Esercizio Esame Fisica 1 appena dato
Mi scoccia fare un'altra domanda, ma non riesco a resistere.
Torno da poco dall'esame di Fisica 1, tutto bene tranne per un esercizio:
Problema
Un corpo di massa m scivola, senza attrito, lungo un profilo parabolico \(\displaystyle y = ax^2 \) partendo da una quota \(\displaystyle h_1 \).
Determinare il vettore velocità nell'istante in cui la sua direzione risulta inclinata di un angolo \(\displaystyle \alpha = 45° \)
(esprimere la condizione \(\displaystyle h_1 \) affinvhè il roblema ammetta soluzione).
Risoluzione:
Posto come riferimento cartesiano l'origine nell'estremo della parabola, e detto v il modulo della velocirà in ogni istante
\(\displaystyle v_x = vcos(\alpha) = \frac{v}{\sqrt{1 + tg^{2}\alpha}} = \frac{v}{\sqrt{1 + 4a^2 x^2}} \)
\(\displaystyle v_y = vsen(\alpha) = \frac{vtg(\alpha)}{\sqrt{1 + tg^{2}\alpha}} = \frac{v2avx}{\sqrt{1 + 4a^2 x^2}} \)
Inoltre \(\displaystyle tg(\alpha) = \frac{dy}{dx} = 2ax
\) dove \(\displaystyle \alpha \) è l'angolo che il vettore velocità forma con l'asse x.
Ma ora se pongo \(\displaystyle \alpha = 45° \) non raggiungo a nessun risultato.
Qualcuno ha un'idea?
Grazie per le risposte
Torno da poco dall'esame di Fisica 1, tutto bene tranne per un esercizio:
Problema
Un corpo di massa m scivola, senza attrito, lungo un profilo parabolico \(\displaystyle y = ax^2 \) partendo da una quota \(\displaystyle h_1 \).
Determinare il vettore velocità nell'istante in cui la sua direzione risulta inclinata di un angolo \(\displaystyle \alpha = 45° \)
(esprimere la condizione \(\displaystyle h_1 \) affinvhè il roblema ammetta soluzione).
Risoluzione:
Posto come riferimento cartesiano l'origine nell'estremo della parabola, e detto v il modulo della velocirà in ogni istante
\(\displaystyle v_x = vcos(\alpha) = \frac{v}{\sqrt{1 + tg^{2}\alpha}} = \frac{v}{\sqrt{1 + 4a^2 x^2}} \)
\(\displaystyle v_y = vsen(\alpha) = \frac{vtg(\alpha)}{\sqrt{1 + tg^{2}\alpha}} = \frac{v2avx}{\sqrt{1 + 4a^2 x^2}} \)
Inoltre \(\displaystyle tg(\alpha) = \frac{dy}{dx} = 2ax
\) dove \(\displaystyle \alpha \) è l'angolo che il vettore velocità forma con l'asse x.
Ma ora se pongo \(\displaystyle \alpha = 45° \) non raggiungo a nessun risultato.
Qualcuno ha un'idea?
Grazie per le risposte
Risposte
Vediamo se ho compreso bene la richiesta del problema (improbabile).
La condizione su $h_1$ ci deve essere altrimenti il corpo potrebbe non avere mai il suo vettore velocità che forma un tale angolo con l'asse delle ascisse. Quindi mi trovo l'ascissa tale che la derivata prima sia $1$. Il corpo deve partire da una ascissa maggiore. In formule $\frac{dy}{dx}=2ax=1 \Rightarrow x=\frac{1}{2a}$ la cui "altezza" è $y=\frac{1}{4a} \Rightarrow h_1 \geq \frac{1}{4a}$ dove l'uguaglianza si ha solo se il corpo parte proprio da quella ascissa (e la risposta al problema in questo caso sarebbe $0$). Assumiamo allora che la disuguaglianza è verificata: il dislivello è $h_1-\frac{1}{4a}$ da cui, per la conservazione dell'energia si ha $v=\sqrt{2g(h_1-\frac{1}{4a})}$ e poichè il vettore velocità ha un angolo di 45 gradi con le x le componenti di tale velocità saranno uguali e pari a $v_x=v_y=v/\sqrt{2}=\sqrt{g(h_1-\frac{1}{4a})}$. Spero di aver interpretato bene la richiesta
ovviamente credo che siano noti $h_1$ e $a$.
La condizione su $h_1$ ci deve essere altrimenti il corpo potrebbe non avere mai il suo vettore velocità che forma un tale angolo con l'asse delle ascisse. Quindi mi trovo l'ascissa tale che la derivata prima sia $1$. Il corpo deve partire da una ascissa maggiore. In formule $\frac{dy}{dx}=2ax=1 \Rightarrow x=\frac{1}{2a}$ la cui "altezza" è $y=\frac{1}{4a} \Rightarrow h_1 \geq \frac{1}{4a}$ dove l'uguaglianza si ha solo se il corpo parte proprio da quella ascissa (e la risposta al problema in questo caso sarebbe $0$). Assumiamo allora che la disuguaglianza è verificata: il dislivello è $h_1-\frac{1}{4a}$ da cui, per la conservazione dell'energia si ha $v=\sqrt{2g(h_1-\frac{1}{4a})}$ e poichè il vettore velocità ha un angolo di 45 gradi con le x le componenti di tale velocità saranno uguali e pari a $v_x=v_y=v/\sqrt{2}=\sqrt{g(h_1-\frac{1}{4a})}$. Spero di aver interpretato bene la richiesta
ovviamente credo che siano noti $h_1$ e $a$.
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