Esercizio meccanica quantistica

[matefis11]

Ciao ragazzi,
ho un problema con il seguente problema di meccanica quantistica. In particolare non vi chiedo di risolverlo tutto ma solo di aiutarmi nella determinazione della matrice H. So che essa dovrebbe venire nel seguente modo, perchè l'ha detto il prof. alla correzione, solo che non riesco a capire i passaggi che portano a questa determinazione.
H dovrebbe risultare:
$ ( ( 2 , 0 , sqrt(2) ),( 0 , 2 , 0 ),( -sqrt(2) , 0 , 3 ) ) $

Ma perchè? So che gli elementi di matrice sono Hij con ij definiti da gli stati dell' operatore in questione (si veda il problema allegato) solo che non riesco a capire come fa a venire cosi. Ringrazio chi mi voglia dare una mano.
Aspetto vostre notizie.

[mathbells]

Ricordi l'esame di "algebra lineare e geometria"? Come si ottengono gli elementi di matrice di un operatore lineare? In generale, se $v_i$ sono i vettori della base ortonormale e $T$ è l'operatore, allora gli elementi di matrice sono dati dai prodotti scalari

\(\displaystyle T_{ij}= \)

Nel tuo caso quindi hai

\(\displaystyle H_{ij}= \)

Ora basta che fai i prodotti scalari ed ottieni la matrice. Comunque nella matrice che hai dato mi pare ci siano un paio di errori: manca un $\epsilon$ che moltiplica tutta la matrice, e manca un segno meno alla $\sqrt 2$ di posto 1,3. Puoi controllare bene?

[matefis11]

Si, sicuramente tutto va moltiplicato per epsilon. Quello che dici te è proprio ciò che ho cominciato a fare appena mi sono trovato di fronte all' esercizio solo che forse sbaglio qualcosa quando faccio il coniugato dello stato. Non mi risultano assolutamente i valori in matrice. Non so ma c'è qualcosa che mi sfugge o che sbaglio.
Puoi farmi un esempio magari di come si procede anche solo nella determinazione del posto 1,3 per esempio così di conseguenza anche il resto?
Ti ringrazio

[lillina951]

Ahem. Non so se è accettabile, ma io immagino il ket $|1 gt$ come il vettore colonna (1 0 0), che in un certo senso "estrae" da H la sua prima riga, quindi banalmente copio i tre coefficienti nella prima riga di H che sto costruendo. Poi faccio lo stesso con gli altri due ket, immaginandomeli come (0 1 0) e (0 0 1). Tanto, quale terna ortonormale scegliere dovrebbe essere indifferente, no?

[mathbells]

Premetto che l'immagine si legge davvero male, quindi potrei aver travisato qualche simbolo..

Dato che \(\displaystyle H|3>=\epsilon(-\sqrt 2|1>+3|3>) \) si ha

\(\displaystyle H_{13}=\langle 1|H|3\rangle =\langle 1|(\epsilon(-\sqrt 2|1\rangle+3|3\rangle)=-\epsilon \sqrt 2 \langle 1|1\rangle+3\epsilon \langle 1|3\rangle = -\epsilon \sqrt 2\)