[Esercizio] Hamiltoniana e Lagrangiana di grado di libertà 1

[kaspar1]

Ciao Ho questo esercizio:

Il moto di un punto sull'asse \(Ox\) è descritto dall'hamiltoniana \[H(p, x) = \frac{p^2}{2m} + \frac k2 x^2 + A \frac p x \quad \text{dove } A \in \mathbb R\] Si scrivano le equazioni di Hamilton nelle nuove variabili: \[\begin{cases}
P = \frac 1 2 \left(\frac{p^2}{\lambda} + \lambda x^2\right) \\
X = \arctan \left(\lambda \frac x p \right)
\end{cases}\] Calcolata poi l'espressione della Lagrangiana \(L = L(x, \dot x)\), si ricavino le corrisponenti equazioni di Lagrange e si verifichi che le equazioni ottenute coincidono con le equazioni di Lagrange per un punto materiale che si muove sull'asse \(x\) sotto una forza \[\mathbf F = \left( -m \frac{A^2}{x^3} -kx \right) \mathbf i \quad \text{dove \(\mathbf i\) è il versore dell'asse \(x\)}\]

La trasformazione che mi porta da \((p, x)\) alle nuove coordinate \((P, X)\) è canonica, in particolare lo è completamente visto che non dipende (esplicitamente) dal tempo. Visto che il grado di libertà è \(1\), mi basta mostrare che la Jacobiana della trasformazione ha determinante \(1\) --- oppure si può fare con le parentesi di Poisson, che è lo stesso. [Ometto i calcoli, la trasformazione è canonica.] Quindi la nuova Hamiltoniana è \[\widehat H(P, X) = H(p, x)\] dove \(p\) e \(x\) sono ottenute "invertendo" la trasformazione data. In particolare \[\begin{align*}
x & = \frac p \lambda \tan X \\
p^2 & = 2 \lambda \frac{P}{1 + \tan^2 X}
\end{align*}\] e adesso basta fare queste sostituzioni nella Hamiltoniana originale. [Ometto i calcoli, non è il pezzo interessante.] Tocca alla Lagrangiana e alla discussione che segue. Usando una delle equazioni di Hamilton corrispondenti ad \(H\) ho \[\dot x = \frac {\partial H}{\partial p} = \frac p m + \frac A x \Leftrightarrow p = m \left( \dot x - \frac A x \right)\] Prendo \(H(p, x) = p \dot x- L(x, \dot x)\) dove \(p\) è in funzione di \(x\) e \(\dot x\), quindi rimpiazzo \(p\) con quello che ho trovato, e giungo alla Lagrangiana corrispondente:\[L = \frac 1 2 m \dot x^2 + \frac 1 2 m \frac{A^2}{x^2} - \frac k 2 x^2\] Il primo termine è l'energia cinetica, mentre quello che resta è "meno l'energia potenziale": se lo derivo rispetto ad \(x\), ho la forza \(\mathbf F\).

Può andare?

[kaspar1]

"kaspar":[...] e giungo alla Lagrangiana corrispondente:\[L = \frac 1 2 m \dot x^2 + \frac 1 2 m \frac{A^2}{x^2} - \frac k 2 x^2\]

Ricontrollando ora un po' i conti, mi sono accorto di aver perso qualche pezzo: \[L (x, \dot x) = \frac 12 m \dot x^2 + \frac 12 m \frac{A^2}{x^2} - mA \frac{\dot x}{x} - \frac k2 x^2\] da cui si ha l' (unica) equazione di Eulero-Lagrange \[0 = \frac{\mathrm d}{\mathrm d t}\frac{\partial L}{\partial \dot x} -\frac{\partial L}{\partial x} = \dots{} = m \ddot x + m \frac{A^2}{x^3} + kx .\] Forse biasato da questa svista, ho tratto una conlusione affrettata:

"kaspar":[...] Il primo termine è l'energia cinetica, mentre quello che resta è "meno l'energia potenziale": se lo derivo rispetto ad \( x \), ho la forza \( \mathbf F \).

A questo punto l'esercizio si termina per semplice calcolo diretto. L'energia potenziale di \(\mathbf F\) - l'unica forza agente - è \(-\frac 12 m \frac{A^2}{x^2} + \frac k2 x^2\). Si nota quindi ora che le equazioni di Eulero-Lagrange coincidono.

[anonymous_0b37e9]

"kaspar":
Visto che il grado di libertà è $1$, mi basta mostrare che la matrice jacobiana della trasformazione ha determinante $1$ ...

Sei sicuro che si tratti di una condizione sufficiente? A me risulta che la matrice jacobiana debba essere simplettica.

[kaspar1]

Sì, mi sembra che sia equivalente. Ma essendo il grado di libertà del sistema 1, è lo stesso. Comunque con le parentesi di Poisson viene lo stessa cosa.

[anonymous_0b37e9]

"kaspar":
Ma essendo il grado di libertà del sistema 1, è lo stesso.

Non l'ho trovato da nessuna parte. Ad ogni modo, se non ho fatto male i conti, quella matrice non è simplettica.

[kaspar1]

Uffa, ho sbagliato a ricopiare il testo dell'esercizio. Pardon.

[anonymous_0b37e9]

Immaginavo. Rimane il fatto che non ero a conoscenza di quella condizione sufficiente. Se la tua fonte è attendibile, mi fido.

[kaspar1]

Non ho il testo sotto mano. Controllerò.

[anonymous_0b37e9]

A me sembra strano. Sarebbe come affermare che una matrice 2x2 ha determinante 1 se e solo se è simplettica.

[kaspar1]

Vediamo. Io uso il teorema 5.2 di Meccanica Analitica, di Fasano e Marmi. In particolare la canonicità equivale a verificare che "conserva le parentesi di Poisson fondamentali". Nel nostro caso che \(\{P, P\} = \{X, X\} = 0\) e che \(\{X, P\} = 1\). Ora essendo il grado di libertà 1, la prime due identità sono vere, mentre l'ultima parentesi di Poisson è proprio il determinante della trasformazione Jacobiana.

[anonymous_0b37e9]

"kaspar":
... mentre l'ultima parentesi di Poisson è proprio il determinante della trasformazione Jacobiana ...

Non mi pare proprio. Se vuoi, ti posto i conti per dimostrare che è simplettica.

[kaspar1]

Allora posta i conti, a questo punto devo aver sbagliato alla grande.

[kaspar1]

"anonymous_0b37e9":A me sembra strano. Sarebbe come affermare che una matrice 2x2 ha determinante 1 se e solo se è simplettica.

È così.

[anonymous_0b37e9]

Come non detto. A questo punto, non credo sia necessario postare gli altri conti. Per quanto riguarda il resto, non ho letto con la dovuta attenzione. Tuttavia, mi sembrava che ti tornasse tutto.