Esercizio esame Fisica 2 (elettrostatica)

[feddy]

Buongiorno a tutti, ho trovato questo testo d'esame di cui non conosco la soluzione. Qualsiasi correzione o consiglio è ben accetto

Testo
Un conduttore sferico cavo, di raggio interno $R_2=5cm$ e raggio esterno $R_3=6cm$, contiene una sfera conduttrice concentrica, di raggio $R_1=2cm$.
Sulla sfera interna viene depositata una quantità di carica $Q=10^{-9} C$.

1.Determinare la distribuzione di carica all'equilibrio e calcolare il campo e il potenziale nello spazio in funzione della distanza $r$ dal centro del sistema. Rappresentare graficamente $E(r)$ e $V(r)$.

A distanza $R_P=10cm$ dal centro del sistema viene posta una carica puntiforme $q=-Q$.

2.Determinare la forza elettrostatica agente sui conduttori e sulla carica esterna puntiforme
3.Calcolare il lavoro del campo per portare la carica puntiforme $q$ sulla superficie del conduttore
4.Determinare la nuova situazione di equilibrio elettrostatico: distribuzione di cariche e campo $E(r)$.
5.Calcolare l'energia elettrostatica del campo nella regione interna e esterna al sistema.

L'intercapedine tra $R_1$ e $R_2$ viene riempita di un materiale dielettrico lineare e omogeneo di costante dielettrica $K=4$

6.Calcolare la densità di cariche di polarizzazione nel dielettrico.

Sol.:


(1) Poiché sono entrambe conduttori, se deposito una carica sulla sferetta più interna, compare una densità di carica superficiale $\sigma^-$ sulla parte interna della sfera, e una densità $\sigma^+$ sulla parte esterna (segue dalla legge di gauss, in quanto il campo elettrostatico all'interno della sfera è $\vecE=vec0$.

$\sigma^{+}=Q/(4\pi \epsilon_0 R_{3}^{2})$.

$\sigma^{-}=-Q/(4\pi \epsilon_0 R_{2}^{2})$.


La carica si distribuisce sulla superficie esterna di ogni conduttore e si ha che $E=\sigma/(\epsilon_0)$ su ogni superficie di ogni conduttore. (thm. di Coulomb).

Distinguo ora il valore del campo al variare di $r$, applicando il thm. di Gauss.

$r $R_1 $R_2 $r>R_3$, applicando Gauss, e notando che il campo è radiale: $E(r)=(\sigma R_3^2)/(\epsilon_0 r^2)$.


Ho che $V(r)=- \int_{\infty}^{r} E(r)dr$.
Senza fare tutti i conti, ho posto il potenzale all'infinito uguale a $0$, e per $V(r)$ ho trovato:


$r $R_1 $r>R_3$, $V(r)=(\sigma R_3^2)/(\epsilon_0 r)$.


(2)
La forza agente sulla carica puntiforme è $vecF=q vecE(r)$, con $r>R_3$, e vale $vecF=q \sigma R_3^2 / (\epsilon_0 R_{p}^{2})$

Sui conduttori agisce il campo $E$, in direzione normale, $E=\sigma/(\epsilon_0)$ e la forza elettrostatica agente su di essi è $vecF=q \sigma / \epsilon_0$


(3)
$W=-q*DeltaV$, con $DeltaV=V(R_3) - V(R_p)=(\sigma R_3)/ \epsilon_0 (1- R_3/R_p)$

(4)
Se metto la carica $q=-Q$, sulla superficie esterna, la superficie esterna, quella di raggio $R_3$, si neutralizza (non so se si può dire così...)

Distinguo ancora a seconda delle regioni:

$r $R_1 $r>R_2$, $E(r)=0$, poiché non può esserci campo all'esterno, v_isto che le linee partono da $R_1$ terminano su $R_2$.


(5)
$U_{int}=1/2QDeltaV=Q/2(V_{R_2} - V_{R_1})$

$U_{ext}=0$ (non c'è carica)


(6)Poiché il dielettrico è lineare e omogeneo, il vettore di polarizzazione $vecP$ è $vecP=\epsilon_0 (K-1) vecE=(K-1)/(K) vecD(r)$.
Sfruttando il campo $D$, detto induzione dielettrica, e usando il teorema di Gauss per quest'ultimo, ricavo che
$D(r) 4 \pi r^2 = Q$, da cui $D(r)=Q/(4\pi \epsilon_0 \r^2)$, in direzione radiale.

Perciò $vecP=(K-1)/(K) Q/(4\pi \epsilon_0 \r^2)=(K-1)/(K) \sigma$.

La densità di carica che compare sulla superficie della sferetta (di raggio $R_1$) è data da $(K-1)/K \sigma^{+}$, mentre quella che compare sulla superficie della sfera di raggio $R_2$ è a $(K-1)/K \sigma^{-}$.

[Casio98]

Il potenziale mano a mano si somma. Quindi:
$r>=R_3$ $V(r)=Q/(4\pi\epsilon_0r)$
$R_2<=r $R_1<=r $r Per il punto sul dielettrico, aspetta qualcuno più competente.

[feddy]

Scusa ma non riesco acapire, anche guardando gli appunti, in che senso il "potenziale" mano a mano si somma. Hai qualche referenza?
Dielettrico a parte, gli altri punti possono andare?

[feddy]

up!

[singularity]

Ciao feddy, sono un po' di fretta e scrivo dal cellulare, ma voglio provare a darti una piccola mano. Come diceva Casio98, per i potenziali vale, come per i campi, il principio di sovrapposizione. Inoltre ti ricordava anche che i conduttori sono equipotenziali, quindi la tua espressione di $V$ per $r< R_1$ è sicuramente sbagliata (deve essere costante! Tant'è che il campo ti viene, correttamente, nullo). Tutto questo era riferito al primo punto, se riesco ti risponderò anche su gli altri

[feddy]

Ciao singularity ! Per i potenziali a dire il vero ho risolto, e mi trovo coi risultati esposti da Casio ! (Ho posto $V_{\infty}=0$ e poi integrato sulle varie regioni trovando proprio gli stessi risultati
Se mai volessi rispondere, grazie mille !

[singularity]

Ciao feddy! Non mi sono dimenticato di te!
Eccoti le mie considerazioni:

"feddy":


(3)
$W=-q*DeltaV$, con $DeltaV=V(R_3) - V(R_p)=(\sigma R_3)/ \epsilon_0 (1- R_3/R_p)$

Qui chiede il lavoro del campo, quindi semplicemente non devi moltiplicare per $q$

"feddy":(4)
Se metto la carica $q=-Q$, sulla superficie esterna, la superficie esterna, quella di raggio $R_3$, si neutralizza (non so se si può dire così...)

Distinguo ancora a seconda delle regioni:

$r $R_1 $r>R_2$, $E(r)=0$, poiché non può esserci campo all'esterno, v_isto che le linee partono da $R_1$ terminano su $R_2$.

(5)
$U_{int}=1/2QDeltaV=Q/2(V_{R_2} - V_{R_1})$

$U_{ext}=0$ (non c'è carica)

Ok

"feddy":


(6)Poiché il dielettrico è lineare e omogeneo, il vettore di polarizzazione $vecP$ è $vecP=\epsilon_0 (K-1) vecE=(K-1)/(K) vecD(r)$.
Sfruttando il campo $D$, detto induzione dielettrica, e usando il teorema di Gauss per quest'ultimo, ricavo che
$D(r) 4 \pi r^2 = Q$, da cui $D(r)=Q/(4\pi \epsilon_0 \r^2)$, in direzione radiale.

Perciò $vecP=(K-1)/(K) Q/(4\pi \epsilon_0 \r^2)=(K-1)/(K) \sigma$.

La densità di carica che compare sulla superficie della sferetta (di raggio $R_1$) è data da $(K-1)/K \sigma^{+}$, mentre quella che compare sulla superficie della sfera di raggio $R_2$ è a $(K-1)/K \sigma^{-}$.

Anche qui mi sembra quasi tutto ok, al massimo un po' di rigore in più:

$vec(P) = epsilon_0 (k-1) vec(E)= epsilon_0 (k-1) vecD/(k epsilon_0 )= (k-1)/k Q/(4 pi r^2) hat(r)$

$sigma_p (R_1) = vec(P)(R_1) \cdot hat(n)= vec(P)(R_1) \cdot hat(r)$
$sigma_p (R_2) = vec(P)(R_2) \cdot hat(r)$

eccetera.

Inoltre potresti calcolare $rho_p$ (densità volumetrica di carica di polarizzazione):

$rho_p = - vecgrad \cdot vecP$

verificando che sia 0.

[feddy]

@singularity, grazie mille ! Tuttavia non sono molto sicuro della tua risposta al punto 3). Il libro che seguo (il Mazzoldi), per trovare il lavoro fatto dal campo per spostare la carica moltiplica per $q$. Non capisco come mai non dovrei farlo ! Per gli altri suggerimenti è tutto chiaro !

[singularity]

In generale per lavoro compiuto dal campo per spostare una carica da un punto $A$ ad un punto $B$ si intende:

$L_(A rarr B) = int_A ^B vec(E) \cdot d vec(l) = - Delta V$

Dove $Delta V$ è la differenza di potenziale tra i punti $A$ e $B$. Si distingue dal lavoro compiuto dalla forza agente sulla carica, che è dato da:

$L' _(A rarr B) = int_A ^B vec(F) \cdot d vec(l) = int_A ^B q vec(E) \cdot d vec(l) = q L_(A rarr B) = -q Delta V = -Delta U$

In questo caso $Delta U$ è la differenza di energia potenziale posseduta dalla carica nei punti $A$ e $B$.

[feddy]

Oh ora mi torna tutto ! Perfetto, grazie ancora