Esercizio Meccanica: Asta incernierata

[igol10]

Volevo solo chiedere se ho risolto bene il seguente problema:
"Un'asta è composta di due tratti omogenei rigidamente connessi: uno di lunghezza $L1 = 1$ m e massa $m1 = 1 Kg$, l'altro di lunghezza $L2 = 0.5$ m e massa $m2 = 2 kg$. Essa è incernierata nell'estremo A ed è appesa per l'altro estremo ad un filo collegato ad una terza massa m3 come in figura (a). Il filo è inclinato rispetto all'asta di un angolo $ alpha = pi/6$ . Il sistema è in equilibrio con asta orizzontale.

Determinare:
1. La massa m3, la tensione del filo e le componenti della reazione vincolare in A;
2. La distanza del centro di massa dell'asta da A.
In un certo istante il filo si rompe e l'asta ruota verso il basso (si veda figura b). Si trascuri l'attrito.
3. Si calcoli il momento d'inerzia dell'asta rispetto all'asse di rotazione per A (si usi la proprietà che il momento di inerzia di un sistema composto è la somma dei momenti di inerzia di ciascuna sua parte rispetto allo stesso asse e che il momento di inerzia di una barra omogenea rispetto ad un asse ad essa perpendicolare per il suo centro è $ I = 1/12 mL^2 $ )
4. Si calcoli la velocità angolare della barra dopo che è ruotata di $ theta = pi/4 $

--- MIA SOLUZIONE ---

Faccio partire l'asse x dal punto A, parallelo all'asta e rivolto verso destra, e l'asse y parallelo al muro e diretto verso l'alto. L'asse z invece lo faccio entrante nel foglio.

(Quesito 2): devo trovare la posizione del centro di massa dell'asta rigida.
Allora la posizione del centro di massa è: $ x_{CM} = m_{2}/(m_{1} + m_{2}) L_{1} = 0.67 m $

(Quesito 1): sono in equilibrio e devo trovare m3, la tensione T del filo e le componenti della reazione vincolare in A.

Somma dei momenti della forza rispetto ad A = 0 ---> $ 0 = x_{CM} - (L_{1} + L_{2})Tsinalpha $

Somma delle forze uguale a 0:

-- Lungo asse x : $ R_{x} - Tcosalpha = 0 rArr R_{x} = Tcosalpha$
-- Lungo asse y: $ R_{y} - (m_{1} + m_{2})g + Tsinalpha = 0 rArr R_{y} = (m_{1} + m_{2})g - Tsinalpha $
-- Lungo asse y (massa m3): $ T - m_{3}g = 0 rArr T = m_{3}g $

Quindi abbiamo 4 equazioni nelle 4 incognite (T, m3, Rx, Ry). I risultati sono:
$ R_{x} = 11.37 N , R_{y} = 8.13 N , T = 13.13 N , m_{3} = 1.34 kg $

(Quesito 3) Ora il filo si è rotto. Devo calcolare il momento di inerzia rispetto ad A.
Lo calcolo come momento di inerzia della asta lunga L1 + momento di inerzia dell'asta lunga L2.

$ I_{A} = I_{m1} + I_{m2} $
$ I_{m1} = 1/12m_{1}L_{1}^2 + m_{1}(L_{1}/2)^2 = 1/3m_{1}L_{1}^2 $
$ I_{m1} = 1/12m_{2}L_{2}^2 + m_{2}(L_{1}+L_{2}/2)^2 = 1/3m_{2}L_{2}^2 + m_{2}L_{1}^2 + m_{2}L_{1}L_{2} $

Quindi: $ I_{A} = (1/3m_{1} + m_{2})L_{1}^2 + 1/3m_2L_2^2 + m_2L_1L_2 = 1.83 kg*m^2 $

(Quesito 4) Devo calcolare la velocità angolare dell'asta quando $ theta = 45° $

Uso la conservazione dell'energia meccanica. $ DeltaE = E_f - E_i = 0$

Energia meccanica iniziale: $ E_i = 0 $
Energia meccanica finale : $ E_f = 1/2I_Aomega^2 + (m_1+m_2)gh $
Devo calcolare l'altezza h del centro di massa. Avendo orientato l'asse y verso l'alto, h sarà negativo e in particolare:
$ h = -x_{CM}sintheta $

Quindi per la conservazione dell'energia meccanica ho:
$ 1/2I_Aomega^2 = (m_1+m_2)g*x_{CM}sintheta rArr omega=2.76 $ radianti al secondo
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Ora la mia domanda è:
Ho sbagliato qualcosa? Non sono ancora sicuro al 100% delle mie abilità nel risolvere questi problemi. Grazie per l'attenzione.

[professorkappa]

Va bene il procedimento.
Pero'

(1) Se x e' verso destra, e y verso l'alto, allora z dovrebbe uscire dal foglio (regola della mano destra). In questo caso te la scampi perche z non entra in ballo, ma e' buona regola imporre gli assi secondo questa convenzione
(2) Il centro di massa e' sbagliato, riguardalo
(3) e' sbagliata l'espressione dell'equazione di equilibrio alla rotazione (lo vedi subito perche manca L2).

Rivedilo con queste considerazioni. Ciao

[igol10]

Grazie "professorkappa", ora provo a rispondere alle tue considerazioni:

1) Non basta che gli assi cartesiani siano mutuamente perpendicolari?? Il verso non è in base alla preferenza del sistema di
riferimento che si vuole avere? Ad esempio, se io voglio fare accelerare la macchina quando questa prosegue verso destra, allora oriento l'asse x verso dx, altrimenti verso sx, senza tener conto di come sono orientati gli altri assi.

2) Va bene il seguente calcolo del centro di massa?
centro di massa di L1 ----> $ x_1 = L_1/2 $
centro di massa di L2 ----> $ x_2 = L_2/2 $
centro di massa dell'intera asta ----> $ x_{CM} = (m_1x_1 + m_2x_2)/(m1+m_2) = (m1L_1/2+m_2L_2/2)/(m_1+m_2) $
Dal momento che $ L_2 = L_1/2 $ e che $ m_1 = m_2/2 $ abbiamo che:
$ x_{CM} = (m1L_2+m_1L_2)/(m_1+m_2) = ((1/2m_2+1/2m_2)L_2)/(m_1+m_2) = m_2/(m_1+m_2)L_2 = 0.33m $

3) Si è vero l'espressione è sbagliata, però è stata una svista. Quando ho fatto l'esercizio sul foglio ho usato questa equazione:
$ 0 = x_{CM}(m_1+m_2)g - (L_{1} + L_{2})Tsinalpha $
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Attendo una tua risposta. Ciao e ancora grazie.

[professorkappa]

1) Gli assi li scegli come vuoi tu. Scelto x verso destra e y verso l'alto, pero', e' buona norma assegnare z in modo tale che valga la regola della mano destra. Quindi z deve uscire dal disegno, tu invece lo imponi entrante.
2) Quella formula che scrivi per il centro di massa, la scrivi prendendo implicitamente l'origine nel punto di giunzione delle barrette. Tra l'altro, anche in questo caso sbagli, perche ci dovrebbe essere un segno meno per la coordinata del centro di massa della barretta 1. Ma siccome tu hai preso l'origine nella cerniera (sul muro), il centro di massa e'

$ (m_1L_1/2+m_2(L_1+L_2/2))/(m_1+m_2) $

Esattamente come hai fatto quando hai calcolato il Momento di Inerzia.

3) OK.

[igol10]

Grazie professorkappa, sei stato gentilissimo! Alla prossima!