Esercizio meccanica quantistica
Ciao ragazzi ho un problema nella determinazione dello stato di una particella al tempo t=0 soggetta a potenziale armonico. Il testo del problema è il seguente:
Una particella di massa m è vincolata a muoversi in due dimensioni soggetta ad un potenziale
centrale di tipo armonico. L’Hamiltoniana che descrive il sistema è pertanto
mω2 $ H=p_x ^2/(2m)+p_y ^2/(2m)+1/2momega ^2(x^2+y^2) $
All’istante iniziale t = 0 la particella si trova in uno stato tale che:
i) una misura dell’energia può fornire solo uno dei due valori E = hω ed E = 2 hω;
ii) il valore medio dell’energia `e = 3/2 hω;
iii) i valori medi ed sono uguali tra loro;
iv) i valori medi delle coordinate valgono $ = - = 1/2 sqrt(h/(momega ) $
Determinare il vettore di stato della particella al tempo t = 0 e al tempo generico t >0
Vi ringrazio
Una particella di massa m è vincolata a muoversi in due dimensioni soggetta ad un potenziale
centrale di tipo armonico. L’Hamiltoniana che descrive il sistema è pertanto
mω2 $ H=p_x ^2/(2m)+p_y ^2/(2m)+1/2momega ^2(x^2+y^2) $
All’istante iniziale t = 0 la particella si trova in uno stato tale che:
i) una misura dell’energia può fornire solo uno dei due valori E = hω ed E = 2 hω;
ii) il valore medio dell’energia `e
iii) i valori medi
iv) i valori medi delle coordinate valgono $
Determinare il vettore di stato della particella al tempo t = 0 e al tempo generico t >0
Vi ringrazio
Risposte
osso duro questo esercizio è? 
Eh si...tu ne sai qualcosa 
Ciao ragazzi,
provo a risolvere l'esercizio con l'algebra degli operatori.. ho iniziato a studiare la meccanica quantistica da molto poco e quindi non sono assolutamente sicuro della veridicità di ogni affermazione.. lo faccio per esercizio e spero che qualcuno di esperto controlli quel che ho scritto
Ho riscritto l'hamiltoniana come $H=H_x+H_y$ e dato che $H_x$ ed $H_y$ commutano ho separato le variabili.. ossia ho cercato gli autostati per l'una e per l'altra (ma dal momento che commutano non dovrebbero averne di comuni? sbaglio?). Quel che ho fatto è scrivere il generico stato $\psi = \phi_{n}(x)\phi_{m}(y)$ (che indicherò con $|n,m>$) e definire operatori creatore $a_{i}^{+}$ e distruzione $a_i$ con cui ho potuto riscrivere l'hamiltoniana come $H = \sum(a_{i}^{+}a_i+1/2) h/(2\pi)\omega$ che ammette come autovalori $(n+m+1)h/(2\pi)\omega$. Per l'ipotesi (i) ho che lo stato iniziale deve essere (considerando la degenerazione) una combinazione di stato fondamentale e primi stati eccitati, ossia:
\[ |\psi_0> = A|0,0>+B|1,0>+C|0,1> \]
Dalle condizioni (ii), (iii) e (iv) (esprimendo H, x ed y in funzione di $a_{i}^{+}$ ed $a_i$) ho ottenuto le 4 condizioni:
\[
\left\{
\begin{array}{l}
|A|^2+2|B|^2+2|C|^2=3/2 \\
AB = \frac{\sqrt{2}}{4} \\
AC = -\frac{\sqrt{2}}{4} \\
|B|^2=|C|^2\\
\end{array}\right.
\]
Il sistema ammette quattro soluzioni (a due a due coi segni invertiti, per cui i due stati relativi sono uguali a meno di una fase globale di $e^{i\pi}$).. le prime due comporterebbero alla $\psi_0$ una norma non unitaria (e le ho scartate..), per cui risulta:
\[ |\psi_0> = \frac{1}{\sqrt{2}}|0,0>+\frac{1}{2}|1,0>-\frac{1}{2}|0,1> \]
Per l'evoluzione temporale credo basti applicare l'operatore $e^{-iHt/h}$ alla $\psi_0$, ossia:
\[\displaystyle |\psi(t)> = e^{-i\frac{H}{\hbar}t}\left( \frac{1}{\sqrt{2}}|0,0>+\frac{1}{2}|1,0>-\frac{1}{2}|0,1>\right)
= \frac{e^{-i\omega t}}{\sqrt{2}}|0,0>+\frac{e^{-i2\omega t}}{2}|1,0>-\frac{e^{-i2\omega t}}{2}|0,1>
\]
provo a risolvere l'esercizio con l'algebra degli operatori.. ho iniziato a studiare la meccanica quantistica da molto poco e quindi non sono assolutamente sicuro della veridicità di ogni affermazione.. lo faccio per esercizio e spero che qualcuno di esperto controlli quel che ho scritto
Ho riscritto l'hamiltoniana come $H=H_x+H_y$ e dato che $H_x$ ed $H_y$ commutano ho separato le variabili.. ossia ho cercato gli autostati per l'una e per l'altra (ma dal momento che commutano non dovrebbero averne di comuni? sbaglio?). Quel che ho fatto è scrivere il generico stato $\psi = \phi_{n}(x)\phi_{m}(y)$ (che indicherò con $|n,m>$) e definire operatori creatore $a_{i}^{+}$ e distruzione $a_i$ con cui ho potuto riscrivere l'hamiltoniana come $H = \sum(a_{i}^{+}a_i+1/2) h/(2\pi)\omega$ che ammette come autovalori $(n+m+1)h/(2\pi)\omega$. Per l'ipotesi (i) ho che lo stato iniziale deve essere (considerando la degenerazione) una combinazione di stato fondamentale e primi stati eccitati, ossia:
\[ |\psi_0> = A|0,0>+B|1,0>+C|0,1> \]
Dalle condizioni (ii), (iii) e (iv) (esprimendo H, x ed y in funzione di $a_{i}^{+}$ ed $a_i$) ho ottenuto le 4 condizioni:
\[
\left\{
\begin{array}{l}
|A|^2+2|B|^2+2|C|^2=3/2 \\
AB = \frac{\sqrt{2}}{4} \\
AC = -\frac{\sqrt{2}}{4} \\
|B|^2=|C|^2\\
\end{array}\right.
\]
Il sistema ammette quattro soluzioni (a due a due coi segni invertiti, per cui i due stati relativi sono uguali a meno di una fase globale di $e^{i\pi}$).. le prime due comporterebbero alla $\psi_0$ una norma non unitaria (e le ho scartate..), per cui risulta:
\[ |\psi_0> = \frac{1}{\sqrt{2}}|0,0>+\frac{1}{2}|1,0>-\frac{1}{2}|0,1> \]
Per l'evoluzione temporale credo basti applicare l'operatore $e^{-iHt/h}$ alla $\psi_0$, ossia:
\[\displaystyle |\psi(t)> = e^{-i\frac{H}{\hbar}t}\left( \frac{1}{\sqrt{2}}|0,0>+\frac{1}{2}|1,0>-\frac{1}{2}|0,1>\right)
= \frac{e^{-i\omega t}}{\sqrt{2}}|0,0>+\frac{e^{-i2\omega t}}{2}|1,0>-\frac{e^{-i2\omega t}}{2}|0,1>
\]
Dando una occhiata velocemente, mi sembra che sia giusto il tuo ragionamento 
Perfetto! Grazie mille DelCrossB! E grazie anche a te grimx!
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