Esercizio meccanica classica
Salve a tutti,
mi sono incastrata su un punto (anche piuttosto semplice!) di un problema di meccanica classica, non riesco a sbloccarmi e volevo chiedervi aiuto. Scrivo il testo:
"Un cubetto di massa m=0.25 kg è fissato a una molla, di costante elastica k=14 N/m , che ha l'altro estremo fissato al muro. Cubetto e molla sono appoggiati su un piano con coefficiente di attrito dinamico $\mu_D$ = 0.20 fra corpo e piano.Inizialmente, con la molla alla lunghezza di equilibrio, il cubetto riceve un colpo in asse con la molla che lo mette in moto verso il muro con velocità iniziale $v_0$=1.40 m/s. Calcolare:
a)la distanza x dal punto di partenza in cui si annulla per la prima volta la velocità del cubetto;
b)il minimo valore del coefficiente di attrito statico $\mu_S$ necessario perchè il cubetto rimanga poi fermo:
c)la compressione della molla $x_1$ quando, per la prima volta, si annulla l'accelerazione, se il coeff d'attrito statico è inferiore a quello calcolato;
d) la velocità massima raggiunta dal cubetto. "
I primi due punti l'ho risolti con l'energia (tenendo conto ovviamente di quella dissipata dal lavoro della forza d'attrito), e viene $x_0$=0,15 m e $\mu_S$=0,88; poi il punto c e il punto d sono strettamente collegati, perchè nel moto armonico l'accelerazione è nulla nel punto in cui la velocità e massima, cioè al centro, alla posizione di equilibrio. Adesso, l'unica cosa che mi viene in mente è di applicare di nuovo la "conservazione"(sempre tenendo conto di quella che si dissipa) dell'energia, ma mi ritrovo due incognite, proprio le due che mi vengono richieste nei due punti! Devo prendere un'altra strada per trovare la posizione richiesta dal punto c?
Grazie in anticipo!
Valentina
mi sono incastrata su un punto (anche piuttosto semplice!) di un problema di meccanica classica, non riesco a sbloccarmi e volevo chiedervi aiuto. Scrivo il testo:
"Un cubetto di massa m=0.25 kg è fissato a una molla, di costante elastica k=14 N/m , che ha l'altro estremo fissato al muro. Cubetto e molla sono appoggiati su un piano con coefficiente di attrito dinamico $\mu_D$ = 0.20 fra corpo e piano.Inizialmente, con la molla alla lunghezza di equilibrio, il cubetto riceve un colpo in asse con la molla che lo mette in moto verso il muro con velocità iniziale $v_0$=1.40 m/s. Calcolare:
a)la distanza x dal punto di partenza in cui si annulla per la prima volta la velocità del cubetto;
b)il minimo valore del coefficiente di attrito statico $\mu_S$ necessario perchè il cubetto rimanga poi fermo:
c)la compressione della molla $x_1$ quando, per la prima volta, si annulla l'accelerazione, se il coeff d'attrito statico è inferiore a quello calcolato;
d) la velocità massima raggiunta dal cubetto. "
I primi due punti l'ho risolti con l'energia (tenendo conto ovviamente di quella dissipata dal lavoro della forza d'attrito), e viene $x_0$=0,15 m e $\mu_S$=0,88; poi il punto c e il punto d sono strettamente collegati, perchè nel moto armonico l'accelerazione è nulla nel punto in cui la velocità e massima, cioè al centro, alla posizione di equilibrio. Adesso, l'unica cosa che mi viene in mente è di applicare di nuovo la "conservazione"(sempre tenendo conto di quella che si dissipa) dell'energia, ma mi ritrovo due incognite, proprio le due che mi vengono richieste nei due punti! Devo prendere un'altra strada per trovare la posizione richiesta dal punto c?
Grazie in anticipo!
Valentina
Risposte
Non è che la velocità massima raggiunta dal cubetto sia quella iniziale?
...non so, che ragionamento hai fatto? Cioè, intuitivamente ho capito cosa vuoi dire, ma come faccio a verificarlo?
L'energia meccanica iniziale viene progressivamente dissipata dal lavoro della forza d'attrito. Quindi l'energia è massima all'inizio ed è solo cinetica.
si, ci sta. adesso però ho trovato le soluzioni, e ho visto che è un altro numero: è 0,90. è più piccola di $v_0$, quindi forse intende la velocità massima che raggiunge una volta che ha invertito il moto?
Non saprei cosa intende veramente. Da dove hai preso il problema? Hai anche il risultato per $x_1$? Per caso è $0.035 \ m$?
basta derivare la conservazione dell'energia, hai che 1/2 mv^2 + 1/2 kx^2 - umgx = cost. se derivi viene mva + kxv - umgv = 0
poni a = 0 e ti viene che x = umg/k
poni a = 0 e ti viene che x = umg/k
Dal teorema dell'energia cinetica sai che il lavoro totale( lavoro forze conservative + lavoro forze non conservative) è uguale alla variazione dell'energia cinetica
$K_f-K_0=W_c+W_{nc}=1/2kx^2-mg\mu x$
dal momento che sei interessata al massimo della funzione basta derivare la funzione $K_f$ e porre la deriva prima uguale a 0
ottieni quindi $kx-mg\mu=0$ che implica $x=mg\mu/k$ sostituisci questo valore nell'equazione di partenza e ottieni:
$v_{max}=v_0 (1-(m(g\mu)^2)/(kv_0^2))^{1/2}=1.375m/s$
$K_f-K_0=W_c+W_{nc}=1/2kx^2-mg\mu x$
dal momento che sei interessata al massimo della funzione basta derivare la funzione $K_f$ e porre la deriva prima uguale a 0
ottieni quindi $kx-mg\mu=0$ che implica $x=mg\mu/k$ sostituisci questo valore nell'equazione di partenza e ottieni:
$v_{max}=v_0 (1-(m(g\mu)^2)/(kv_0^2))^{1/2}=1.375m/s$
Ho capito: basta considerare che nel punto in cui l'accelerazione è 0 di conseguenza la risultante delle forze che agiscono sul corpo è nulla, e quindi la forza elastica si euguaglia alla forza d'attrito! 
Hai il risultato per $x_1$?
Se per $x_1$ intendi il punto in cui la velocità del corpo è massima io ottengo 0.035 m.
http://www.wolframalpha.com/input/?i=0.25*9.81*0.2%2F14
Sicura del risultato, volendo potrei ricontrollare il risultato risolvendo l'equazione del moto, ma non ho molta voglia ...
http://www.wolframalpha.com/input/?i=0.25*9.81*0.2%2F14
Sicura del risultato, volendo potrei ricontrollare il risultato risolvendo l'equazione del moto, ma non ho molta voglia ...
Nel testo si chiedeva ...
"c)la compressione della molla x1 quando, per la prima volta, si annulla l'accelerazione, se il coeff d'attrito statico è inferiore a quello calcolato;".
Anch'io, come ho già scritto, trovo $x_1=0.035 \ m$.
Siccome valentina92 dice di aver trovato le soluzioni le chiedevo conferma.
"c)la compressione della molla x1 quando, per la prima volta, si annulla l'accelerazione, se il coeff d'attrito statico è inferiore a quello calcolato;".
Anch'io, come ho già scritto, trovo $x_1=0.035 \ m$.
Siccome valentina92 dice di aver trovato le soluzioni le chiedevo conferma.
ma il metodo che ho utilizzato per trovare la velocità massima ti sembra sbagliato? a me pare che sia corretto
cmq un problema tipo questo viene trattato nel mazzoldi nigro voci, io però al momento sono tornato a casa e quindi non ho libri sottomano
cmq un problema tipo questo viene trattato nel mazzoldi nigro voci, io però al momento sono tornato a casa e quindi non ho libri sottomano
si, facendo così come ho detto viene 3,5 cm ed è giusto; però poi $v_max$ dovrebbe venire 0,90 m/s, e non mi viene così!
Applico la conservazione dell'energia in questo modo:
$E_i=E_f+L_(Fa)$ (cioè energia iniziale, energia finale, lavoro della forza d'attrito; considero l'energia iniziale come quella che il blocchetto possiede alla posizione x, e come energia finale quella che possiede quando sta nella posizione $x_1$. Quindi:
$1/2kx^2=1/2m(v_(max))^2+\mu_Dmgx_1"$ , poi però quando vado a ricavare $v_max$ viene circa 1,1 m/s. Sbaglio a valutare le energia nelle posizioni che prendo?
Applico la conservazione dell'energia in questo modo:
$E_i=E_f+L_(Fa)$ (cioè energia iniziale, energia finale, lavoro della forza d'attrito; considero l'energia iniziale come quella che il blocchetto possiede alla posizione x, e come energia finale quella che possiede quando sta nella posizione $x_1$. Quindi:
$1/2kx^2=1/2m(v_(max))^2+\mu_Dmgx_1"$ , poi però quando vado a ricavare $v_max$ viene circa 1,1 m/s. Sbaglio a valutare le energia nelle posizioni che prendo?
mi spiace ma applichi male! l'energia cinetica iniziale dove la metti?
considero l'energia iniziale come la posizione x (cioè quella che ho trovato al primo punto), e lì la velocità è nulla, quindi l'energia è solo potenziale elastica!
ah scusa allora ok! non avevo letto le domande precedenti
ho sbagliato l'energia finale forse? non è solo cinetica? ho pensato che fosse così perchè la velocità è massima nella posizione d'equilibrio, ma visto che c'è attrito la posizione d'equilibrio cambia sempre, e in effetti essendo 0,035 m rispetto a quella iniziale (che era effettivamente d'equilibrio) c'è una piccola compressione, però non so...
Io ho ragionato così:
Nel punto più vicino al muro il corpo ha energia potenziale elastica soltanto. Se $x$ è la compressione della molla rispetto alla posizione iniziale ($x=0.1553 \ m$), allora $K_i=1/2*k*x^2$. Il corpo tornando verso la posizione di equilibrio perde progressivamente energia per effetto del lavoro negativo fatto dalla forza di attrito. In un punto $x_1$ la somma della forza elastica di richiamo e della forza d'attrito è $=0$ e quindi l'accelerazione è $=0$. In questo punto $k*x_1=mu_d*m*g->x_1=(mu_d*m*g)/k=0.035 \ m$.
Lì l'energia finale è la somma di un termine di energia cinetica $E_c=1/2*m*v^2$ con un termine di energia potenziale elastica $K_(f)=1/2*k*x_1^2$.
Allora si può scrivere che l'energia iniziale $K_i$ meno il lavoro della forza d'attrito $L_a=mu_d*m*g*(x-x_1)$ è uguale all'energia finale $E_c+K_(f)$.
Da cui l'equazione
$1/2*k*x^2-mu_d*m*g*(x-x_1)=1/2*m*v^2+1/2*k*x_1^2$ che dà $v=0.90 \ m*s^-1$.
Nel punto più vicino al muro il corpo ha energia potenziale elastica soltanto. Se $x$ è la compressione della molla rispetto alla posizione iniziale ($x=0.1553 \ m$), allora $K_i=1/2*k*x^2$. Il corpo tornando verso la posizione di equilibrio perde progressivamente energia per effetto del lavoro negativo fatto dalla forza di attrito. In un punto $x_1$ la somma della forza elastica di richiamo e della forza d'attrito è $=0$ e quindi l'accelerazione è $=0$. In questo punto $k*x_1=mu_d*m*g->x_1=(mu_d*m*g)/k=0.035 \ m$.
Lì l'energia finale è la somma di un termine di energia cinetica $E_c=1/2*m*v^2$ con un termine di energia potenziale elastica $K_(f)=1/2*k*x_1^2$.
Allora si può scrivere che l'energia iniziale $K_i$ meno il lavoro della forza d'attrito $L_a=mu_d*m*g*(x-x_1)$ è uguale all'energia finale $E_c+K_(f)$.
Da cui l'equazione
$1/2*k*x^2-mu_d*m*g*(x-x_1)=1/2*m*v^2+1/2*k*x_1^2$ che dà $v=0.90 \ m*s^-1$.
Hai ragione, non avevo considerato la forza elastica nella posizione $x_1$ ! Grazie mille!
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