Esercizio fisica I con raggio vettore
Un punto materiale si muove nel piano coordinato xy descritto da un raggio vettore $r = (2t)i + 3(1-e^-t)j$. Determinare il vettore $OP X mv_P$ dove P è la posizione del punto materiale nel momento in cui il modulo della sua velocità vale $3 m/s$, e vP il vettore velocità corrispondente nello stesso punto. Si assuma $m=0.1$Kg.
Chi mi può aiutare a svolgerlo? Grazie
Chi mi può aiutare a svolgerlo? Grazie
Risposte
E' un prodotto vettoriale quella $X$?
Si
E non era più facile dire "calcolare il momento angolare..."? 
Vabè...Possiamo provare così, ma forse c'è un modo più semplice. Derivando $\mathbf{r}(t)=(2t, 3-3e^{-t})$ si ottiene
\[\dfrac{d\mathbf{r}}{dt}=\mathbf{v}(t)=(2, 3e^{-t})\]
Il modulo è
\[v=||\mathbf{v}||=\sqrt{2^2+3e^{-2t}}\]
Ponendo uguale a $3$ questa roba, otteniamo (lascio a te i calcoli) $t_P=\ln sqrt (3/5)$ (l'istante in cui il modulo della velocità vale $3$). Sostituendo in $\mathbf{r}$ e $\mathbf{v}$ si ha
\[\mathbf{r}_P=OP=(\ln \dfrac{3}{5}, 3-3\sqrt{\dfrac{5}{3}}) \qquad \qquad\mathbf{v}_P= (2, \sqrt{15})\]
Ora devi fare solo il prodotto vettoriale tra $\mathbf{r}_p$ e $\mathbf{v}_P$, che sarà un vettore parallelo all'asse $z$, con verso dato dalla solita regola e modulo $r_P\cdot m\cdot v_P \cdot \sin\theta$, dove $\theta$ è l'angolo tra $\mathbf{r}_P$ e $\mathbf{v}_P$.
Personalmente, lo trovo inutile come esercizio di Fisica Sempre ammesso che si possa procedere solo come ho fatto io, ma chissà...
Ciao
Giuseppe
PS. Bruttina quella $X$, meglio "\times" ($\times$)
Vabè...Possiamo provare così, ma forse c'è un modo più semplice. Derivando $\mathbf{r}(t)=(2t, 3-3e^{-t})$ si ottiene
\[\dfrac{d\mathbf{r}}{dt}=\mathbf{v}(t)=(2, 3e^{-t})\]
Il modulo è
\[v=||\mathbf{v}||=\sqrt{2^2+3e^{-2t}}\]
Ponendo uguale a $3$ questa roba, otteniamo (lascio a te i calcoli) $t_P=\ln sqrt (3/5)$ (l'istante in cui il modulo della velocità vale $3$). Sostituendo in $\mathbf{r}$ e $\mathbf{v}$ si ha
\[\mathbf{r}_P=OP=(\ln \dfrac{3}{5}, 3-3\sqrt{\dfrac{5}{3}}) \qquad \qquad\mathbf{v}_P= (2, \sqrt{15})\]
Ora devi fare solo il prodotto vettoriale tra $\mathbf{r}_p$ e $\mathbf{v}_P$, che sarà un vettore parallelo all'asse $z$, con verso dato dalla solita regola e modulo $r_P\cdot m\cdot v_P \cdot \sin\theta$, dove $\theta$ è l'angolo tra $\mathbf{r}_P$ e $\mathbf{v}_P$.
Personalmente, lo trovo inutile come esercizio di Fisica
Sempre ammesso che si possa procedere solo come ho fatto io, ma chissà...Ciao
Giuseppe
PS. Bruttina quella $X$, meglio "\times" ($\times$)
Già, in effetti sono più calcoli che altro, solo che non avendo le soluzioni avevo alcuni dubbi e volevo liberarmene 
Grazie mille! Ciao
Grazie mille! Ciao
"Plepp":
....
Derivando $\mathbf{r}(t)=(2t, 3-3e^{-t})$ si ottiene
\[\dfrac{d\mathbf{r}}{dt}=\mathbf{v}(t)=(2, 3e^{-t})\]
Il modulo è
\[v=||\mathbf{v}||=\sqrt{2^2+3e^{-2t}}\]
....
Non è che invece sia così?
\[v=||\mathbf{v}||=\sqrt{2^2+({3e^{-t}})^2}=\sqrt{4+9e^{-2t}}\]
"chiaraotta":
Non è che invece sia così?
\[v=||\mathbf{v}||=\sqrt{2^2+({3e^{-t}})^2}=\sqrt{4+9e^{-2t}}\]
Ahi ahi...grazie
EDIT: @Sam, devi rifare i calcoli, mi dispiace
il procedimento rimane quello.
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