Esercizio meccanica analitica
Ciao a tutti
Ho da poco cominciato con degli esercizi di meccanica analitica.
Testo:
Esercizio numero 3:
http://www.physycom.unibo.it/Meccanica_ ... 6_10_2002/
Non capisco come mettere l'asta $AB$
http://imageshack.us/photo/my-images/853/probl.jpg/
Io avrei pensato in primo momento che essa giace totalmente sull'asse $x'$ traslato di un certo $x'$, e la molla parte dall'origine (le due origini coincidono) per 'attaccarsi' all'asta [nel disegno non l'ho disegnato onde evitare sbagli]
Devo trovare la lagrangiana.
So che essa è della forma:
$L= K - V$ dove $K$ è l'energia cinetica totale del sistema, e $V$ quella potenziale
l'energia cinetica $K$ è la somma dell'energia cinetica del centro di massa sommato a quello 'rotazionale':
$1/2 m* [(dx')/dt + (dy')/dt]^2 = K_(cdm)$ [non so come mettere il 'puntino' sopra a x ]
$1/2 I (d^2(phi))/dt^2 = K_(rot)$ dove $I = (ml^2)/3$
non avendo sostanzialmente capito bene come disegnare l'asta, non posso procedere nel trovarmi le cordinate del centro di massa, qualche suggerimento per il disegno?
Grazie
Ho da poco cominciato con degli esercizi di meccanica analitica.
Testo:
Esercizio numero 3:
http://www.physycom.unibo.it/Meccanica_ ... 6_10_2002/
Non capisco come mettere l'asta $AB$
http://imageshack.us/photo/my-images/853/probl.jpg/
Io avrei pensato in primo momento che essa giace totalmente sull'asse $x'$ traslato di un certo $x'$, e la molla parte dall'origine (le due origini coincidono) per 'attaccarsi' all'asta [nel disegno non l'ho disegnato onde evitare sbagli]
Devo trovare la lagrangiana.
So che essa è della forma:
$L= K - V$ dove $K$ è l'energia cinetica totale del sistema, e $V$ quella potenziale
l'energia cinetica $K$ è la somma dell'energia cinetica del centro di massa sommato a quello 'rotazionale':
$1/2 m* [(dx')/dt + (dy')/dt]^2 = K_(cdm)$ [non so come mettere il 'puntino' sopra a x ]
$1/2 I (d^2(phi))/dt^2 = K_(rot)$ dove $I = (ml^2)/3$
non avendo sostanzialmente capito bene come disegnare l'asta, non posso procedere nel trovarmi le cordinate del centro di massa, qualche suggerimento per il disegno?
Grazie
Risposte
up
Intanto forse conviene visualizzare il numero di gradi di libertà del problema. Uno è l'ascissa (lungo x') dell'estremo A dell'asta. Adesso, per individuare completamente la posizione dell'asta bastano altri due angoli, che possono essere i soliti angoli $ \theta $ rispetto all'asse verticale e $ \phi $ rispetto all'asse $ x $ (convenzione usata in coordinate polari sferiche). Quindi abbiamo 3 gradi di libertà. Adesso per scrivere l'energia cinetica si può usare il teorema di Koenig, quindi calcolare l'energia del centro di massa, scrivendone opportunamente le coordinate (per fare questo conviene prima scrivere le coordinate di A, e poi sommargli le coordinate del centro di massa nel riferimento centrato in A, ed utilizzando gli angoli citati prima). Per trovare l'energia rotazionale si scrive:
[tex]\frac{1}{2}(I_{x}\omega_{x} ^2+ I_{y}\omega_{y}^2+I_{z}\omega_{z}^2)[/tex]
Ovviamente, per fare questo, devi trovare le componenti dei momenti di inerzia e della velocità angolare rispetto agli assi scelti come riferimento.
[tex]\frac{1}{2}(I_{x}\omega_{x} ^2+ I_{y}\omega_{y}^2+I_{z}\omega_{z}^2)[/tex]
Ovviamente, per fare questo, devi trovare le componenti dei momenti di inerzia e della velocità angolare rispetto agli assi scelti come riferimento.
l'asta ha un estremo vincolato a scorere in un asse inclinata $alpha$ costante,
il moto avviene sul piano quindi i gdl sono due, l'angolo $theta$ che l'asta forma con la verticale e l'ascissa $s$ sulla guida $x'$
il cdm ha componeneti $G-O = (s cos alpha + l sin theta, s sin alpha - l cos theta)$ e l'energia cinetica del cdm è $T_G = 1/2 m (s^2 + l^2 + 2*s l (cos alpha sin theta - sin alpha cos theta) )$
quella di rotazione è $1/2 I_z dot(theta)^2 = 1/6 m l^2 dot(theta)^2$
quindi $T = 1/2 m (s^2 + l^2 + 2*s l sin(theta-alpha) ) + 1/6 m l^2 dot(theta)^2$
l'energia potenziale del peso è $mg(s sin alpha - l cos theta)$ quella della molla boh.. non capisco dov'è applicata sta forza elastica...
il moto avviene sul piano quindi i gdl sono due, l'angolo $theta$ che l'asta forma con la verticale e l'ascissa $s$ sulla guida $x'$
il cdm ha componeneti $G-O = (s cos alpha + l sin theta, s sin alpha - l cos theta)$ e l'energia cinetica del cdm è $T_G = 1/2 m (s^2 + l^2 + 2*s l (cos alpha sin theta - sin alpha cos theta) )$
quella di rotazione è $1/2 I_z dot(theta)^2 = 1/6 m l^2 dot(theta)^2$
quindi $T = 1/2 m (s^2 + l^2 + 2*s l sin(theta-alpha) ) + 1/6 m l^2 dot(theta)^2$
l'energia potenziale del peso è $mg(s sin alpha - l cos theta)$ quella della molla boh.. non capisco dov'è applicata sta forza elastica...
@ cyd:
In realtà il problema non specifica che il moto si svolge in un piano verticale, quindi c'è un altro grado di libertà.
@clever:
per quanto riguarda l'energia elastica, essa dipende dalla distanza dell'estremo A dall'origine delle coordinate, quindi è ovvio che l'energia potenziale associata ad essa è $ 1/2 kx^2 $, con $ x $ distanza di A dall'origine.
In realtà il problema non specifica che il moto si svolge in un piano verticale, quindi c'è un altro grado di libertà.
@clever:
per quanto riguarda l'energia elastica, essa dipende dalla distanza dell'estremo A dall'origine delle coordinate, quindi è ovvio che l'energia potenziale associata ad essa è $ 1/2 kx^2 $, con $ x $ distanza di A dall'origine.
beh data la tipologia del problema mi sembra abbastanza chiaro che si tratti di un piano verticale, infatti nei quesiti successivi compare l'accelerazione di gravità.
Però non c'è il vincolo di muoversi in un piano verticale, capito? Il moto non è piano. L'asta può ruotare in tutto lo spazio, e servono due angoli per individuarne la posizione.
si, chiaro ma di solito sti problemi si svolgono sul piano. comunque non da informazioni sull'inclinazione rispetto al piano e non essendoci forze con componenti ortogonali ad esso se l'asta inizialmente giace sul piano non vedo il motivo per cui dovrebbe muoversi anche ortogonalmente. comunque non ho capito questa forza elastica come sia definita.
Ascolta cyd, se nel problema non è specificato qualcosa, non si da per scontato che sia così, non ha senso dire "di solito è così". E poi, non viene data nessuna condizione iniziale, non si dice che l'asta e la congiungente del punto A con il punto in cui è attaccata la molla siano complanari. I problemi di meccanica si risolvono nel modo più generale possibile, senza considerare condizioni iniziali, che non sono fornite in questo problema.
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