Esercizio fisica gravitazione
Si calcoli, trascurando la resistenza dell'aria, la velocità con cui è necessario lanciare un corpo di massa m
dalla terra, lungo la verticale verso la luna, se si vuole che il corpo si arresti proprio nel punto in cui il campo
gravitazionale terrestre e quello lunare sono uguali in modulo ma opposti in verso. Si discuta se tale punto
risulta di equilibrio stabile, instabile o indifferente per il corpo.
(Dati numerici: massa della terra $MT= 5,98*10^24 Kg$, massa della luna $ML= 7,36*10^22 Kg$, distanza tra i
centri di terra e luna $D=3,84*10^8 m$, raggio della terra $RT= 6,36*10^6 m$, raggio della luna $ RL= 1,74*10^6 m$,
costante di gravitazione universale $G= 6,67*10^-11 N*m^2/(Kg^2)$, massa del corpo $m=100 Kg$)
mi date delle dritte su come risolverlo?
dalla terra, lungo la verticale verso la luna, se si vuole che il corpo si arresti proprio nel punto in cui il campo
gravitazionale terrestre e quello lunare sono uguali in modulo ma opposti in verso. Si discuta se tale punto
risulta di equilibrio stabile, instabile o indifferente per il corpo.
(Dati numerici: massa della terra $MT= 5,98*10^24 Kg$, massa della luna $ML= 7,36*10^22 Kg$, distanza tra i
centri di terra e luna $D=3,84*10^8 m$, raggio della terra $RT= 6,36*10^6 m$, raggio della luna $ RL= 1,74*10^6 m$,
costante di gravitazione universale $G= 6,67*10^-11 N*m^2/(Kg^2)$, massa del corpo $m=100 Kg$)
mi date delle dritte su come risolverlo?
Risposte
io ho ragionato così:
trovo i due campi gravitazionali generati dalle due masse terreste e lunare e le eguaglio in modo da trovare la distanza dove essi hanno modulo uguale e verso oppposto...dopo tramite legge di moto uniformemente decelerato calcolo la velocità da dare al corpo per arrivare in questo punto con velocità nulla
$(G*mt)/r^2=(G*mL)/(D-r)^2$
e trovo che $r=429*10^6$
poi tramite la legge:
$y(t)=(-1/2)g*t^2+v0*t$
e la impongo uguale alla distanza sopra trovata
poi derivando trovo la velocità rispetto al tempo e vedo dove si annulla
$v(t)=-g*t+v0$
e trovo $t=(v0)/g$
sostutuisco quanto appena trovato alla legge di sopra e trovo che la velocità è:
$v0=91744 m/s$
ho commesso qualche errore?se si quale?come andava risolto?
trovo i due campi gravitazionali generati dalle due masse terreste e lunare e le eguaglio in modo da trovare la distanza dove essi hanno modulo uguale e verso oppposto...dopo tramite legge di moto uniformemente decelerato calcolo la velocità da dare al corpo per arrivare in questo punto con velocità nulla
$(G*mt)/r^2=(G*mL)/(D-r)^2$
e trovo che $r=429*10^6$
poi tramite la legge:
$y(t)=(-1/2)g*t^2+v0*t$
e la impongo uguale alla distanza sopra trovata
poi derivando trovo la velocità rispetto al tempo e vedo dove si annulla
$v(t)=-g*t+v0$
e trovo $t=(v0)/g$
sostutuisco quanto appena trovato alla legge di sopra e trovo che la velocità è:
$v0=91744 m/s$
ho commesso qualche errore?se si quale?come andava risolto?
occhio... sei proprio sicuro che il moto che compie l'oggetto mentre sale è di tipo rettilineo uniformemente accelerato? Risolvere in maniera esatta con la cinematica questo problema è molto difficile... prova col potenziale gravitazionale e la conservazione dell'energia meccanica...
no non sono sicuro che sia un moto uniformemente accelerato,infatti sospettavo fortemente che questo mio ragionamento fosse sbagliato in principio...
quindi dovrei fare qualcosa del genere?:
$Em i=Em f$
perchè ho a che fare con campi di forze conservative,gli attriti non vengono presi in considerazione
quindi dovrei fare:
$(1/2)mv0^2 -(G*mt*m)/(Rt)^2=1/2m(vf)^2-(G*mt*m)/r^2$
essendo $vf=0$ la cinetica finale sarà 0
quindi:
$(1/2)mv0^2 -(G*mt*m)/(Rt)^2=-(G*mt*m)/r^2$
poi tramite riorganizzazione trovo la v0
è giusto questo mio ragionamento?
Ps. Rt è il raggio terrestre perchè inizialmente il corpo di massa m si trova alla distanza dal centro pari a Rt...
quindi dovrei fare qualcosa del genere?:
$Em i=Em f$
perchè ho a che fare con campi di forze conservative,gli attriti non vengono presi in considerazione
quindi dovrei fare:
$(1/2)mv0^2 -(G*mt*m)/(Rt)^2=1/2m(vf)^2-(G*mt*m)/r^2$
essendo $vf=0$ la cinetica finale sarà 0
quindi:
$(1/2)mv0^2 -(G*mt*m)/(Rt)^2=-(G*mt*m)/r^2$
poi tramite riorganizzazione trovo la v0
è giusto questo mio ragionamento?
Ps. Rt è il raggio terrestre perchè inizialmente il corpo di massa m si trova alla distanza dal centro pari a Rt...
eh ancora no... non c'è solo la terra a dare un contributo di potenziale, ma anche la luna..
sarà così:
$(1/2)m*(v0)^2+((-G*mt*m)/(Rt)^2+(G*mL*m)/(D-Rt)^2)=(1/2)m*(vf)^2+((-G*mt*m)/(r^2)+(G*mL*m)/(D-r)^2)$
r è la distanza dove i due campi hanno modulo uguale e verso opposto
ho usato nell'energia potenziale uno col segno meno e uno col segno più perchè sono opposti in verso(è giusto?)
l'energia cinetica finale=0 perchè vf=0
ora in questo modo è giusta?se no dammi degli aiuti tu
$(1/2)m*(v0)^2+((-G*mt*m)/(Rt)^2+(G*mL*m)/(D-Rt)^2)=(1/2)m*(vf)^2+((-G*mt*m)/(r^2)+(G*mL*m)/(D-r)^2)$
r è la distanza dove i due campi hanno modulo uguale e verso opposto
ho usato nell'energia potenziale uno col segno meno e uno col segno più perchè sono opposti in verso(è giusto?)
l'energia cinetica finale=0 perchè vf=0
ora in questo modo è giusta?se no dammi degli aiuti tu
Guardando ad occhio il tuo $R_(eq)$, mi sembra sbagliato perchè, se misurato in metri, è maggiore della distanza $D$. A me viene che una delle 2 soluzioni di $m_t/x^2 = m_l /(D-x)^2$ è $x = (sqrt(m_t) / (sqrt(m_t) + sqrt(m_l)))D$, quindi sempre compresa fra $0$ e $D$. Prova a rifare i conti e non scordarti delle unità di misura.
Poi ora fra $0$ e $D$, il campo gravitazionale lungo l'asse $x$ in funzione di $x$ (con laTerra nell'origine e la Luna in $D$) è $g(x) = -(G*m_t)/x^2 + (G*m_l)/(D-x)^2$. Siccome la funzione potenziale di un campo, per un problema unidimensionale come questo, è semplicemente l'integrale del campo cambiato di segno, si ottiene a meno di costanti arbitrarie che $phi(x) = -(G*m_t)/x + (G*m_l)/(D-x)$. Si ottiene la funzione energia potenziale col prodotto $M*phi$. Quindi puoi impostare il bilancio di energia come $1/2 M (v_0)^2 + M*phi(R_t) = 1/2 M (v_f)^2 + M*phi(R_(eq))$. Come dici tu, consideri $v_f = 0$ perchè vuoi che ci arrivi fermo, ed esplicitando ottieni quindi: $v_0 = sqrt(2 (phi(R_(eq)) - phi(R_t))$.
Noterai che questa formula è molto simile a quella classica di campo costante $g$ nei pressi della terra, dove la velocità per lanciare un corpo da una quota $h_1$ ad una quota $h_2$ è pari a $sqrt(2 (gh_2 - gh_1))$, e infatti se provi a fare i conti per questo caso, ti viene proprio che per campo costante $g$, $phi(x) = gx$.
Ora è facile con l'intuito capire che $R_(eq)$ è un punto di equilibrio instabile, poichè se ti sposti un po' da esso, prevarrà l'azione attrattiva di Terra o Luna. Però lo si vede bene anche studiando il grafico di $phi(x)$ in cui si vede che per $x=R_(eq)$, c'è un punto stazionario (quindi di equilibrio) di massimo (e quindi instabile).
Poi ora fra $0$ e $D$, il campo gravitazionale lungo l'asse $x$ in funzione di $x$ (con laTerra nell'origine e la Luna in $D$) è $g(x) = -(G*m_t)/x^2 + (G*m_l)/(D-x)^2$. Siccome la funzione potenziale di un campo, per un problema unidimensionale come questo, è semplicemente l'integrale del campo cambiato di segno, si ottiene a meno di costanti arbitrarie che $phi(x) = -(G*m_t)/x + (G*m_l)/(D-x)$. Si ottiene la funzione energia potenziale col prodotto $M*phi$. Quindi puoi impostare il bilancio di energia come $1/2 M (v_0)^2 + M*phi(R_t) = 1/2 M (v_f)^2 + M*phi(R_(eq))$. Come dici tu, consideri $v_f = 0$ perchè vuoi che ci arrivi fermo, ed esplicitando ottieni quindi: $v_0 = sqrt(2 (phi(R_(eq)) - phi(R_t))$.
Noterai che questa formula è molto simile a quella classica di campo costante $g$ nei pressi della terra, dove la velocità per lanciare un corpo da una quota $h_1$ ad una quota $h_2$ è pari a $sqrt(2 (gh_2 - gh_1))$, e infatti se provi a fare i conti per questo caso, ti viene proprio che per campo costante $g$, $phi(x) = gx$.
Ora è facile con l'intuito capire che $R_(eq)$ è un punto di equilibrio instabile, poichè se ti sposti un po' da esso, prevarrà l'azione attrattiva di Terra o Luna. Però lo si vede bene anche studiando il grafico di $phi(x)$ in cui si vede che per $x=R_(eq)$, c'è un punto stazionario (quindi di equilibrio) di massimo (e quindi instabile).
vorrai dire che il punto è INSTABILE perchè spostandosi di poco prevarrà il campo di uno rispetto all'altro esercitando una forza attrattiva al pianeta con campo gravitazionale prevalente e quindi lo richiamerà a sè...
sisi certo, scusa. Poi ho corretto un paio di errori di scrittura delle formule. dimmi se è tutto chiaro..
si mi sembra abbastanza chiaro...anche se guardare tante formule di botto può creare qualche scompiglio...ora riguardo e cerco di chiarirmi le idee
guarda che in realtà non è molto diverso da quello che hai fatto tu... solo tu hai usato come energia potenziale direttamente l'espressione della forza invece che quello del potenziale gravitazionale. Io ho cercato di dirti proprio il modo completo con cui risolvere il problema.
ok capito!grazie mille! 
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