Esercizio massa su piano in rotazione
Salve a tutti, vorrei proporvi un esercizio che il prof. ha chiesto ad un orale di Fisica 1. L'esercizio è il seguente: si ha un asta di lunghezza $ l $ e massa trascurabile incernierata in un punto $ O $ senza attrito, libera di ruotare attorno ad un asse orizzontale. Immaginando l'asta in posizione orizzontale ossia formante un angolo $ vartheta = pi /2 rad $ con la verticale,all'istante $ t= 0 $ si posiziona in prossimità del punto $ O $ una massa $ m $ libera di scivolare lungo asta senza attrito mentre si fa ruotare l'asta con una velocità angolare $ omega $ attorno all'asse orizzontale. Si determini il tempo impiegato dalla massa $ m $ per percorrere la lunghezza $ l $ dell'asta. Mi rendo conto che forse non mi sono espresso nel migliore dei modi perciò vi allego un disegno da me realizzato, forse potrebbe chiarirvi un po' le idee sulla dinamica dell'esercizio. 
Allora, io ho ragionato in questo modo: ho considerato un sistema di rifermento solidale all'asta e ho detto che le forze che agiscono sul sistema materiale $ m $ sono: la forza peso, la forza centrifuga, la forza di Coriolis, e la reazione del piano. La risultante dei momenti delle forze agenti sul sistema è nulla lungo il piano nel quale ruota l'asta e quindi nel piano sul quale scivola la massa. A questo punto ho scritto, poiché si conserva il momento della quantità di moto del sistema lungo il piano dove si svolge la discesa: $ 0= Iomega - mv_r $ dove con $ I $ intendo il momento d'inerzia della massa e con $ v_r $ la velocità relativa della massa rispetto all'asta. Chiamo $ x $ la distanza tra $ O $ e il punto nel quale si trova la massa ad un generico istante, quindi: $ 0= mx^2omega - mv_r $; $ dx/dt= x^2omega $ ; $ t=1/omega int_0^ldx/(x^2) $. Come potete notare mi viene un tempo infinito. Gentilmente potreste aiutarmi con questo esercizio? Ve ne sarei grato. Grazie mille in anticipo.
Allora, io ho ragionato in questo modo: ho considerato un sistema di rifermento solidale all'asta e ho detto che le forze che agiscono sul sistema materiale $ m $ sono: la forza peso, la forza centrifuga, la forza di Coriolis, e la reazione del piano. La risultante dei momenti delle forze agenti sul sistema è nulla lungo il piano nel quale ruota l'asta e quindi nel piano sul quale scivola la massa. A questo punto ho scritto, poiché si conserva il momento della quantità di moto del sistema lungo il piano dove si svolge la discesa: $ 0= Iomega - mv_r $ dove con $ I $ intendo il momento d'inerzia della massa e con $ v_r $ la velocità relativa della massa rispetto all'asta. Chiamo $ x $ la distanza tra $ O $ e il punto nel quale si trova la massa ad un generico istante, quindi: $ 0= mx^2omega - mv_r $; $ dx/dt= x^2omega $ ; $ t=1/omega int_0^ldx/(x^2) $. Come potete notare mi viene un tempo infinito. Gentilmente potreste aiutarmi con questo esercizio? Ve ne sarei grato. Grazie mille in anticipo.
Risposte
Se $\omega$ fosse costante e sufficientemente piccola, farei semplicemente:
$ddot s = g sin \omega t$,
dove $s$ è l'ascissa curvilinea dell'asta.
$ddot s = g sin \omega t$,
dove $s$ è l'ascissa curvilinea dell'asta.
$ omega $ è costante, ma non capisco perché trascura la forza centrifuga. ..
Mi metto nel sistema laboratorio. Vedo la massa che scivola a causa della proiezione del suo peso sull'asta. Non vedo altre forze ... 
Su un sistema di riferimento inerziale -laboratorio- vedo la forza centripeta... o sbaglio?
Io non la vedo ... chi avra' ragione ?
Mi potrebbe spiegare il motivo? La massa viene messa un rotazione e da quel che so subisce un'accelerazione tsngenziale e una radiale. La prima è bilanciata dalla reazione del piano, la seconda, invece è la centripeta.
Diamoci del tu ! Secondo me, la massa non viene messa in rotazione, ma semplicemente scivola su un piano in movimento ...
In effetti ora che ci penso non riesco a trovare il centro di istantanea rotazione ... però mi pare ancora tropo strano che la risoluzione sia così semplice..mah
... però mi pare ancora tropo strano che la risoluzione sia così semplice..mah
Sarebbe bello fare un esperimento ...
... ma la realtà è passibile di più chiavi di lettura ... cosa succede se $\omega$ non è piccola? Addirittura la massa potrebbe staccarsi dall'asta ... Occorre allora mettersi sul sistema in rotazione ...
(seguono calcoli)
per Faussone
ve do adesso il tuo post. L'esercizio è ambiguo. Non si capisce se la massa è vincolata a scorrere lungo l'asta o semplicemente scivola ...
(seguono calcoli)
per Faussone
ve do adesso il tuo post. L'esercizio è ambiguo. Non si capisce se la massa è vincolata a scorrere lungo l'asta o semplicemente scivola ...
non lo vedo più ...
[Avevo messo un coseno per un seno riecco il messaggio].
Non mi sembra serva un esperimento per essere certi della soluzione di questo problema, a meno che si voglia dubitare che la meccanica newtoniana sia sufficiente per questo problema
La posizione della massa sull'asta in funzione del tempo è infatti (errori a parte):
$s(t)=g/(4 omega^2) (e^{omega t} - e^{-omega t})-g/(2omega^2)sin (omega t)$
(intendondo $s=0$ posizione della massa all'inizio, quindi al centro dell'asta rotante).
L'equazione differenziale da risolvere si scrive facilmente mettendosi in un sistema solidale con l'asta rotante in cui si vede la forza peso rotante con velocità angolare $omega$ e la forza centrifuga (la forza di Coriolis non dà contributo per lo spostamento lungo l'asta, visto che è perpendicolare all'asta ed è bilanciata dalla reazione dell'asta che vincola la massa a stare sull'asta stessa):
$m ddot s = m omega^2 s + mg sin (omega t)$
La soluzione è data dalla soluzione dell'omognea all'equazione, cioè $c_1 e^{omega t}+c_2 e^ {-omega t}$, più la soluzione particolare dell'equazione, cioè $-g/(2omega^2) sin (omega t)$.
Le costanti si trovano imponenedo che $s(0)=0$ e che $dot s(0)=0$
Non mi sembra serva un esperimento per essere certi della soluzione di questo problema, a meno che si voglia dubitare che la meccanica newtoniana sia sufficiente per questo problema
La posizione della massa sull'asta in funzione del tempo è infatti (errori a parte):
$s(t)=g/(4 omega^2) (e^{omega t} - e^{-omega t})-g/(2omega^2)sin (omega t)$
(intendondo $s=0$ posizione della massa all'inizio, quindi al centro dell'asta rotante).
L'equazione differenziale da risolvere si scrive facilmente mettendosi in un sistema solidale con l'asta rotante in cui si vede la forza peso rotante con velocità angolare $omega$ e la forza centrifuga (la forza di Coriolis non dà contributo per lo spostamento lungo l'asta, visto che è perpendicolare all'asta ed è bilanciata dalla reazione dell'asta che vincola la massa a stare sull'asta stessa):
$m ddot s = m omega^2 s + mg sin (omega t)$
La soluzione è data dalla soluzione dell'omognea all'equazione, cioè $c_1 e^{omega t}+c_2 e^ {-omega t}$, più la soluzione particolare dell'equazione, cioè $-g/(2omega^2) sin (omega t)$.
Le costanti si trovano imponenedo che $s(0)=0$ e che $dot s(0)=0$
D'accordo, Faussone, la tua soluzione è compatibile con la mia per $\omega$ piccola (c'è addirittura il quadrato). Resta, secondo me, l'ambiguità di fondo. La massa è da considerarsi solo appoggiata o solidale con l'asta ? Nel primo caso, le cose sono molto più complicate ...
@anonymous_af8479
Certo se consideri la $omega$ piccolissima ottieni in sostanza un moto armonico, ma l'esercizio diventerebbe privo di interesse.
Da come è descritto il problema a me sembrava ovvio considerare la massa vincolata a stare sull'asta potendo scorrere rispetto ad essa. Non ho capito come altrimenti puoi interpretere l'esercizio.
Certo se consideri la $omega$ piccolissima ottieni in sostanza un moto armonico, ma l'esercizio diventerebbe privo di interesse.
Da come è descritto il problema a me sembrava ovvio considerare la massa vincolata a stare sull'asta potendo scorrere rispetto ad essa. Non ho capito come altrimenti puoi interpretere l'esercizio.
Se la massa fosse solo appoggiata le cose starebbero diversamente. Se omega fosse sufficientemente grande, la massa si distaccherebbe dall'asta. Certo che la condizione di scorrere solidalmente semplifica il problema e allora accettiamola ! Pero', cosa aveva in testa il professore ? Cosa ha detto durante l'esame ? Sarei molto curioso ...
Non capisco proprio cosa vuoi dire da come la vedo io se la massa non fosse vincolata a scorrere rispetto all'asta allora cadrebbe verticalmente, qualunque sia $omega$, viso che non c'è attrito.
Comunque credo stai troppo complicando o troppo semplificando (con l'ipotesi di $omega$ piccola) un problema tutto sommato abbastanza standard.
EDIT: Ho capito: quando dici che la massa può essere solo poggiata intendi che l'asta possa esercitare sulla massa solo una reazione normale in un senso, quindi che la massa può distaccarsi dall'asta.
Ok, ma secondo me resta valida l'ultima mia frase prima dell'edit....
Comunque credo stai troppo complicando o troppo semplificando (con l'ipotesi di $omega$ piccola) un problema tutto sommato abbastanza standard.
EDIT: Ho capito: quando dici che la massa può essere solo poggiata intendi che l'asta possa esercitare sulla massa solo una reazione normale in un senso, quindi che la massa può distaccarsi dall'asta.
Ok, ma secondo me resta valida l'ultima mia frase prima dell'edit....
Comunque considerando la massa solo poggiata sull'asta, cioè supponenedo che la reazione normale dell'asta possa agire solo in un verso, si può dire che la soluzione scritta prima resta valida finché
$2omega dot s <= g cos (omega t)$
ovvero finchè la reazione vincolare dell'asta sulla massa non cambia verso. Ovviamente quando $omega t> pi /2$ necessariamente la massa non può essere più aderente all'asta.
$2omega dot s <= g cos (omega t)$
ovvero finchè la reazione vincolare dell'asta sulla massa non cambia verso. Ovviamente quando $omega t> pi /2$ necessariamente la massa non può essere più aderente all'asta.
Ottimo!
Mai sottovalutare gli esercizi del Galbiati. Grazie Faussone, bell'analisi la tua 
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