togli l' energia potenziale riferita a quelle forze.
chiamando l'altra forza che agisce su $P$ , $F_P$ e dato quel modulo penso sia lecita la mia incomprensione sul testo.
Detto questo il calcolo dell' energia potenziale del punto $P$ è giusto .
Per $V_A$ e $V_B$ , come hai espresso le forze?
L'integrale comunque sia va lasciato indefinito , come hai fatto per le altre forze del resto.
In più quante posizioni di equilibrio hai trovato ?
1, 2 , 3,.. ?
Mi sembra strano che il determinante dell' Hessiana (riferita ad ogni posizione di equilibrio) non cambia segno
se aggiungi o togli l' energia potenziale riferita a quelle forze.
"Light_":
Si so come agisce la forza peso,
chiamando l'altra forza che agisce su $ P $ , $ F_P $ e dato quel modulo penso sia lecita la mia incomprensione sul testo.
Più che lecita e mi scuso se ti sono sembrato irrispettoso, non era mia intenzione.
Ti confermo prima di tutto (fonte il professore e altri studenti con i miei stessi problemi) che il determinante dell'Hessiana, riferita ad una sola posizione di equilibrio (l'unica che compare) è di segno negativo. Pensaci un attimo: la derivata seconda rispetto a $s$ se $V_P=mgs(costheta+sintheta)$ non può essere che $0$ e quindi il determinante dell'Hessiana si calcola moltiplicando tra di loro gli elementi della diagonale secondaria uguali tra loro (il teorema di Scwharz o come si chiama). Il risultato della moltiplicazione è quindi sempre positivo e cambiando di segno sarà sempre negativo e quindi la posizione di equilibrio instabile in ogni caso (il caso è comunque solo uno). Perché solo uno? Perché calcolando la derivata rispetto a $s$ di $V$ non può che uscire $mg(costheta+sintheta)$ che si annulla solo per $-pi/4$.
Se quello che ho scritto è giusto rimane un secondo problema, ovvero il calcolo della energia potenziale totale. Ricordando che le forze $F_A$ e $F_B$ non hanno niente a che fare con la coordinata $s$ quello che ho scritto prima rimane valido anche una volta nota $V$ (totale).
Per calcolare quindi l'energia potenziale delle forze $F_A$ ed $F_B$ ho agito in questo modo
$intF_A d(theta)=intky^2d(theta)=intkL^2(-sin^2(theta))d(theta)$
e
$intF_B d(theta)=intky^3d(theta)=intkL^3(sin^3(theta))d(theta)$
E' giusto calcolare così l'energia potenziale dovuta a queste forze o è sbagliato? Quello che mi turba e che le forze non sono costanti ma lo è il verso e la direzione! Come posso inserire questo "vincolo" all'interno dell'integrale? O è giusto così come ho fatto io?
Non c' è bisogno che ti scusi , non mi sei sembrato irrispettoso.
Considera io ho l'orale di Meccanica Razionale martedì , stiamo sulla stessa barca.
Si sono d'accordo con te sul segno del determinante dell' Hessiana.
Però sta attento , le posizioni di equilibrio sono due ,
$mg(costheta+sintheta)=0$ non ha una soluzione , ma due.
$ (s_1,theta_2)=(0,-pi/4) $ e $ (s_2,theta_2)=(0,3/4pi) $ .
Ora si pone il problema , il determinante dell' Hessiana in questione sara sicuramente $ <=0 $ ,
ora non posso fare i conti , ma mi aspetto che sia $0$ almeno in una delle due posizioni di equilibrio.
Ora se il determinante è $0$ e la traccia è $ >=0 $ (cosa che mi aspetto per almeno una delle due posizioni), non puoi concludere nulla sulla natura del punto , che sia di massimo o di minimo.
Dovrai a questo punto prenderti l'energia potenziale totale e studiartela per intero.
Insomma l' analisi del tipo di equilibrio diventa più complessa .
Ti do un consiglio , prenditi la derivata prima del potenziale rispetto a $theta$ e vedi dove è positiva e dove è negativa.
Se , per esempio , da $3/4pi$ a $-pi/4$ è negativa e da $-pi/4$ a $3/4pi$ è positiva , allora potrai facilmente
concludere che $-pi/4$ è un minimo dell' energia potenziale e l'equilibrio è stabile.
Mi sembra che per l'energia potenziale legata alle forze agenti agli estremi dell' asta sei sulla buona strada ,
ovviamente quegli integrali li devi calcolare.
Considera io ho l'orale di Meccanica Razionale martedì , stiamo sulla stessa barca.
Si sono d'accordo con te sul segno del determinante dell' Hessiana.
Però sta attento , le posizioni di equilibrio sono due ,
$mg(costheta+sintheta)=0$ non ha una soluzione , ma due.
$ (s_1,theta_2)=(0,-pi/4) $ e $ (s_2,theta_2)=(0,3/4pi) $ .
Ora si pone il problema , il determinante dell' Hessiana in questione sara sicuramente $ <=0 $ ,
ora non posso fare i conti , ma mi aspetto che sia $0$ almeno in una delle due posizioni di equilibrio.
Ora se il determinante è $0$ e la traccia è $ >=0 $ (cosa che mi aspetto per almeno una delle due posizioni), non puoi concludere nulla sulla natura del punto , che sia di massimo o di minimo.
Dovrai a questo punto prenderti l'energia potenziale totale e studiartela per intero.
Insomma l' analisi del tipo di equilibrio diventa più complessa .
Ti do un consiglio , prenditi la derivata prima del potenziale rispetto a $theta$ e vedi dove è positiva e dove è negativa.
Se , per esempio , da $3/4pi$ a $-pi/4$ è negativa e da $-pi/4$ a $3/4pi$ è positiva , allora potrai facilmente
concludere che $-pi/4$ è un minimo dell' energia potenziale e l'equilibrio è stabile.
Mi sembra che per l'energia potenziale legata alle forze agenti agli estremi dell' asta sei sulla buona strada ,
ovviamente quegli integrali li devi calcolare.
"Light_":
Mi sembra che per l'energia potenziale legata alle forze agenti agli estremi dell' asta sei sulla buona strada ,
ovviamente quegli integrali li devi calcolare.
Gli integrali li ho calcolati e li ho pure fatti bene, almeno su quello non ho problemi...era il metodo che mi lasciava dubbi.
"Light_":
Ora si pone il problema , il determinante dell' Hessiana in questione sara sicuramente $ <=0 $ ,
ora non posso fare i conti , ma mi aspetto che sia $ 0 $ almeno in una delle due posizioni di equilibrio.
Ora se il determinante è $ 0 $ e la traccia è $ >=0 $ (cosa che mi aspetto per almeno una delle due posizioni), non puoi concludere nulla sulla natura del punto , che sia di massimo o di minimo.
No il determinante non è $0$ in nessuna delle due posizioni...facciamo la matrice:
$( ( 0 , (partial^2 V)/(partial thetapartials) ),( (partial^2V)/(partialthetapartials) , a(theta,s)) ) $
L'unico modo per cui si annulli il determinante è che $(partial^2V)/(partialthetapartials)=0$ e questo non accade. Perché non accade? Perché abbiamo già $(partialV)/(partials)=mg(costheta+sintheta)$ (abbiamo detto che non dipende da $s$ il resto di $V$) e quindi derivando ancora parzialmente per $theta$ abbiamo: $-sintheta+costheta$ che non si annulla ne per $-pi/4$ ne per $(3pi)/4$ (avevi ragione sulle posizioni di equilibrio però, sono 2.)
Penso che quegli integrali che ho scritto siano sbagliati
$V=intFdh$ dove $h$ è lo spostamento verso l'alto, ma $dh=Ldsintheta$ allora gli integrali saranno
$intkL^2(-sin^2(theta))d(Lsintheta) $ per $F_A$ e allo stesso modo per $F_B$, che si risolvono subito.
Qualcuno che confermi?
$V=intFdh$ dove $h$ è lo spostamento verso l'alto, ma $dh=Ldsintheta$ allora gli integrali saranno
$intkL^2(-sin^2(theta))d(Lsintheta) $ per $F_A$ e allo stesso modo per $F_B$, che si risolvono subito.
Qualcuno che confermi?
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