Esercizio Fisica 2

[BigDummy]

Salve ragazzi, perdonate il titolo vago ma non sapevo in che modo specificare.

Comunque,sto facendo questo esercizio:
https://imgur.com/a/ogl2VPR
Il calcolo della deformazione iniziale mi torna.
Non ho capito però un passaggio riguardo il punto b,vi scrivo la soluzione:

Quando il commutatore viene connesso al voltmetro, cessa di passare corrente, la sola forza agente è ora quella della molla e la sbarretta inizia un moto armonico di ampiezza ∆x0 e pulsazione ω0=√(k/M), che, considerata l’equazione di moto e le condizioni iniziali, comporta un flusso magnetico (di nuovo gioca solo Bz) pari a Φ(t)=B0∆x0cos(ωt),

Mi spiegate in che modo l'equazione del moto della molla ,che è $x(t)= Deltax_0cos(omegat)$ , è correlata al flusso?
Dovrebbe essere la superficie che viene attraversata dal campo?
Vi ringrazio!

[mgrau]

Il movimento della molla fa variare l'area del circuito attraversato dal campo magnetico.
Ssi ha che $(dPhi)/(dt) = v*L$ dove $L$ è la lunghezza della sbarretta, e questo dà il valore della f.e.m. indotta, misurata dal voltmetro.

[BigDummy]

"mgrau":Il movimento della molla fa variare l'area del circuito attraversato dal campo magnetico.

Quindi dal momento che varia l'area del circuito ho una variazione del flusso magnetico e quindi la generazione di una f.e.m. indotta, giusto?

"mgrau":Ssi ha che $(dPhi)/(dt) = v*L$ dove $L$ è la lunghezza della sbarretta, e questo dà il valore della f.e.m. indotta, misurata dal voltmetro.

Non mi è chiaro questo passaggio. Cosa intendi per $v$?
Comunque ti dico come ho ragionato:
Il flusso magnetico è definito come:
$phi(vecB)= int vec(B)*dvec(S) $ (1)
La superficie immagino a questo punto che sia quella "mangiata" dalla sbarretta(perdona l'espressione) all'istante di tempo t; essa sarà uguale a $S= Deltax_0cos(omegat)*L$

Quando poi nella (1) porto $B$ fuori dall'integrale mi rimane:
$phi(B)=B_0 Deltax_0cos(omegat)*L$, di conseguenza:
$d(phi(B))/dt = B_0Deltax_0sin(omegat)Lomega$

Facendo così mi ritrovo con il prof,la cui soluzione è questa:

Quando il commutatore viene connesso al voltmetro, cessa di passare corrente, la sola forza agente è ora quella della molla e la sbarretta inizia un moto armonico di ampiezza ∆x0 e pulsazione ω0=√(k/M), che, considerata l’equazione di moto e le condizioni iniziali, comporta un flusso magnetico (di nuovo gioca solo $B_z$) pari a $Φ(t)=B_0∆x_0cos(ωt)$, salvo termini additivi costanti. Tale flusso dipende dal tempo, cosicché esso determina una f.e.m. misurata pari a $−dΦ/dt=ωB_0L∆x_0sin(ωt)$

Quello che adesso vorrei capire è la frase in grassetto e di conseguenza anche i passaggi intermedi che mi portano da
$intvec(B)dvec(S)$ a $B_0 intdS$

[BigDummy]

Sono andato avanti con l'esercizio, adesso mi sono bloccato su un altro punto.
Ho trovato la forza elettromotrice indotta,che è :
$epsilon_i=B_0Deltax_0omegaLsin(omegat)$ (risultato corretto)

Poi Il prof scrive nelle soluzioni:

$|V(t)|$ è massima quando è massimo $|sin(ωt)|$, cioè per $T=π/(2ω)+nπ/ω$, con n intero. Per$ t>t0$, la resistenza dissipa una potenza$ P=Fv=(dΦ/dt)^2/R=(B0Lv)^2/R$,

Non ho capito perché nel calcolo della potenza, nell'espressione della f.e.m. indotta elimina le costanti $Deltax_0$ e $omega$ e aggiunge $v$.
C'è qualche ragionamento da fare che mi sfugge; qualcuno può darmi una mano?

[RenzoDF]

"BigDummy":... Non ho capito perché nel calcolo della potenza, nell'espressione della f.e.m. indotta elimina le costanti $Deltax_0$ e $omega$ e aggiunge $v$. ...

Per $t>t_0$, quella relazione (per evitare confusione) dovrebbe essere scritta $P(t)=F(t)v(t)$ dove la velocità $v(t)$ della sbarretta, nonchè quella ("misteriosa") forza $F(t)$, sono da rideterminare (a causa della chiusura del circuito sul resistore), andando a risolvere una equazione differenziale del secondo ordine in $x(t)$ [nota]\(M\ddot x =-kx-(B_0L)^2\dot x/R\)[/nota]; visto però che nel testo viene richiesta solo la $P(v)$, possiamo evitare la sua soluzione completa e limitarci a considerare la condizione sui suoi coefficienti che porta a soluzioni reali della sua equazione caratteristica, al fine di rispondere alla richiesta finale sul vincolo per il valore limite della resistenza R del resistore.

[BigDummy]

E quanto sarebbe la velocità adesso?
Quando il commutatore si sposta cosa cambia nel circuito?

[RenzoDF]

"BigDummy":E quanto sarebbe la velocità adesso?

Se con "adesso" intendi riferirti alla situazione circuitale per $t>t_0$, come ti dicevo nel precedente messaggio, sarebbe necessario risolvere l'equazione differenziale per ottenere $x(t)$ e di conseguenza $v(t)$, ma lascio a te questo (non necessario) sviluppo.

"BigDummy": Quando il commutatore si sposta cosa cambia nel circuito?

Come dicevo, cambia la topologia circuitale, in quanto per $t>t_0$, il commutatore chiude il circuito, in precedenza aperto, per $0

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[BigDummy]

capito, ti ringrazio!