Esercizio Fisica diagramma delle forze.
Ciao a tutti, non riesco a risolvere parte di questo problema e vi chiedo gentilmente aiuto.
Traccia: Un blocco di massa M, appoggiato su un piano orizzontale scabro, è unito mediante un filo inestensibile e di massa trascurabile a una sfera di massa $ m=Msqrt(2) $ . Il filo viene fatto passare su una carrucola posta a una certa altezza sopra il piano, in modo che il tratto di filo collegato al blocco sia inclinato di 45 gradi ( $ theta=45^o $ ).
Mostra che il blocco si muove qualunque sia il valore del coefficiente di attrito statico tra il blocco e il piano.
Le accelerazioni iniziali dei due oggetti non sono uguali: indicando quella della sfera con a, risulta che quella del blocco è $ a_M=cos(pi/4)a $ . Calcola il valore di a.
Allora, ho operato come segue: Per dimostrare quanto richiesto nella prima parte ho calcolato la forza totale del blocco: per il secondo principio della dinamica, se la velocità è nulla allora anche la forza totale è nulla.
Si ha quindi: $ \vec{F}_{tM}=\vec{F}_{p1}+\vec{F}_V+\vec{T}_1+\vec{F}_{AS} $ .
Ovviamente la forza peso bilancia la forza vincolare del piano, quindi:
$ \vec{F}_{tM}=\vec{T}_1+\vec{F}_{AS} $ .
Considerando un sistema di riferimento che abbia origine nel centro del blocco, possiamo scomporre il vettore T1 lungo la direzione orizzontale e lungo quella verticale (non riporto il figura il sistema di riferimento ma ha verso orizzontale positivo rivolto a destra e verso verticale positivo rivolto in alto):
$ \vec{T}_1=\vec{T}_x+\vec{T}_y $ , con $ T_x=cos(pi/4)T $ e $ T_y=sin(pi/4)T $ .
Allora si ha: $ \vec{T}_1+\vec{F}_{AS}=-T_x\vec{x}+T_y\vec{y}+F_{AS}\vec{x}=(F_{AS}-T_x)\vec{x}+T_{y}\vec{y} $ .
Il vettore $ \vec{F}_{tM} $ può essere scritto così: $ \vec{F}_{tM}(F_{AS}-T_x ;T_y) $ .
Per quanto affermato inizialmente, se v=0 allora $ \vec{F}_{tM}(F_{AS}-T_x ;T_y)=(0;0) $ da cui:
$ F_{AS}-T_x=0 $ e $ T_y=0 $ . Si nota che solo la componente lungo x della forza totale dipende dal coefficiente di attrito radente statico, pertanto è l'unica componente che potrebbe, eventualmente, annullare. La componente lungo y, invece, non dipende dal coefficiente d'attrito statico e di conseguenza non è nulla per qualsiasi valore di $ mu_s $ , quindi la forza totale non è mai nulla e quindi vi è accelerazione.
Credo che questo ragionamento sia corretto, in caso contrario correggetemi :).
Per la seconda parte, invece, non ho trovato la soluzione corretta:
Ho assunto un paio di cose: 1) Si ha $ F_{p2}>T_2 $ , il che permette di concludere che la sfera accelera verso il suolo.
2) Una volta che la sfera e il blocco iniziano a muoversi, l'attrito dinamico tra la superficie e il blocco è trascurabile (la motivazione per ciò è che, altrimenti, non riuscirei a determinare l'accelerazione in quanto ci sarebbero troppe variabili, vale a dire M e $ mu_d $ .
Sotto tali condizioni, si ha:
$ T_1=T_2=T $ in quanto il filo ideale (con massa trascurabile) permette ciò, e $ F_{tm}=T_2-F_{p2}=T-mg=T-Mgsqrt(2) $ . Come prima, $ \vec{F}_{p1}, \vec{F}_{V} $ si bilanciano e dunque si ha: $ F_{tM}=T_1=T $ ,in quanto l'attrito dinamico è stato trascurato.
Per il secondo principio della dinamica: $ F_{tm}=-ma=-Masqrt(2)=T-sqrt(2)Mg $ e $ F_{tM}=Ma_m=Macos(pi/4)=T $ , quindi posso sostituire T nella formula della forza totale della sfera: $ -Masqrt(2)=T-sqrt(2)Mg rArr -Masqrt(2)=Macos(pi/4)-sqrt(2)Mg rArr -Masqrt(2)=Masqrt2/2-sqrt(2)Mg $ da cui, risolvendo per a: $ -Masqrt(2)=Masqrt2/2-sqrt(2)Mg rArr -a=a/2-g $ e si ottiene $ a=2/3g~~ 6.53m/s^2 $ che però non è la soluzione corretta, la quale è $ 5.7m/s^2 $ .
Non capisco dove possa essere l'errore, dubito che consista nel trascurare l'attrito dinamico perché ciò, come detto prima, complicherebbe soltanto la formula per la forza totale del blocco che non potrebbe essere risolta perché il coefficiente di attrito dinamico non è noto.
Traccia: Un blocco di massa M, appoggiato su un piano orizzontale scabro, è unito mediante un filo inestensibile e di massa trascurabile a una sfera di massa $ m=Msqrt(2) $ . Il filo viene fatto passare su una carrucola posta a una certa altezza sopra il piano, in modo che il tratto di filo collegato al blocco sia inclinato di 45 gradi ( $ theta=45^o $ ).
Mostra che il blocco si muove qualunque sia il valore del coefficiente di attrito statico tra il blocco e il piano.
Le accelerazioni iniziali dei due oggetti non sono uguali: indicando quella della sfera con a, risulta che quella del blocco è $ a_M=cos(pi/4)a $ . Calcola il valore di a.
Allora, ho operato come segue: Per dimostrare quanto richiesto nella prima parte ho calcolato la forza totale del blocco: per il secondo principio della dinamica, se la velocità è nulla allora anche la forza totale è nulla.
Si ha quindi: $ \vec{F}_{tM}=\vec{F}_{p1}+\vec{F}_V+\vec{T}_1+\vec{F}_{AS} $ .
Ovviamente la forza peso bilancia la forza vincolare del piano, quindi:
$ \vec{F}_{tM}=\vec{T}_1+\vec{F}_{AS} $ .
Considerando un sistema di riferimento che abbia origine nel centro del blocco, possiamo scomporre il vettore T1 lungo la direzione orizzontale e lungo quella verticale (non riporto il figura il sistema di riferimento ma ha verso orizzontale positivo rivolto a destra e verso verticale positivo rivolto in alto):
$ \vec{T}_1=\vec{T}_x+\vec{T}_y $ , con $ T_x=cos(pi/4)T $ e $ T_y=sin(pi/4)T $ .
Allora si ha: $ \vec{T}_1+\vec{F}_{AS}=-T_x\vec{x}+T_y\vec{y}+F_{AS}\vec{x}=(F_{AS}-T_x)\vec{x}+T_{y}\vec{y} $ .
Il vettore $ \vec{F}_{tM} $ può essere scritto così: $ \vec{F}_{tM}(F_{AS}-T_x ;T_y) $ .
Per quanto affermato inizialmente, se v=0 allora $ \vec{F}_{tM}(F_{AS}-T_x ;T_y)=(0;0) $ da cui:
$ F_{AS}-T_x=0 $ e $ T_y=0 $ . Si nota che solo la componente lungo x della forza totale dipende dal coefficiente di attrito radente statico, pertanto è l'unica componente che potrebbe, eventualmente, annullare. La componente lungo y, invece, non dipende dal coefficiente d'attrito statico e di conseguenza non è nulla per qualsiasi valore di $ mu_s $ , quindi la forza totale non è mai nulla e quindi vi è accelerazione.
Credo che questo ragionamento sia corretto, in caso contrario correggetemi :).
Per la seconda parte, invece, non ho trovato la soluzione corretta:
Ho assunto un paio di cose: 1) Si ha $ F_{p2}>T_2 $ , il che permette di concludere che la sfera accelera verso il suolo.
2) Una volta che la sfera e il blocco iniziano a muoversi, l'attrito dinamico tra la superficie e il blocco è trascurabile (la motivazione per ciò è che, altrimenti, non riuscirei a determinare l'accelerazione in quanto ci sarebbero troppe variabili, vale a dire M e $ mu_d $ .
Sotto tali condizioni, si ha:
$ T_1=T_2=T $ in quanto il filo ideale (con massa trascurabile) permette ciò, e $ F_{tm}=T_2-F_{p2}=T-mg=T-Mgsqrt(2) $ . Come prima, $ \vec{F}_{p1}, \vec{F}_{V} $ si bilanciano e dunque si ha: $ F_{tM}=T_1=T $ ,in quanto l'attrito dinamico è stato trascurato.
Per il secondo principio della dinamica: $ F_{tm}=-ma=-Masqrt(2)=T-sqrt(2)Mg $ e $ F_{tM}=Ma_m=Macos(pi/4)=T $ , quindi posso sostituire T nella formula della forza totale della sfera: $ -Masqrt(2)=T-sqrt(2)Mg rArr -Masqrt(2)=Macos(pi/4)-sqrt(2)Mg rArr -Masqrt(2)=Masqrt2/2-sqrt(2)Mg $ da cui, risolvendo per a: $ -Masqrt(2)=Masqrt2/2-sqrt(2)Mg rArr -a=a/2-g $ e si ottiene $ a=2/3g~~ 6.53m/s^2 $ che però non è la soluzione corretta, la quale è $ 5.7m/s^2 $ .
Non capisco dove possa essere l'errore, dubito che consista nel trascurare l'attrito dinamico perché ciò, come detto prima, complicherebbe soltanto la formula per la forza totale del blocco che non potrebbe essere risolta perché il coefficiente di attrito dinamico non è noto.
Risposte
Ciao! Ponendo l'asse $x$ con il verso positivo a sinistra e l'asse $y$ con il verso positivo verso l'alto, si possono scrivere le seguenti equazioni di equilibrio:
\[
\begin{cases}
-M \sqrt{2} g + T_2=-M \sqrt{2} a \\ T_1 \frac{ \sqrt{2} }{2}=M \frac{ \sqrt{2} }{2} a \\ N+T_1 \frac{ \sqrt{2} }{2} - Mg=0 \\ \sqrt{(T_1 \frac{\sqrt{2}}{2})^2+ (T_1 \frac{ \sqrt{2}}{2})^2}= \sqrt{T_2^2}
\end{cases}
\]
La prima è l'equilibrio della sfera alla traslazione verticale, la seconda l'equilibrio del blocco alla traslazione orizzontale, la terza l'equilibrio sempre del blocco alla traslazione verticale e infine l'uguaglianza dei moduli dei vettori tensione. Quest'ultima rende tra l'altro $T_1=T_2$. Notiamo che la terza equazione è inutile e quindi sostituisco $T_1=Ma$ nella prima, dopo aver semplificato le $M$ ottengo:
\[
-M \sqrt{2}g + Ma=-M \sqrt{2}a \Rightarrow \boxed{a=g \frac{-\sqrt{2} }{-\sqrt{2} -1}=5.74 \: m/s^2}
\]
Potrebbe andare?
\[
\begin{cases}
-M \sqrt{2} g + T_2=-M \sqrt{2} a \\ T_1 \frac{ \sqrt{2} }{2}=M \frac{ \sqrt{2} }{2} a \\ N+T_1 \frac{ \sqrt{2} }{2} - Mg=0 \\ \sqrt{(T_1 \frac{\sqrt{2}}{2})^2+ (T_1 \frac{ \sqrt{2}}{2})^2}= \sqrt{T_2^2}
\end{cases}
\]
La prima è l'equilibrio della sfera alla traslazione verticale, la seconda l'equilibrio del blocco alla traslazione orizzontale, la terza l'equilibrio sempre del blocco alla traslazione verticale e infine l'uguaglianza dei moduli dei vettori tensione. Quest'ultima rende tra l'altro $T_1=T_2$. Notiamo che la terza equazione è inutile e quindi sostituisco $T_1=Ma$ nella prima, dopo aver semplificato le $M$ ottengo:
\[
-M \sqrt{2}g + Ma=-M \sqrt{2}a \Rightarrow \boxed{a=g \frac{-\sqrt{2} }{-\sqrt{2} -1}=5.74 \: m/s^2}
\]
Potrebbe andare?
"keptury":
e $ F_{tM}=Ma_m=Macos(pi/4)=T $
Questa equazione andrebbe proiettata sull'asse $x$ dando quindi:
\[
Macos(\pi/4)=Ma \frac{ \sqrt{2}}{2}=T cos(\pi/4)=T \frac{ \sqrt{2}}{2} \: \: \: \Rightarrow \: \: \: T=Ma
\]
"fede_1_1":
[quote="keptury"] e $ F_{tM}=Ma_m=Macos(pi/4)=T $
Questa equazione andrebbe proiettata sull'asse $x$ dando quindi:
\[
Macos(\pi/4)=Ma \frac{ \sqrt{2}}{2}=T cos(\pi/4)=T \frac{ \sqrt{2}}{2} \: \: \: \Rightarrow \: \: \: T=Ma
\][/quote]
Grazie mille! In pratica la relazione $ a_{bloc co}=sqrt(2)/2a_{Sfera} $ vale solo per la componente orizzontale dell'accelerazione del blocco e da qui la necessità di scomporre la forza totale del blocco sull'asse x, ma la traccia non lo riporta esplicitamente quindi quest'ultima è poco chiara oppure ho tralasciato qualche dettaglio che avrebbe dovuto farmelo intuire?
Esatto ho fatto questa supposizione, che equivale a dire che il blocco si muove soltanto orizzontalmente. Ergo che non si stacchi dal tavolo. Quindi $\vec{a}_{\text{sfera}}=(0,-a)$, mentre $\vec{a}_{\text{blocco}}=(\frac{\sqrt{2}}{2} a , 0)$.
E' possibile dimostrare che effettivamente il blocco non si stacca dal pavimento? Ci possiamo provare, se non è troppo convincente aspettiamo i rinforzi
Se il blocco si staccasse da terra (e accelerasse anche verso l'alto) allora la reazione vincolare $N$ diverrebbe automaticamente zero e inoltre si dovrebbe avere che la componente $y$ della tensione è maggiore del peso. In formule:
\[
T_1 \frac{ \sqrt{2}}{2}>Mg \]
Dato che è assodato il fatto che la sfera acceleri di $a$ verso il basso, allora possiamo utilizzare la prima equazione del sistema scritto prima e ricavare $T_2=T_1=M\sqrt{2} (g-a)$. Sostituendola sopra:
\[
M\sqrt{2} (g-a) \frac{ \sqrt{2}}{2} > Mg \: \: \: \Rightarrow \: \: \: g-a>g
\]
Ma quest'ultima è vera se e solo se $a<0$, ma se così fosse allora la sfera andrebbe verso l'alto e il blocco verso destra...non rispettando le ipotesi
E' possibile dimostrare che effettivamente il blocco non si stacca dal pavimento? Ci possiamo provare, se non è troppo convincente aspettiamo i rinforzi
Se il blocco si staccasse da terra (e accelerasse anche verso l'alto) allora la reazione vincolare $N$ diverrebbe automaticamente zero e inoltre si dovrebbe avere che la componente $y$ della tensione è maggiore del peso. In formule:
\[
T_1 \frac{ \sqrt{2}}{2}>Mg \]
Dato che è assodato il fatto che la sfera acceleri di $a$ verso il basso, allora possiamo utilizzare la prima equazione del sistema scritto prima e ricavare $T_2=T_1=M\sqrt{2} (g-a)$. Sostituendola sopra:
\[
M\sqrt{2} (g-a) \frac{ \sqrt{2}}{2} > Mg \: \: \: \Rightarrow \: \: \: g-a>g
\]
Ma quest'ultima è vera se e solo se $a<0$, ma se così fosse allora la sfera andrebbe verso l'alto e il blocco verso destra...non rispettando le ipotesi
"keptury":
Le accelerazioni iniziali dei due oggetti non sono uguali: indicando quella della sfera con $a$, risulta che quella del blocco è $A=sqrt2/2a$.
Se ho capito bene, lo stralcio di cui sopra è tratto dal testo del problema. Meglio avere una conferma. Ad ogni modo, poichè il vincolo cinematico è più complesso di quello che possa apparire, è necessario considerare anche la variazione di $\theta$ per intenderci:
Spostamento verticale della sfera
$x$
Spostamento orizzontale del blocco
$X$
la relazione tra le due accelerazioni iniziali non è quella (falso amico). Infatti, applicando il teorema di Pitagora al triangolo di sinistra e derivando due volte:
$1/2+(sqrt2/2-X)^2=(1-x)^2 rarr$
$rarr X^2-sqrt2X-x^2+2x=0 rarr$
$rarr 2XdotX-sqrt2dotX-2xdotx+2dotx=0 rarr$
$rarr 2dotX^2+2XddotX-sqrt2ddotX-2dotx^2-2xddotx+2ddotx=0$
Infine, considerando le condizioni iniziali:
$\{(x=0),(dotx=0),(X=0),(dotX=0):} rarr$
$rarr -sqrt2ddotX+2ddotx=0 rarr$
$rarr ddotX=sqrt2ddotx rarr$
$rarr A=sqrt2a$
"fede_1_1":
Esatto ho fatto questa supposizione, che equivale a dire che il blocco si muove soltanto orizzontalmente. Ergo che non si stacchi dal tavolo. Quindi $\vec{a}_{\text{sfera}}=(0,-a)$, mentre $\vec{a}_{\text{blocco}}=(\frac{\sqrt{2}}{2} a , 0)$.
E' possibile dimostrare che effettivamente il blocco non si stacca dal pavimento? Ci possiamo provare, se non è troppo convincente aspettiamo i rinforzi :D
Se il blocco si staccasse da terra (e accelerasse anche verso l'alto) allora la reazione vincolare $N$ diverrebbe automaticamente zero e inoltre si dovrebbe avere che la componente $y$ della tensione è maggiore del peso. In formule:
\[
T_1 \frac{ \sqrt{2}}{2}>Mg \]
Dato che è assodato il fatto che la sfera acceleri di $a$ verso il basso, allora possiamo utilizzare la prima equazione del sistema scritto prima e ricavare $T_2=T_1=M\sqrt{2} (g-a)$. Sostituendola sopra:
\[
M\sqrt{2} (g-a) \frac{ \sqrt{2}}{2} > Mg \: \: \: \Rightarrow \: \: \: g-a>g
\]
Ma quest'ultima è vera se e solo se $a<0$, ma se così fosse allora la sfera andrebbe verso l'alto e il blocco verso destra...non rispettando le ipotesi :shock:
"Noodles":
[quote="keptury"]
Le accelerazioni iniziali dei due oggetti non sono uguali: indicando quella della sfera con $a$, risulta che quella del blocco è $A=sqrt2/2a$.
Se ho capito bene, lo stralcio di cui sopra è tratto dal testo del problema. Meglio avere una conferma.[/quote]
Sì ho ricopiato l'intera traccia senza alterare nulla.
"fede_1_1":
Esatto ho fatto questa supposizione, che equivale a dire che il blocco si muove soltanto orizzontalmente. Ergo che non si stacchi dal tavolo. Quindi $\vec{a}_{\text{sfera}}=(0,-a)$, mentre $\vec{a}_{\text{blocco}}=(\frac{\sqrt{2}}{2} a , 0)$.
E' possibile dimostrare che effettivamente il blocco non si stacca dal pavimento? Ci possiamo provare, se non è troppo convincente aspettiamo i rinforzi :D
Se il blocco si staccasse da terra (e accelerasse anche verso l'alto) allora la reazione vincolare $N$ diverrebbe automaticamente zero e inoltre si dovrebbe avere che la componente $y$ della tensione è maggiore del peso. In formule:
\[
T_1 \frac{ \sqrt{2}}{2}>Mg \]
Dato che è assodato il fatto che la sfera acceleri di $a$ verso il basso, allora possiamo utilizzare la prima equazione del sistema scritto prima e ricavare $T_2=T_1=M\sqrt{2} (g-a)$. Sostituendola sopra:
\[
M\sqrt{2} (g-a) \frac{ \sqrt{2}}{2} > Mg \: \: \: \Rightarrow \: \: \: g-a>g
\]
Ma quest'ultima è vera se e solo se $a<0$, ma se così fosse allora la sfera andrebbe verso l'alto e il blocco verso destra...non rispettando le ipotesi :shock:
Giusto, non ci avevo pensato! Grazie ancora :)
"Noodles":
[quote="keptury"]
Le accelerazioni iniziali dei due oggetti non sono uguali: indicando quella della sfera con $a$, risulta che quella del blocco è $A=sqrt2/2a$.
Se ho capito bene, lo stralcio di cui sopra è tratto dal testo del problema. Meglio avere una conferma. Ad ogni modo, poichè il vincolo cinematico è più complesso di quello che possa apparire, è necessario considerare anche la variazione di $\theta$ per intenderci:
Spostamento verticale della sfera
$x$
Spostamento orizzontale del blocco
$X$
la relazione tra le due accelerazioni iniziali non è quella (falso amico).[/quote]
Esattamente, ho ricopiato la traccia senza alterare alcuna parola. Credo tu abbia indicato con $ theta $ l'angolo che la corda forma con il piano orizzontale al variare della posizione del blocco, però il testo asserisce che la relazione indicata sussista solo per le accelerazioni iniziali, proprio quando il valore di $ theta $ è 45 gradi.
Ho appena realizzato che non avevo visualizzato l'intero messaggio dato che non aveva caricato del tutto. Non so minimamente perché tu abbia usato le derivate, purtroppo non frequento ancora corsi universitari di fisica
"keptury":
... il testo asserisce che la relazione indicata sussista solo per le accelerazioni iniziali, proprio quando il valore di $theta$ è 45 gradi...
Premesso che, nel mio primo messaggio, ho aggiunto la dimostrazione, il testo si sbaglia.
"keptury":
Non so minimamente perché tu abbia usato le derivate, purtroppo non frequento ancora corsi universitari di fisica.
A questo punto, poichè dovrebbe trattarsi di un problema liceale, ammesso e non concesso che la sostanza non cambi, sappi solo che la relazione iniziale assegnata dal testo è sbagliata.
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