Esercizio Fisica II: Elettromagnetismo - Legge di Ampere

[jackbo89]

Buongiorno a tutti, mi dispiace porvi questo problema in questo periodo "vacanziero" per alcuni (studenti sopratutto).
Si tratta di un problema di Fisica II, in particolar modo il mio dubbio è su i punti di domanda d) ed e) in cui si utilizza
la legge di Ampere.
Non riesco a capire come utilizzare tale legge anche perchè non riesco ad immaginarmi qual'è il verso della corrente
e del campo magnetico...insomma non riesco a crearmi uno schema mentale sui meccanismi magnetici che agiscono
in tale problema.

Un disco sottile di raggio R, recante sulla superficie una carica Q uniformemente distribuita, è
mantenuta in rotazione attorno al suo asse di simmetria con velocità angolare ω. Calcolare le
espressioni delle seguenti quantità:

a) la densità superficiale di carica σ;
b) la carica infinitesima dQ contenuta in una generica corona circolare infinitesima di raggio r;
c) la corrente infinitesima di che si genera, a causa della rotazione, su tale corona circolare;
d) il campo magnetico creato nel centro del disco dalla corrente elementare di;
e) il campo magnetico risultante nel centro del disco.

a)σ = dq/dS = Q/πR^2
b)dS = 2πrdr
dq = σdS = σ2πrdr
c)dt = 2π/ω
di = dq/dt = σ2πrdr / 2π/ω = σ2πrdrω/2π = ωσrdr
d)Ho pensato di usare la legge di Ampere perchè è un caso di simmetria:

$ int bar B ** d bar l > $ = ui

B2πrdr = ui
B = ui/2πrdr

Ma non so se il procedimento è giusto...

Grazie alle persone che mi risponderanno.

[VINX89]

Attenzione: è vero che il sistema è simmetrico, ma la configurazione non è adatta ad applicare la legge di Ampere.
Solitamente questa legge è utile quando si ha una corrente concatenata ad una qualche curva: in questo caso non hai correnti concatenate, ma semmai il contrario (un flusso magnetico concatenato ad una corrente).
Qui conviene applicare la "prima legge elementare di Laplace", che in generale quantifica il contributo infinitesimo al campo da parte di un elemento infinitesimo di filo percorso da corrente:

$dvec(B) = (mu_0 i)/(4 pi) (dvec(l) x hat(r))/r^2$

Nel nostro caso, punto per punto il versore radiale e l'elemento di corrente sono ortogonali; inoltre, la corrente è infinitesima.
Riscriviamo quindi:

$dvec(B) = (mu_0 di)/(4 pi) (dl)/r^2 hat(z)$ (il campo è diretto lungo la direzione che ho chiamato "z", cioè la direzione ortogonale al piano del disco).

Ora si può integrare su $l$ da $0$ a $2 pi r$ per avere il contributo di una corona circolare: $dvec(B) = (mu_0 di)/(2 r) hat(z)$

Si può adesso sostituire l'espressione della corrente infinitesima $di$ da te trovata e determinare il campo risultante integrando su $r$ fra $0$ e $R$.