Esercizio Fisica Sietemi di punti.
Buongiorno a tutti, vorrei farvi una domanda su un esercizio.
Allora, ho una guida semicircolare ( nella figura del libro è esattamente la metà di un cerchio) di raggio $r=30cm$ e massa $M=250g$ , questa guida può scorrere senza attrito su una rotaia orizzontale. Un corpo di massa $m=50g$ viene lasciato scivolare all'interno della guida senza velocità iniziale dall'estremo superiore sinistro $A$. Tra il corpo e la guida non vi è attrito.
L'esercizio mi chiede di quanto si sposta la guida quando il corpo $m$ raggiunge il punto $B$ , ovvero il centro della guida, il punto più basso del semicerchio.
Il libro suggerisce di considerare $m$ e la guida $M$ come un sistema unico. Su di esso non agiscono forze esterne parallele al piano di appoggio. Si utilizza quindi la seconda legge di Newton per cui $sum F=d vec p/dt$
poiché $sum F=0$ risulta $Px=cost.$ evendo assunto $x$ come retta parallela al piano di appoggio.
Essendo poi inizialmente sia la guida che il corpo fermi avremo $Px=0$
Sapendo che $ vec P= sum m vec v= M$tot$ vec Vcm$
Dalla condizione $Px=0$ discende $(V_(cm))_x=0$ e quindi $X_(cm)=$ costante
Sappiamo quindi che, in qualsiasi direzione si muova la massa il centro di massa non si sposta.
Ora mi perdo: A questo punto prendiamo $X_g$ la coordinata $x$ del centro di massa della guida nella posizione iniziale e con $d$ lo spostamento della guida, da : $X_(cm)=$ costante abbiamo che
$Mx_g+mr=M(x_g+d)+md$. Ecco, non capisco questo passaggio. Qual'è il ragionamento che ha fatto il libro?
Grazie in anticipo
.
Allora, ho una guida semicircolare ( nella figura del libro è esattamente la metà di un cerchio) di raggio $r=30cm$ e massa $M=250g$ , questa guida può scorrere senza attrito su una rotaia orizzontale. Un corpo di massa $m=50g$ viene lasciato scivolare all'interno della guida senza velocità iniziale dall'estremo superiore sinistro $A$. Tra il corpo e la guida non vi è attrito.
L'esercizio mi chiede di quanto si sposta la guida quando il corpo $m$ raggiunge il punto $B$ , ovvero il centro della guida, il punto più basso del semicerchio.
Il libro suggerisce di considerare $m$ e la guida $M$ come un sistema unico. Su di esso non agiscono forze esterne parallele al piano di appoggio. Si utilizza quindi la seconda legge di Newton per cui $sum F=d vec p/dt$
poiché $sum F=0$ risulta $Px=cost.$ evendo assunto $x$ come retta parallela al piano di appoggio.
Essendo poi inizialmente sia la guida che il corpo fermi avremo $Px=0$
Sapendo che $ vec P= sum m vec v= M$tot$ vec Vcm$
Dalla condizione $Px=0$ discende $(V_(cm))_x=0$ e quindi $X_(cm)=$ costante
Sappiamo quindi che, in qualsiasi direzione si muova la massa il centro di massa non si sposta.
Ora mi perdo: A questo punto prendiamo $X_g$ la coordinata $x$ del centro di massa della guida nella posizione iniziale e con $d$ lo spostamento della guida, da : $X_(cm)=$ costante abbiamo che
$Mx_g+mr=M(x_g+d)+md$. Ecco, non capisco questo passaggio. Qual'è il ragionamento che ha fatto il libro?
Grazie in anticipo
.
Risposte
Ciao, benvenuto nel forum .
L'esercizio si semplifica molto , se assumiamo che l'origine degli assi sia nel punto B , quindi l'asse y passa per il CM della guida , che ho indicato con C nel disegno allegato :
e perciò si può assumere $x_C = 0$ .
Qui è tutto liscio per ipotesi , quindi la guida si sposta solo in orizzontale. Nel primo disegno , la massa m è in A ; perciò il baricentro del sistema G si trova sulla congiungente AC . Volendo, si possono calcolare sia le coordinate di C che quelle di G . Ma non ci interessano . Quando la massa m è scivolata in B , la guida di massa M si è spostata a sinistra, e in tale spostamento si porta dietro, evidentemente, anche la massa m .
LA massa m si sposta orizzontalmente di $r$ verso destra, rispetto alla guida. Conseguentemente , siccome G deve conservare la posizione orizzontale rispetto al piano, come hai giustamente detto, la guida deve spostarsi orizzontalmente verso sinistra, portandosi dietro anche m : di quanto si sposta? Cioè , di quanto si sposta C ?
Nella configurazione finale, si ha che C, G, B devono essere allineati sulla stessa verticale passante per G (seconda figura) . E allora, lo spostamento di C non è altro che la distanza , in modulo , che aveva G dall'asse y inizialmente. Detto $d$ questo spostamento , siccome G deve rimanere nella stessa posizione in senso orizzontale, e poiché è tutto il sistema (M+m) a spostarsi , deve essere :
$(M+m)d = mr \rightarrow d = m/(M+m) r $
Se prendi la soluzione data dal libro , e metti $x_C =0 $ ( sarebbe quella che hai chiamato $x_g$ ) , ottieni proprio quanto sopra .
Nota che lo spostamento verticale di G è uguale.
Se assumi $x_g \ne0$, e svolgi la soluzione del libro , ti rendi conto che la quantità $Mx_g$ si semplifica , va via . Cioè non è essenziale assumere $x_g \ne0$ inizialmente , è solo una complicazione inutile .
O forse un trabocchetto del testo...
L'esercizio si semplifica molto , se assumiamo che l'origine degli assi sia nel punto B , quindi l'asse y passa per il CM della guida , che ho indicato con C nel disegno allegato :
e perciò si può assumere $x_C = 0$ .
Qui è tutto liscio per ipotesi , quindi la guida si sposta solo in orizzontale. Nel primo disegno , la massa m è in A ; perciò il baricentro del sistema G si trova sulla congiungente AC . Volendo, si possono calcolare sia le coordinate di C che quelle di G . Ma non ci interessano . Quando la massa m è scivolata in B , la guida di massa M si è spostata a sinistra, e in tale spostamento si porta dietro, evidentemente, anche la massa m .
LA massa m si sposta orizzontalmente di $r$ verso destra, rispetto alla guida. Conseguentemente , siccome G deve conservare la posizione orizzontale rispetto al piano, come hai giustamente detto, la guida deve spostarsi orizzontalmente verso sinistra, portandosi dietro anche m : di quanto si sposta? Cioè , di quanto si sposta C ?
Nella configurazione finale, si ha che C, G, B devono essere allineati sulla stessa verticale passante per G (seconda figura) . E allora, lo spostamento di C non è altro che la distanza , in modulo , che aveva G dall'asse y inizialmente. Detto $d$ questo spostamento , siccome G deve rimanere nella stessa posizione in senso orizzontale, e poiché è tutto il sistema (M+m) a spostarsi , deve essere :
$(M+m)d = mr \rightarrow d = m/(M+m) r $
Se prendi la soluzione data dal libro , e metti $x_C =0 $ ( sarebbe quella che hai chiamato $x_g$ ) , ottieni proprio quanto sopra .
Nota che lo spostamento verticale di G è uguale.
Se assumi $x_g \ne0$, e svolgi la soluzione del libro , ti rendi conto che la quantità $Mx_g$ si semplifica , va via . Cioè non è essenziale assumere $x_g \ne0$ inizialmente , è solo una complicazione inutile .
O forse un trabocchetto del testo...
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