Esercizio mecc. su Momento d'inerzia e centro di massa
Ho appena iniziato lo studio della meccanica razionale e non riesco a risolvere questo esercizio:
La mia risoluzione. Calcolo il momento d'inerzia rispetto al punto O del disco forato:
$I_O|dis co1= \int_{0}^{R} r^2*2\pi r dr = (mR^2)/2$
$I_(O')|foro= \int_{0}^{R/4} r^2*2\pi r dr = (mR^2)/32$
Il momento d'inerzia del disco1 rispetto alla retta r passante per O è $I_r|dis co1= (I_O|dis co1)/2= (mR^2)/4$
Il momento d'inerzia del foro rispetto alla retta r passante per O è $I_r|foro= (I_(O')|foro)/2= (mR^2)/64$
quindi $I_r|dis coforat o= (mR^2)/4 - (mR^2)/64 = (15mR^2)/64$
Il momento d'inerzia del dischetto rispetto alla retta r passante per O è $I_r|dis co2= (I_O|dis co2)/2= (m_2R^2)/4$
quindi $I_r|dis co= (m_2R^2)/4 + (15mR^2)/64 = ((15m+16m_2)R^2)/64$
e $I_O|dis co= 2*I_r|dis co = ((15m+16m_2)R^2)/32$
1)Credo di aver sbagliato.
2)Non so calcolare il centro di massa.
La mia risoluzione. Calcolo il momento d'inerzia rispetto al punto O del disco forato:
$I_O|dis co1= \int_{0}^{R} r^2*2\pi r dr = (mR^2)/2$
$I_(O')|foro= \int_{0}^{R/4} r^2*2\pi r dr = (mR^2)/32$
Il momento d'inerzia del disco1 rispetto alla retta r passante per O è $I_r|dis co1= (I_O|dis co1)/2= (mR^2)/4$
Il momento d'inerzia del foro rispetto alla retta r passante per O è $I_r|foro= (I_(O')|foro)/2= (mR^2)/64$
quindi $I_r|dis coforat o= (mR^2)/4 - (mR^2)/64 = (15mR^2)/64$
Il momento d'inerzia del dischetto rispetto alla retta r passante per O è $I_r|dis co2= (I_O|dis co2)/2= (m_2R^2)/4$
quindi $I_r|dis co= (m_2R^2)/4 + (15mR^2)/64 = ((15m+16m_2)R^2)/64$
e $I_O|dis co= 2*I_r|dis co = ((15m+16m_2)R^2)/32$
1)Credo di aver sbagliato.
2)Non so calcolare il centro di massa.
Risposte
2) Per il centro di massa vale la proprietà distributiva...
Ok, grazie. Quindi ricapitolando:
$I_(O|dis co1)= (m_1R^2)/2$ e $I_(O|foro)= (m_2R^2)/32 + (9m_2R^2)/16 = (19m_2R^2)/32$
con $m_1=\rho_1*\piR^2$ e $m_2=(\rho_1*\piR^2)/16$
$I_(O|dis coforat o)= (m_1R^2)/2 - (19m_2R^2)/32$
$I_(O|dis che t t o)= (m_3R^2)/32 + (9m_3R^2)/16 = (19m_3R^2)/32$ con $m_3=(\rho_2*\piR^2)/16$
$I_(O|dis co riem p it o)=(m_1R^2)/2 - 19/32m_2R^2 + 19/32m_3R^2$
Calcolo il centro di massa del disco forato:
$(\rho_1\piR^2 - (\rho_1\piR^2)/16)x_0 = \rho_1\piR^2*0 - (\rho_1\piR^2)/16*3/4R$ $\Rightarrow$ $x_0=-R/20$
Ora calcolo il centro di massa del disco riempito:
$((15\rho_1\piR^2)/16 + (9\rho_1\piR^2)/16)x_1 = (15\rho_1\piR^3)/320 + (27\rho_1\piR^3)/64$ $\Rightarrow$ $x_1=5R/16$
Il momento d'inerzia rispetto al centro di massa:
$I_x_1=I_(O|dis co riem p it o) - (m_1+m_3)(15/16)^2*R^2$
$I_(O|dis co1)= (m_1R^2)/2$ e $I_(O|foro)= (m_2R^2)/32 + (9m_2R^2)/16 = (19m_2R^2)/32$
con $m_1=\rho_1*\piR^2$ e $m_2=(\rho_1*\piR^2)/16$
$I_(O|dis coforat o)= (m_1R^2)/2 - (19m_2R^2)/32$
$I_(O|dis che t t o)= (m_3R^2)/32 + (9m_3R^2)/16 = (19m_3R^2)/32$ con $m_3=(\rho_2*\piR^2)/16$
$I_(O|dis co riem p it o)=(m_1R^2)/2 - 19/32m_2R^2 + 19/32m_3R^2$
Calcolo il centro di massa del disco forato:
$(\rho_1\piR^2 - (\rho_1\piR^2)/16)x_0 = \rho_1\piR^2*0 - (\rho_1\piR^2)/16*3/4R$ $\Rightarrow$ $x_0=-R/20$
Ora calcolo il centro di massa del disco riempito:
$((15\rho_1\piR^2)/16 + (9\rho_1\piR^2)/16)x_1 = (15\rho_1\piR^3)/320 + (27\rho_1\piR^3)/64$ $\Rightarrow$ $x_1=5R/16$
Il momento d'inerzia rispetto al centro di massa:
$I_x_1=I_(O|dis co riem p it o) - (m_1+m_3)(15/16)^2*R^2$
... applica le proprietà lineari degli integrali, considera due dischi pieni uno di densità $\rho$ e l'altro si densità $(9-1)\rho$ e non hai bisogno di fare molti calcoli.
Non ho controllato in dettaglio tutti i conti ma "la filosofia" mi sembra ok.
...per il resto se vuoi arrivare a un risultato sbagliato puoi certamente fare meno calcoli e meno sforzo..
...per il resto se vuoi arrivare a un risultato sbagliato puoi certamente fare meno calcoli e meno sforzo..
ok allora grazie mille
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