Esercizio irraggiamento
Ciao ragazzi,potreste risolvermi questo esercizio passo passo?
Di solito metto sempre il mio tentativo di risoluzione ma questa volta non saprei dove iniziare in quanto non ho mai fatto esercizi del genere, anche se dovrebbe essere semplice.
Il risultato è $P5 $ , arrotondamento di$P(4,89)$
Grazie mille!
Di solito metto sempre il mio tentativo di risoluzione ma questa volta non saprei dove iniziare in quanto non ho mai fatto esercizi del genere, anche se dovrebbe essere semplice.
Una stella ha raggio R pari al triplo del raggio solare e temperatura superficiale $T=12000K$: circa il doppio di quella solare. Intorno alla stella orbitano vari pianeti, che si chiamano Piuno Pidue Pitre.. Pikappa, tutti di raggio $a=6×10^3m$, i quali si muovono su orbite circolari di raggi $rk=k^2D/2$ dove D è il raggio dell’orbita terrestre (altrimenti noto come Unità Astronomica). Dovendovi trasferire in uno di questi pianeti, su quale andreste ad abitare?
Il risultato è $P5 $ , arrotondamento di$P(4,89)$
Grazie mille!
Risposte
Ciao, in pratica lo scopo del probelma è trovare un valore di k per cui la temperatura su un certo pianeta sia come quella sulla Terra.
Per far ciò dobbiamo uguagliare la frazione di potenza che il pianeta assorbe dalla stella con la potenza $P_e$ emessa dal pianeta stesso (cosa che avviene all'equilibrio termodinamico del sistema).
la potenza $P_a$ che il pianeta assorbe sarà data da:
$P_a= P_s S_p/(2S_t)$
Dove con $P_s$ si intende la potenza emessa dalla stella,$S_p$ la superficie del pianeta e compare il fattore 2 al denominatore perchè solo metà faccia del pianeta riceve l'illuminazione della stella. Con $S_t$ intendo la superficie della sfera di raggio $ d_k$ dato che l'energia si distribuirà su una superficie sferica man mano che mi allontano dalla stella.
$P_a=P_e$
quindi, supponendo che stella e pianeta abbiano la stessa emittanza $epsilon$ si trova che
$epsilon sigma 4 pi R^2 T_s^4 4 pi a^2/(2 (4 pi r_k^2)) = sigma epsilon 4 pi a^2 T_p^4$
seplificando
$ 2 R^2 T_s^4 /(k^4 D^2) = T_p^4$
$T_p = (T_s/k)sqrt(Rsqrt2/(D))$
$R= (2.07)10^9 m$
$D=(1.495) 10^11 m$
sostituendo si ha che
$T_p= 1456/k$
perchè sia abitabile vogliamo che $ 0°C273K
$4.8
Per far ciò dobbiamo uguagliare la frazione di potenza che il pianeta assorbe dalla stella con la potenza $P_e$ emessa dal pianeta stesso (cosa che avviene all'equilibrio termodinamico del sistema).
la potenza $P_a$ che il pianeta assorbe sarà data da:
$P_a= P_s S_p/(2S_t)$
Dove con $P_s$ si intende la potenza emessa dalla stella,$S_p$ la superficie del pianeta e compare il fattore 2 al denominatore perchè solo metà faccia del pianeta riceve l'illuminazione della stella. Con $S_t$ intendo la superficie della sfera di raggio $ d_k$ dato che l'energia si distribuirà su una superficie sferica man mano che mi allontano dalla stella.
$P_a=P_e$
quindi, supponendo che stella e pianeta abbiano la stessa emittanza $epsilon$ si trova che
$epsilon sigma 4 pi R^2 T_s^4 4 pi a^2/(2 (4 pi r_k^2)) = sigma epsilon 4 pi a^2 T_p^4$
seplificando
$ 2 R^2 T_s^4 /(k^4 D^2) = T_p^4$
$T_p = (T_s/k)sqrt(Rsqrt2/(D))$
$R= (2.07)10^9 m$
$D=(1.495) 10^11 m$
sostituendo si ha che
$T_p= 1456/k$
perchè sia abitabile vogliamo che $ 0°C
$4.8
Ciao,grazie per la risposta.
Sinceramente non l'ho compresa ,in quanto stesso il prof ha usato un procedimento più veloce,che tuttavia non ricordo bene.
Quello che ricordo è che ha detto una roba del tipo che la superficie è 144 volte più grande e poi ha scritto questo:
$r_k=k^2D/2$
$r_k^2=144D^2$
$(k^4)/4=144 rarr k=(4*144)^(1/4)=4.89$
Sinceramente non l'ho compresa ,in quanto stesso il prof ha usato un procedimento più veloce,che tuttavia non ricordo bene.
Quello che ricordo è che ha detto una roba del tipo che la superficie è 144 volte più grande e poi ha scritto questo:
$r_k=k^2D/2$
$r_k^2=144D^2$
$(k^4)/4=144 rarr k=(4*144)^(1/4)=4.89$
Il tuo professore ha fatto questo ragionamento, più breve ma valido solo in questo caso:
La Terra si trova ad una distanza D dal sole ed è abitabile.
Ogni pianeta ha raggio $a$ che è guarda caso circa uguale a quello terrestre numericamente.
Perciò per essere abitabile, dato che $P_a=P_e$ , e dato che la potenza emessa è proprio quella terrestre, deve essere necessariamente che la potenza assorbita dal pianeta uguaglia quella assorbita dalla Terra.
quindi prima scrivo la potenza assorbita dalla terra:
$P_T = epsilon sigma S_S (T_S)^4 (S_T/(2(4piD^2)))$ Dove $T_S$ $S_S$ $S_T$ e $P_T$ sono rispettivamente la temperatura del Sole,la superficie del Sole, la superficie della Terra e la potenza assorbita dalla Terra.
Questa potenza assobita deve essere uguale a quella assorbita dal pianeta che sarà:
$P= epsilon sigma 9 S_S (2T_S)^4 S_T/(2(4pir_k^2))$
il 9 è il $3^2$ della superficie del sole dato che il raggio di quella stella è triplo rispetto a quello del Sole.
quindi uguagliandole si ha che
$(9)(2)^4 /(r_k)^2 = 1/D^2$
$ (16)(9)(4)/k^4=1 $
$k^4 =(4)(144) = 576 $
$k=4.89$
La Terra si trova ad una distanza D dal sole ed è abitabile.
Ogni pianeta ha raggio $a$ che è guarda caso circa uguale a quello terrestre numericamente.
Perciò per essere abitabile, dato che $P_a=P_e$ , e dato che la potenza emessa è proprio quella terrestre, deve essere necessariamente che la potenza assorbita dal pianeta uguaglia quella assorbita dalla Terra.
quindi prima scrivo la potenza assorbita dalla terra:
$P_T = epsilon sigma S_S (T_S)^4 (S_T/(2(4piD^2)))$ Dove $T_S$ $S_S$ $S_T$ e $P_T$ sono rispettivamente la temperatura del Sole,la superficie del Sole, la superficie della Terra e la potenza assorbita dalla Terra.
Questa potenza assobita deve essere uguale a quella assorbita dal pianeta che sarà:
$P= epsilon sigma 9 S_S (2T_S)^4 S_T/(2(4pir_k^2))$
il 9 è il $3^2$ della superficie del sole dato che il raggio di quella stella è triplo rispetto a quello del Sole.
quindi uguagliandole si ha che
$(9)(2)^4 /(r_k)^2 = 1/D^2$
$ (16)(9)(4)/k^4=1 $
$k^4 =(4)(144) = 576 $
$k=4.89$
Ti ringrazio molto!
Potresti spiegare meglio questa frase:
Il concetto di potenza assorbita non mi è chiaro.
Sul mio libro è scritta solo la definizione di energia irradiata da un corpo(sarebbe la legge di Boltzmann) , ma non c'è scritto nulla su quella assorbita
Potresti spiegare meglio questa frase:
Perciò per essere abitabile, dato che
$P_a=P_e$, e dato che la potenza emessa è proprio quella terrestre, deve essere necessariamente che la potenza assorbita dal pianeta uguaglia quella assorbita dalla Terra.
Il concetto di potenza assorbita non mi è chiaro.
Sul mio libro è scritta solo la definizione di energia irradiata da un corpo(sarebbe la legge di Boltzmann) , ma non c'è scritto nulla su quella assorbita
La Terra ha una perdita di energia per unita' di tempo (potenza emessa) e un guadagno di energia per unità di tempo (potenza assoribita). Se la Terra ha temperatura costante vuol dire che questi due contributi sono uguali, altrimenti se avessi ad esempio un guadagno netto di energia allora la temperatura aumenterebbe, analogamente se avessi una perdita netta di energia allora la temperatura terrestre diminuirebbe. Poiche' la potenza emessa dalla Terra e' uguale alla potenza emessa dal nostro pianeta sconosciuto (dato che i parametri che rientrano nella legge di Boltzmann sono uguali) allora questo vuol dire che la potenza assorbita dal pianeta sconosciuto deve essere uguale a quella assorbita dalla Terra.
Ti dimostro l'ultima frase con le equazioni:
il pianeta (indicato con il pedice P) e' in equilibrio termodinamico quindi posso scrivere che la potenza che assorbe e' uguale a quella che emette
$P_(AP)=P_(EP)$
stessa cosa per la Terra
$P_(AT)=P_(ET)$
ma dalle dai dati risulta che la potenza emessa dalla Terra e' uguale a quella emessa dal pianeta
$P_(EP)=P_(ET)$
quindi ho le uguaglianze
$P_(AP)=P_(EP)=P_(ET)=P_(AT)$
in particolare sono uguali gli estremi
$P_(AP)=P_(AT)$
cioe' la potenza assorbita dal pianeta e' uguale a quella assorbita dalla Terra.
Ti dimostro l'ultima frase con le equazioni:
il pianeta (indicato con il pedice P) e' in equilibrio termodinamico quindi posso scrivere che la potenza che assorbe e' uguale a quella che emette
$P_(AP)=P_(EP)$
stessa cosa per la Terra
$P_(AT)=P_(ET)$
ma dalle dai dati risulta che la potenza emessa dalla Terra e' uguale a quella emessa dal pianeta
$P_(EP)=P_(ET)$
quindi ho le uguaglianze
$P_(AP)=P_(EP)=P_(ET)=P_(AT)$
in particolare sono uguali gli estremi
$P_(AP)=P_(AT)$
cioe' la potenza assorbita dal pianeta e' uguale a quella assorbita dalla Terra.
Perdonami, in quanto tu sei tremendamente chiaro ma io altrettanto stupido.
Prima di tutto volevo domandarti se il fatto che il raggio del pianeta era uguale a quello delle terra presupponeva che dovessi ricordare da me il valore del raggio terrestre oppure se si capisce in qualche modo dal testo.
Poi:
Ma nella legge di Boltzmann non compare anche la temperatura superficiale? Come faccio a sapere che sono uguali, visto che nel testo mi è data solo quella della stella e quella del sole?
Prima di tutto volevo domandarti se il fatto che il raggio del pianeta era uguale a quello delle terra presupponeva che dovessi ricordare da me il valore del raggio terrestre oppure se si capisce in qualche modo dal testo.
Poi:
Poiche' la potenza emessa dalla Terra e' uguale alla potenza emessa dal nostro pianeta sconosciuto (dato che i parametri che rientrano nella legge di Boltzmann sono uguali) allora questo vuol dire che la potenza assorbita dal pianeta sconosciuto deve essere uguale a quella assorbita dalla Terra.
Ma nella legge di Boltzmann non compare anche la temperatura superficiale? Come faccio a sapere che sono uguali, visto che nel testo mi è data solo quella della stella e quella del sole?
Se vuoi seugire il procedimento del tuo professore si, devi notare che il valore di $a$ e' praticamente uguale al raggio terrestre.
Inoltre imponi che la temperatura del pianeta sia uguale a quella terrestre dato che vuoi trovare $k$ tale che il pianeta sia abitabile (e quindi abbia la stessa temperatura superficiale terrestre).
Con questi due fattori puoi dire che la potenza emessa dalla Terra e' uguale a quella emessa dal pianeta (nell'equazione di Boltzmann ci vanno gli stessi valori e quindi sono uguali).
Inoltre imponi che la temperatura del pianeta sia uguale a quella terrestre dato che vuoi trovare $k$ tale che il pianeta sia abitabile (e quindi abbia la stessa temperatura superficiale terrestre).
Con questi due fattori puoi dire che la potenza emessa dalla Terra e' uguale a quella emessa dal pianeta (nell'equazione di Boltzmann ci vanno gli stessi valori e quindi sono uguali).
Ok, vediamo se ho capito.
La potenza assorbita dalla terra è $P_T= (epsilon sigma pi (R/3)^2(T/2)^4)/ (4 pi D^2)= (epsilon sigma R^2 T^4)/(D^2 576)$
La potenza assorbita dal pianeta k è : $P_k=(epsilon sigma pi R^2 T^4)/(4 pi r_k^2)= (epsilon sigma R^2 T^4)/(k^4D^2)$
Pongo uguali queste due potenze e mi viene:
$576=k^4 rarr k=(576)^(1/4)= 4.89$
Giusto?
La potenza assorbita dalla terra è $P_T= (epsilon sigma pi (R/3)^2(T/2)^4)/ (4 pi D^2)= (epsilon sigma R^2 T^4)/(D^2 576)$
La potenza assorbita dal pianeta k è : $P_k=(epsilon sigma pi R^2 T^4)/(4 pi r_k^2)= (epsilon sigma R^2 T^4)/(k^4D^2)$
Pongo uguali queste due potenze e mi viene:
$576=k^4 rarr k=(576)^(1/4)= 4.89$
Giusto?
Ok, ricordati i $4$ anche al numeratore dato che si parla di superfici sferiche ($4 pi r^2$) e ricordati che in entrambe le potenze hai un fattore $S_t/2$ a moltiplicare (dato che solo metà superficie terrestre è rivolta verso la stella). Per il resto, dato che quando uguagli le due espressioni sia i $4$ sia le $S_t/2$ si semplificano, va tutto bene. 
Perfetto, ti ringrazio molto!!
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