Esercizio getto d'acqua
L'esercizio è il seguente:
Affinchè il sistema sia in equilibrio ho pensato di porre a zero le componenti $x$ e $y$ delle forze agenti, ricavate dall'equazione di bilancio della quantità di moto.
Nella direzione $y$ ho scritto:
$-\rhou^2Db - 2\rhou_{3}^2d3bcos\theta=-Mg-\rhogV-k\delta$
da cui potrei ricavare $k$.
Tuttavia per farlo mi occorre sapere quanto vale $u_{3}$. Allora ho pensato di utilizzare l'equazione di conservazione della massa:
$-\rhouDb+2\rhou3d_{3}b=0$
C'è qualcosa di sbagliato nel mio ragionamento? Perchè i conti non tornano...
Affinchè il sistema sia in equilibrio ho pensato di porre a zero le componenti $x$ e $y$ delle forze agenti, ricavate dall'equazione di bilancio della quantità di moto.
Nella direzione $y$ ho scritto:
$-\rhou^2Db - 2\rhou_{3}^2d3bcos\theta=-Mg-\rhogV-k\delta$
da cui potrei ricavare $k$.
Tuttavia per farlo mi occorre sapere quanto vale $u_{3}$. Allora ho pensato di utilizzare l'equazione di conservazione della massa:
$-\rhouDb+2\rhou3d_{3}b=0$
C'è qualcosa di sbagliato nel mio ragionamento? Perchè i conti non tornano...
Risposte
A me sembra giusto quello che hai scritto.
L'equazione globale dell'idrodinamica (non scrivo $vecI$ perché il moto è permanente) è data da :
$vecG + vec\Pi + vecM_1 - \vecM_2 = 0 $
Assumo un versore $hatk$ orientato verso l'alto. Quindi la spinta che l'acqua esercita sulle pareti, essendo uguale contraria a $vec\Pi$ , ed essendo nulle le spinte nelle sezioni di ingresso e di uscita dell'acqua, è data da :
$vecS = - vec\Pi = (Mg + k\delta) hatk $
e deve essere anche uguale a : $ -vec\Pi = vecG + vecM_1 - \vecM_2 $
uguagliando, esplicitando i vari termini e proiettando sull'asse $hatk$ orientato verso l'alto , si ha :
$Mg + k\delta = -\rhogV + \rhoU^2Db + 2\rhoU_3^2d_3bcos\theta$
che è identica alla tua .
La velocità $u_3 $ si ricava dalla costanza della portata : $u_3 = 2d_3/D $ .
Perciò, per me hai fatto bene.
L'equazione globale dell'idrodinamica (non scrivo $vecI$ perché il moto è permanente) è data da :
$vecG + vec\Pi + vecM_1 - \vecM_2 = 0 $
Assumo un versore $hatk$ orientato verso l'alto. Quindi la spinta che l'acqua esercita sulle pareti, essendo uguale contraria a $vec\Pi$ , ed essendo nulle le spinte nelle sezioni di ingresso e di uscita dell'acqua, è data da :
$vecS = - vec\Pi = (Mg + k\delta) hatk $
e deve essere anche uguale a : $ -vec\Pi = vecG + vecM_1 - \vecM_2 $
uguagliando, esplicitando i vari termini e proiettando sull'asse $hatk$ orientato verso l'alto , si ha :
$Mg + k\delta = -\rhogV + \rhoU^2Db + 2\rhoU_3^2d_3bcos\theta$
che è identica alla tua .
La velocità $u_3 $ si ricava dalla costanza della portata : $u_3 = 2d_3/D $ .
Perciò, per me hai fatto bene.
Grazie navigatore!
Ragazzi, io sono arruginito e non ho testi di riferimento. Ho un dubbio.
Ma come mai non entra in gioco la distanza tra l'ugello e la piastra?
Ma come mai non entra in gioco la distanza tra l'ugello e la piastra?
Perché è noto il volume di controllo. Se così non fosse, bisognerebbe conoscere la distanza tra l'ugello e la piastra in modo tale da poter applicare il Teorema di Bernoulli.
"professorkappa":
Ragazzi, io sono arruginito e non ho testi di riferimento. Ho un dubbio.
Ma come mai non entra in gioco la distanza tra l'ugello e la piastra?
Abbiamo un "volume di controllo" definito dal problema, i cui contorni sono la sezione di ingresso , le due sezioni di uscita, il profilo curvo dell'acqua (quello "sotto" le due vene fluide), e ovviamente il profilo interno della piastra. Definito il volume di controllo, le quantità dinamiche che entrano in gioco sono :
$vecM_1$ = quantita di moto della portata di massa entrante, che si può anche chiamare flusso della q.d.m , e ha le dimensioni di una forza.
$vecM_2 $ = quantità di moto della portata di massa uscente , che entra nella equazione globale col segno "meno" perché è "uscente" , quindi $-vecM_2$ e la reazione dell'acqua che esce sul volume di controllo.
Poi , quando il moto è permanente il termine delle forze di inerzia $vecI$ è nullo.
$vecG$ è il peso dell'acqua nel volume di controllo.
Infine $vec\Pi$ è la spinta che il contorno della sezione esercita sul volume di controllo. Perciò la azione dell'acqua "sul contorno" è uguale e contraria a $vec\Pi$ . Non essendoci spinta da parte delle tre sezioni (ingresso e uscite) e da parte del profilo curvo dell'acqua , perché su queste superfici la pressione è atmosferica, qui l'unica spinta è quella esercitata dalla piastra.
LA posizione dell'ugello, più in alto o più in basso, non ha importanza nel valutare $vecM_1$ : infatti, essendo costante la portata perché è costante la sezione, anche la velocità è la stessa nella vena fluida, e in definitiva anche se metti l'ugello più in basso la quantità di moto della portata di massa entrante è sempre la stessa.
Piuttosto, mi chiedevo perché a Nunzio i risultati non tornano. Rileggendo il testo, mi è venuto un dubbio sulla frase : "nella configurazione di equilibrio la molla è compressa di $\delta$ " . Qual è al configurazione di equilibrio a cui l'autore si riferisce?
Certamente, se alla molla si appende la piastra di peso $Mg$ , la molla si allunga di una quantità $l_0 = (Mg)/k$ , ma non sappiamo $k$ .
È questa la posizione di equilibrio di partenza ? Oppure si riferisce a "molla scarica" ?
Perchè dico questo ? Perchè penso : in base al valore della spinta esercitata dall'acqua, la piastra potrebbe sollevarsi di un $\delta < l_0$ , e quindi la molla "essere ancora in tensione" , perciò la forza agente sulla piastra potrebbe essere diretta verso l'alto. Oppure La piastra potrebbe sollevarsi esattamente di $ \delta = l_0$ e quindi la molla essere scarica. Infine, potrebbe sollevarsi di $\delta>l_0$ , e quindi la forza sarebbe diretta verso il basso.
Non lo so . Però il testo dice anche che la molla è "compressa"…..
Ecco quindi un altro esempio di testo non molto chiaro. Sempre secondo il mio parere.
"navigatore":
LA posizione dell'ugello, più in alto o più in basso, non ha importanza nel valutare $vecM_1$ : infatti, essendo costante la portata perché è costante la sezione, anche la velocità è la stessa nella vena fluida, e in definitiva anche se metti l'ugello più in basso la quantità di moto della portata di massa entrante è sempre la stessa.
E' qui che non mi torna. Se esce dall'ugello con velocita $U$, non dovrebbe impattare la lastra con velocita $U_i^2=U^2-2gh$.
Non riesco a spiegarmi come l'altezza della lastra non influisca sull'impatto.
Ma come vedi, tra i dati del problema non c'è l'altezza $h$. In genere si suppone tanto piccola da non influenzare il problema.
Certo, se la differenza di quota non è piccola se ne deve tener conto, giusta osservazione. Rettifico la mia affermazione.
Se ho una piastra orizzontale di un certo peso , e voglio tenerla "ferma" sostenendola con un getto d'acqua da sotto in su, e tra l'uscita dell'acqua dall'ugello e la sezione 1 che assumo per il volume di controllo c'è una certa altezza $h$ , devo tener conto del fatto che la velocità di ingresso nella sezione del volume di controllo è minore della velocità d efflusso dall'ugello .
Certo, se la differenza di quota non è piccola se ne deve tener conto, giusta osservazione. Rettifico la mia affermazione.
Se ho una piastra orizzontale di un certo peso , e voglio tenerla "ferma" sostenendola con un getto d'acqua da sotto in su, e tra l'uscita dell'acqua dall'ugello e la sezione 1 che assumo per il volume di controllo c'è una certa altezza $h$ , devo tener conto del fatto che la velocità di ingresso nella sezione del volume di controllo è minore della velocità d efflusso dall'ugello .
E allora non potrebbe essere che la distanza e' proprio $\delta$ (cioe' a getto spento la piastra e' in contatto con l'ugello e sale per effetto dell'acqua a una distanza $\delta$) e forse allora tornano i conti? Che da qualche parte manchi un $-2g\delta$?
Non capisco perche' chi pone il quesito non posti la soluzione quando ce l'ha. Si permettete agli altri di verificare i conti prima di postarli ed essere certi che non e' scappato un segno o una radice da ualche parte.
Non capisco perche' chi pone il quesito non posti la soluzione quando ce l'ha. Si permettete agli altri di verificare i conti prima di postarli ed essere certi che non e' scappato un segno o una radice da ualche parte.
E allora non potrebbe essere che la distanza e' proprio δ (cioe' a getto spento la piastra e' in contatto con l'ugello e sale per effetto dell'acqua a una distanza δ) e forse allora tornano i conti? Che da qualche parte manchi un −2gδ?
Non penso, o per lo meno non è chiaro. Comunque, i termini dell'equazione globale sono forze (anche i flussi nel tempo delle quantità di moto $vecM_1$ e $vecM_2$ ) . Invece $2g\delta$ è una energia per unità di massa, ovvero il quadrato di una velocità, come in $v^2 = 2gh$ .
Da come la vedo io il problema non necessita alcuna precisazione ulteriore, la distanza della molla dall'uscita del condotto è ininfluente, con i dati a disposizione.
Sì, è così.
@nunzio
Non avevo notato che avevi detto che i conti non ti tornano, ho visto il tuo svolgimento e non mi pare ci siano errori. navigatore ha espresso un dubbio sull'interpretazione della compressione della molla. Magari è quello. Se ci dici i risultati numerici che dovrebbero venir fuori possiamo provare a controllare anche noi.
Non avevo notato che avevi detto che i conti non ti tornano, ho visto il tuo svolgimento e non mi pare ci siano errori. navigatore ha espresso un dubbio sull'interpretazione della compressione della molla. Magari è quello. Se ci dici i risultati numerici che dovrebbero venir fuori possiamo provare a controllare anche noi.
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