Esercizio macchina di Atwood
Ciao a tutti, ho iniziato gli esercizi sul corpo rigido e già mi trovo nei guai 
Si consideri la macchina di Atwood rappresentata in figura, in cui ai capi della carrucola sono posti un corpo di massa $m$ di dimensioni trascurabili e un cilindro di massa $m$ e raggio $R$.
La corda, inestensibile e di massa anch'essa trascurabile, è arrotolata intorno al cilindro. Il sistema, inizialmente fermo, viene lasciato libero di muoversi. Si assuma che la corda non scivoli rispetto al cilindro.
Calcolare le accelerazioni del corpo e del cilindro.
La massa della carrucola è trascurabile, dunque le tensioni sono le stesse per entrambi i corpi. Il filo è inestensibile, dunque $a_1 = a_2$; a questo punto posso considerare il sistema:
$TR = 1/2mR^2alpha rarr T = (ma)/2$
$T - mg = ma$
Da qui ho in modulo $a = 2g$. La soluzione dovrebbe essere $g/2$. Dove sbaglio?
Si consideri la macchina di Atwood rappresentata in figura, in cui ai capi della carrucola sono posti un corpo di massa $m$ di dimensioni trascurabili e un cilindro di massa $m$ e raggio $R$.
La corda, inestensibile e di massa anch'essa trascurabile, è arrotolata intorno al cilindro. Il sistema, inizialmente fermo, viene lasciato libero di muoversi. Si assuma che la corda non scivoli rispetto al cilindro.
Calcolare le accelerazioni del corpo e del cilindro.
La massa della carrucola è trascurabile, dunque le tensioni sono le stesse per entrambi i corpi. Il filo è inestensibile, dunque $a_1 = a_2$; a questo punto posso considerare il sistema:
$TR = 1/2mR^2alpha rarr T = (ma)/2$
$T - mg = ma$
Da qui ho in modulo $a = 2g$. La soluzione dovrebbe essere $g/2$. Dove sbaglio?
Risposte
Manca la figura. Per come me la immagino, mi verrebbe a = 2/3 g...
In rosso la massa, in verde scuro il cilindro. Perdona le scarsi doti artistiche
E' una semplice macchina di atwood con un cilindro e un punto materiale... non capisco cosa sbaglio nella mia soluzione!
Per quanto riguarda il disco, in ogni istante la velocità del suo centro di massa e la velocità del suo punto di contatto con la corda sono uguali in modulo e hanno verso opposto. Insomma, il centro istantaneo di rotazione è il punto medio del segmento che ha come estremi proprio il centro di massa e il punto di contatto.
Ciao Sergeant, grazie per la risposta. Hai perfettamente ragione, un'accelerazione di 2g non ha alcun senso e me ne sono reso conto, fatto sta che a me viene così con le equazioni che ho scritto e non capisco perché.
Ti chiedo di aver pazienza per la mia lentezza ma non capisco come "usare" questo fatto nel problema. Dovrei scegliere come polo il punto medio?
Grazie mille in anticipo...
"anonymous_0b37e9":
Per quanto riguarda il disco, in ogni istante la velocità del suo centro di massa e la velocità del suo punto di contatto con la corda sono uguali in modulo e hanno verso opposto. Insomma, il centro istantaneo di rotazione è il punto medio del segmento che ha come estremi proprio il centro di massa e il punto di contatto.
Ti chiedo di aver pazienza per la mia lentezza ma non capisco come "usare" questo fatto nel problema. Dovrei scegliere come polo il punto medio?
Grazie mille in anticipo...
Per quanto riguarda il disco, orientando un asse verticale verso il basso e considerando $[T>0] ^^ [\alpha>0]$:
$[Ma=Mg-T] ^^ [1/2MR^2\alpha=TR]$
sono senz'altro corrette. Tuttavia, è necessario aggiungere la corretta relazione di carattere cinematico:
$[-a=a-\alphaR]$
ricavabile, prestando attenzione ai segni, derivando la formula fondamentale della cinematica dei corpi rigidi:
$[vec(v_C)=vec(v_G)+vec\omega ^^ (C-G)]$
Ti faccio notare che il disco non rotola senza strisciare e che l'energia cinetica di rotazione è dovuta al lavoro positivo fatto dalla tensione.
$[Ma=Mg-T] ^^ [1/2MR^2\alpha=TR]$
sono senz'altro corrette. Tuttavia, è necessario aggiungere la corretta relazione di carattere cinematico:
$[-a=a-\alphaR]$
ricavabile, prestando attenzione ai segni, derivando la formula fondamentale della cinematica dei corpi rigidi:
$[vec(v_C)=vec(v_G)+vec\omega ^^ (C-G)]$
Ti faccio notare che il disco non rotola senza strisciare e che l'energia cinetica di rotazione è dovuta al lavoro positivo fatto dalla tensione.
"anonymous_0b37e9":
Per quanto riguarda il disco, in ogni istante la velocità del suo centro di massa e la velocità del suo punto di contatto con la corda sono uguali in modulo e hanno verso opposto. Insomma, il centro istantaneo di rotazione è il punto medio del segmento che ha come estremi proprio il centro di massa e il punto di contatto.
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Mi trovo un po' arrugginito sui rotolamenti, e non metto il dubbio l'affermazione, ma questo fatto come si ricava, visto che non mi sembra così ovvio?
"anonymous_0b37e9":
$[\vecv_C=\vecv_G+\vecω∧(C−G)]$
C e G a cosa si riferiscono esattamente?
"Obtusus":
C e G a cosa si riferiscono esattamente?
$C$ è il punto di contatto del disco con la corda, $G$ il suo centro di massa.
"anonymous_0b37e9":
Ti faccio notare che il disco non rotola senza strisciare ...
Veramente, il disco rotola senza strisciare per ipotesi. Molto spesso, come in questo caso, il testo dell'esercizio lo dà per scontato. Non so perché ho scritto il contrario, addirittura sottolineandolo (roba da pazzi), anche perché me ne ero servito in precedenza per sostenere:
"anonymous_0b37e9":
Per quanto riguarda il disco, in ogni istante la velocità del suo centro di massa e la velocità del suo punto di contatto con la corda sono uguali in modulo e hanno verso opposto. Insomma, il centro istantaneo di rotazione è il punto medio del segmento che ha come estremi proprio il centro di massa e il punto di contatto.
Infatti, premesso che entrambi i corpi hanno, in ogni istante, la stessa accelerazione verso il basso, il centro di massa del disco ha, in ogni istante, la stessa velocità del corpo puntiforme e, detto un po' alla buona, il tratto di corda con cui è a contatto deve avere la stessa velocità verso l'alto "per fornire la corda dall'altra parte" (la corda è inestensibile). A questo punto, proprio ipotizzando che il disco rotoli senza strisciare, si ha la tesi.
P.S.
Ho inavvertitamente modificato il mio primo messaggio. L'ho ripristinato includendo solo la parte importante.
Un'ultima cosa: non capisco perché le accelerazioni del punto di contatto e del centro di massa sono discordi fra loro!
Mentre il centro di massa del disco accelera verso il basso, il punto del disco a contatto con la fune, che deve avere, in ogni istante, la stessa velocità crescente della fune (per rotolare senza strisciare la velocità relativa deve essere nulla), accelera verso l'alto.
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