Esercizio meccanica analitica (Goldstein)
Salve, stavo ripassando un po' sul Goldstein perché mi piace un sacco, e guardavo gli esercizi di meccanica analitica alla fine del secondo capitolo.
Un esercizio mi lascia in difficoltà:
Un disco omogeneo di massa $m$ e raggio $r$ rotola senza strisciare su un cilindro fisso di raggio $R>r$. Il sistema è in presenza di gravità.
Supponendo che il disco cominci a rotolare da fermo sulla superficie del cilindro, ricavare col metodo dei moltiplicatori di Lagrange il punto in cui il disco si stacca.
Ho difficoltà a formalizzare bene l'esercizio.
Il vincolo che ho è che il punto di contatto del disco sul cilindro abbia equazione $x^2+y^2=R^2$.
All'inizio ho pensato di identificare ogni punto del cilindro grande in base all'angolo $theta$ rispetto alla verticale.
Per il disco, imponendo il puro rotolamento, vale che $v = - r dotphi$ ($phi$ è l'angolo del punto di contatto rispetto alla verticale del cilindro)
L'altezza del centro di massa del cilindro sarà $(r+R)cos theta$
La lagrangiana del sistema sarà quindi
$L = 1/2 m * ((rdotphi)^2 + dotx^2 + dot y^2) - mgr cos theta = mr^2v^2 - mgr cos theta$
Pensavo di riuscire a scrivere la velocità in funzione di $theta$ ma non riesco.
Il problema è che poi applicando i moltiplicatori di lagrange, ottengo una massimizzazione di una funzione con un vincolo, non capisco come poi da questa si possa ricavare il punto di stacco... a meno di non riuscire a scrivere la reazione vincolare $N$ e trovare il punto in cui essa si annulla. Penso sia questa la strada, $N=mgrcostheta - mr dot theta^2$
Ma allora a che serve la lagrangiana?
Un esercizio mi lascia in difficoltà:
Un disco omogeneo di massa $m$ e raggio $r$ rotola senza strisciare su un cilindro fisso di raggio $R>r$. Il sistema è in presenza di gravità.
Supponendo che il disco cominci a rotolare da fermo sulla superficie del cilindro, ricavare col metodo dei moltiplicatori di Lagrange il punto in cui il disco si stacca.
Ho difficoltà a formalizzare bene l'esercizio.
Il vincolo che ho è che il punto di contatto del disco sul cilindro abbia equazione $x^2+y^2=R^2$.
All'inizio ho pensato di identificare ogni punto del cilindro grande in base all'angolo $theta$ rispetto alla verticale.
Per il disco, imponendo il puro rotolamento, vale che $v = - r dotphi$ ($phi$ è l'angolo del punto di contatto rispetto alla verticale del cilindro)
L'altezza del centro di massa del cilindro sarà $(r+R)cos theta$
La lagrangiana del sistema sarà quindi
$L = 1/2 m * ((rdotphi)^2 + dotx^2 + dot y^2) - mgr cos theta = mr^2v^2 - mgr cos theta$
Pensavo di riuscire a scrivere la velocità in funzione di $theta$ ma non riesco.
Il problema è che poi applicando i moltiplicatori di lagrange, ottengo una massimizzazione di una funzione con un vincolo, non capisco come poi da questa si possa ricavare il punto di stacco... a meno di non riuscire a scrivere la reazione vincolare $N$ e trovare il punto in cui essa si annulla. Penso sia questa la strada, $N=mgrcostheta - mr dot theta^2$
Ma allora a che serve la lagrangiana?
Risposte
Mi sembra che tu in tale problema abbia considerato solo un vincolo (ovvero il fatto che per un tratto il cerchio sia vincolato a stare sul perimetro del cilindro). Ma vi è anche un altro vincolo, quello di puro rotolamento, esprimibile come: $ (r+R)*theta = r*phi $ (in quanto il centro di massa del cerchio piccolo percorre uno spazio $ s=r*phi $ , ma è anche vero che $ s = (r + R)*theta $). Ottieni così due moltiplicatori di lagrange. Nell'energia cinetica della lagrangiana devi aggiungere anche un altro termine, che per come lo hai impostato tu diventa: $ (x^2 + y^2)*dottheta^2 $. Il termine $ (x^2 + y^2) $ che tu hai inserito contempla solo il caso in cui il cerchio si stacca dal cilindro, mentre con l'aggiunta suggerita includi anche il caso in cui il cerchio sta sul cilindro. Non sono stato troppo chiaro immagino, in caso tu abbia qualche dubbio, chiedi pure.
ma il cilindro di base è fisso, l'unica cosa che ruota è il disco sopra! quindi il vincolo di puro rotolamento l'ho scritto come Velocità di traslazione del disco = velocità di rotazione del disco... in ogni caso i moltiplicatori di lagrange su cosa li uso? anche se li usassi con il vincolo $x^2+y^2=R^2$ otterrei il massimo della funzione di Lagrange sul cerchio... che ci faccio?
hai ragione, non avevo la seconda condizione di vincolo! è comunque sempre meglio esprimere un vincolo cinematico come posizionale, ovvero come ho scritto nel post precedente (dato che in tal caso è possibile farlo)! Il pezzo aggiuntivo va messo in quanto rappresenta l'energia cinetica del cerchi rispetto al cilindro. $ r^2*dotphi^2 $ è solo l'energia cinetica del cerchio piccolo rispetto al proprio centro di massa (prima forse ho scritto una cavolata!)! (aspetta, ho scritto queste cose supponendo che il tuo sistema fisso abbia origine nel centro di massa del cilindro grande...è così?).
sì è così
Allora la tua lagrangiana dovrebbe essere: $ L= m/2(rho^2 + rho^2dottheta^2 + r^2dotphi^2) - mgrhocostheta $ dove $ rho^2 = x^2 + y^2 $ ovvero la distanza fra i due centri di massa, (così togliamo di mezzo una coordinata)! Prova a risolvere così. L'energia potenziale è presa in maniera tale che sia 0 a novanta gradi, positiva per $ theta $ minore di 90 e negativa per angoli maggiori di 90.
sì ma una volta che applico il moltiplicatore di lagrange ottengo_
$m(2x+2x dot theta^2) = 2lambdax$
$m(2y + 2ydot theta^2) = 2lambday$
e una volta risolto trovo le x e le y che estremizzano la lagrangiana sul cerchio. Perché dovrebero essere proprio i punti che mi interessano. Inoltre il $dot theta$ come lo elimino?
$m(2x+2x dot theta^2) = 2lambdax$
$m(2y + 2ydot theta^2) = 2lambday$
e una volta risolto trovo le x e le y che estremizzano la lagrangiana sul cerchio. Perché dovrebero essere proprio i punti che mi interessano. Inoltre il $dot theta$ come lo elimino?
Prima ho sbagliato a postarti la lagrangiana, ora ho rieditato il post! Comunque ti conviene esprimere la distanza fra i centri di massa con un'unica incognita, al posto di x e y!!Ma i termini in cui è presente l'angolo $ phi $ dove li hai lasciati??Postami tutto il sistema (vincoli inclusi) che ti esce. Dovrebbe essere in 3 incognite...
il vincolo dovrebbe essere $rho^2 = (r+R^2)$
inoltre l'altro vincolo dovrebbe essere $r^2dotphi^2 = rho^2dottheta^2 $
e il sistema dovrebbe essere
$mrho*(1+dottheta^2) + mg=2lambda_1 rho -2lambda_2rhodottheta^2 $
$mrho^2dottheta = -2lambda_2rho^2dottheta$
$mr^2dotphi = 2lambda_2rho^2dotphi$
non vedo altre equazioni...
inoltre l'altro vincolo dovrebbe essere $r^2dotphi^2 = rho^2dottheta^2 $
e il sistema dovrebbe essere
$mrho*(1+dottheta^2) + mg=2lambda_1 rho -2lambda_2rhodottheta^2 $
$mrho^2dottheta = -2lambda_2rho^2dottheta$
$mr^2dotphi = 2lambda_2rho^2dotphi$
non vedo altre equazioni...
Ho ritrovato il topic che avevo aperto...e nel pdf consigliato c'è la soluzione anche del tuo esercizio. Ecco l'indirizzo: http://www.matematicamente.it/forum/esercizio-di-meccanica-lagrangiana-t58311.html .
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