[Esercizio Meccanica] Piano inclinato
Salve.
Mi sono imbattuto in un esercizio sul piano inclinato del quale sono riuscito a risolvere in maniera esatta (credo... Non ho a disposizione soluzioni) solo il primo punto. Sui successivi, invece, ho molto più di un dubbio. Potreste gentilmente indicarmi la retta via per la risoluzione (quali legge orarie o legge di Newton imporre et similia)? Ecco la traccia:
Un blocco scende lungo un piano inclinato liscio di lunghezza $ l=10 m $ partendo da fermo e raggiunge la base del piano dopo un tempo $ t=4.2 s $. Un secondo blocco è lanciato verso l'alto dalla base del piano inclinato nello stesso istante in cui il primo blocco parte dall'alto. Dopo aver percorso un tratto in salita ed essere ridisceso, esso ritorna alla base esattamente allo stesso istante in cui arriva il primo blocco. Determinare:
a) l'inclinazione del piano;
b) il modulo della velocità iniziale del secondo blocco;
c) il tratto percorso dal secondo blocco in salita;
d) il tempo totale che il secondo blocco avrebbe impiegato tra salita e discesa qualora fosse partito con la stessa velocità iniziale, ma il piano fosse stato scabro con coefficiente d'attrito dinamico pari a 0.1.
Quello che mi crea più problemi è proprio il come scrivere in termini di equazioni il processo di salita e discesa del secondo blocco ai fini di individuare il modulo della sua velocità iniziale.
Mi sono imbattuto in un esercizio sul piano inclinato del quale sono riuscito a risolvere in maniera esatta (credo... Non ho a disposizione soluzioni) solo il primo punto. Sui successivi, invece, ho molto più di un dubbio. Potreste gentilmente indicarmi la retta via per la risoluzione (quali legge orarie o legge di Newton imporre et similia)? Ecco la traccia:
Un blocco scende lungo un piano inclinato liscio di lunghezza $ l=10 m $ partendo da fermo e raggiunge la base del piano dopo un tempo $ t=4.2 s $. Un secondo blocco è lanciato verso l'alto dalla base del piano inclinato nello stesso istante in cui il primo blocco parte dall'alto. Dopo aver percorso un tratto in salita ed essere ridisceso, esso ritorna alla base esattamente allo stesso istante in cui arriva il primo blocco. Determinare:
a) l'inclinazione del piano;
b) il modulo della velocità iniziale del secondo blocco;
c) il tratto percorso dal secondo blocco in salita;
d) il tempo totale che il secondo blocco avrebbe impiegato tra salita e discesa qualora fosse partito con la stessa velocità iniziale, ma il piano fosse stato scabro con coefficiente d'attrito dinamico pari a 0.1.
Quello che mi crea più problemi è proprio il come scrivere in termini di equazioni il processo di salita e discesa del secondo blocco ai fini di individuare il modulo della sua velocità iniziale.
Risposte
Il moto del primo blocco è rettilineo uniformemente accelerato verso il basso, e quindi :
$L = 1/2at^2 = 1/2gsen\alphat^2$ -----(1)
da cui puoi ricavare $sen\alpha$ e quindi l'angolo.
Il secondo blocco viene lanciato con un velocità iniziale incognita $v_0$ e quindi sale con moto uniformemente ritardato: l'accelerazione, diretta in verso opposto al moto, è sempre uguale in modulo a $gsen\alpha$. Per cui si può scrivere :
$v = v_0 - gsen\alphat$ ------(2)
e questo moto dura un tempo $t_1$ , fino all'arresto :
$0 = v_0 -gsen\alphat_1 => v_0 = gsen\alphat_1$ ------(3)
Ma poi il blocco inizia la discesa con moto accelerato : il moto in discesa è il "film" del moto in salita proiettato al contrario. Capisci perché ?
Voglio dire che il blocco parte ancora dalla quiete e arriva al fondo in un tempo $t_2$ con una velocità finale data da :
$v_"f" = gsen\alphat_2$ ------(4)
e io dico che $v_"f" = v_0$ , e ancora : $t_2 = t_1$ . Dovresti dirmi tu perché.
Perciò la (4) è identica alla (3) : $v_0 = gsen\alphat_1 $ .
Ora la condizione del problema è che $t_1 + t_2 = t $ . Perciò deve essere : $ t_1 = t_2 = t/2$ .
E quindi : $v_0 = gsen\alphat/2 $ ----------(5)
La (5) consente di calcolare $v_0$ . Il tratto percorso dal secondo blocco in salita è percorso con moto unif. ritardato,e con velocità iniziale ormai nota.
Quando agisce la forza di attrito, occorre considerare, sia in salita che in discesa, che tale forza si oppone al moto in entrambi i percorsi. Percio va scritta la 2° eq. della dinamica aggiungendo tale forza nel verso opportuno.
$L = 1/2at^2 = 1/2gsen\alphat^2$ -----(1)
da cui puoi ricavare $sen\alpha$ e quindi l'angolo.
Il secondo blocco viene lanciato con un velocità iniziale incognita $v_0$ e quindi sale con moto uniformemente ritardato: l'accelerazione, diretta in verso opposto al moto, è sempre uguale in modulo a $gsen\alpha$. Per cui si può scrivere :
$v = v_0 - gsen\alphat$ ------(2)
e questo moto dura un tempo $t_1$ , fino all'arresto :
$0 = v_0 -gsen\alphat_1 => v_0 = gsen\alphat_1$ ------(3)
Ma poi il blocco inizia la discesa con moto accelerato : il moto in discesa è il "film" del moto in salita proiettato al contrario. Capisci perché ?
Voglio dire che il blocco parte ancora dalla quiete e arriva al fondo in un tempo $t_2$ con una velocità finale data da :
$v_"f" = gsen\alphat_2$ ------(4)
e io dico che $v_"f" = v_0$ , e ancora : $t_2 = t_1$ . Dovresti dirmi tu perché.
Perciò la (4) è identica alla (3) : $v_0 = gsen\alphat_1 $ .
Ora la condizione del problema è che $t_1 + t_2 = t $ . Perciò deve essere : $ t_1 = t_2 = t/2$ .
E quindi : $v_0 = gsen\alphat/2 $ ----------(5)
La (5) consente di calcolare $v_0$ . Il tratto percorso dal secondo blocco in salita è percorso con moto unif. ritardato,e con velocità iniziale ormai nota.
Quando agisce la forza di attrito, occorre considerare, sia in salita che in discesa, che tale forza si oppone al moto in entrambi i percorsi. Percio va scritta la 2° eq. della dinamica aggiungendo tale forza nel verso opportuno.
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