Esercizio elettrostatica, dubbio sull'utilizzo degli infinitesimi
Salve, ho una domanda riguardante un passaggio che viene fatto nel corso di un esercizio. Non credo sia necessario riportarlo interamente in quanto è abbastanza lungo e il dubbio è slegato dal contesto.
Si ha un campo $ E=sigma/(2epsilon_0) x/(sqrt(x^2+R^2))hat(u)_x $. Successivamente si trova un'espressione del lavoro del genere $ dW=p*dE $ ( $ p $ è il valore di un dipolo elettrico, valore costante). A questo punto, bisognerebbe integrare: si tratta di integrare lungo un segmento, unidimensionalmente, tra due estremi $ 0 $ e $ l $: ma quando mi riferisco all'infinitesimo del campo, come posso scriverlo nell'integrale? Ovvero, considerando che $ sigma $, $ epsilon_0 $ e $ R $ sono costanti, è corretto scrivere
$ dE=sigma/(2epsilon_0)dx/(sqrt(x^2+R^2))hat(u)_x $? Non so come regolarmi con la $ x^2 $ sotto la radice.
Si ha un campo $ E=sigma/(2epsilon_0) x/(sqrt(x^2+R^2))hat(u)_x $. Successivamente si trova un'espressione del lavoro del genere $ dW=p*dE $ ( $ p $ è il valore di un dipolo elettrico, valore costante). A questo punto, bisognerebbe integrare: si tratta di integrare lungo un segmento, unidimensionalmente, tra due estremi $ 0 $ e $ l $: ma quando mi riferisco all'infinitesimo del campo, come posso scriverlo nell'integrale? Ovvero, considerando che $ sigma $, $ epsilon_0 $ e $ R $ sono costanti, è corretto scrivere
$ dE=sigma/(2epsilon_0)dx/(sqrt(x^2+R^2))hat(u)_x $? Non so come regolarmi con la $ x^2 $ sotto la radice.
Risposte
non so se ho capito, ma qui mi pare che tu debba integrare così:
$int_0^(W')dW=p*int_(E(0))^(E(l))dE$
$W=p*[E(l)-E(0)]$
ti basta calcolare il campo in 0 e in l.
$int_0^(W')dW=p*int_(E(0))^(E(l))dE$
$W=p*[E(l)-E(0)]$
ti basta calcolare il campo in 0 e in l.
$ dE=sigma/(2epsilon_0)dx/(sqrt(x^2+R^2))hat(u)_x $
Questo è sbagliato.
Fai la derivata di $E$ su $x$ ovvero $(dE)/dx$ e poi moltiplica per $dx$, quella è la giusta espressione per l'infinitesimo.
Questo è sbagliato.
Fai la derivata di $E$ su $x$ ovvero $(dE)/dx$ e poi moltiplica per $dx$, quella è la giusta espressione per l'infinitesimo.
"Spremiagrumi":
$ dE=sigma/(2epsilon_0)dx/(sqrt(x^2+R^2))hat(u)_x $
Questo è sbagliato.
Fai la derivata di $E$ su $x$ ovvero $(dE)/dx$ e poi moltiplica per $dx$, quella è la giusta espressione per l'infinitesimo.
e anche su questo passaggio,penso che i "puristi" del forum avrebbero qualcosa da ridire!
Grazie spremiagrumi: dunque
$ E=sigma/(2epsilon_0)x/(sqrt(x^2 + R^2))hat(u)_x $
da cui
$ (dE)/dx=sigma/(2epsilon_0)(sqrt(x^2+R^2)-x((2x)/(2sqrt(x^2+R^2))))/(x^2+R^2) $
e quindi
$ dE=((dE)/dx)dx=sigma/(2epsilon_0)dx/(sqrt(x^2+R^2))-sigma/(2epsilon_0)(x^2dx)/((x^2+R^2)^(3/2) $
Ti sembra corretto?
Un'altra domanda poi
, in questo caso avevo $ E $ che mi dipendeva solo da una variabile $ x $. Nel caso avessi una funzione generica $ F $ di più variabili, per scriverne l'infinitesimo dovrei procedere invece con la scrittura del differenziale $ dF=(partial F)/(partial x)dx+(partial F)/(partial y)dy+... $ e a questo punto integrare la prima componente $ dF_x = (partial F)/(partial x)dx $ lungo $ x $, la seconda $ dF_y = (partial F)/(partial y)dy $ lungo $ y $ e così via...? Ti ringrazio ancora.
$ E=sigma/(2epsilon_0)x/(sqrt(x^2 + R^2))hat(u)_x $
da cui
$ (dE)/dx=sigma/(2epsilon_0)(sqrt(x^2+R^2)-x((2x)/(2sqrt(x^2+R^2))))/(x^2+R^2) $
e quindi
$ dE=((dE)/dx)dx=sigma/(2epsilon_0)dx/(sqrt(x^2+R^2))-sigma/(2epsilon_0)(x^2dx)/((x^2+R^2)^(3/2) $
Ti sembra corretto?
Un'altra domanda poi
, in questo caso avevo $ E $ che mi dipendeva solo da una variabile $ x $. Nel caso avessi una funzione generica $ F $ di più variabili, per scriverne l'infinitesimo dovrei procedere invece con la scrittura del differenziale $ dF=(partial F)/(partial x)dx+(partial F)/(partial y)dy+... $ e a questo punto integrare la prima componente $ dF_x = (partial F)/(partial x)dx $ lungo $ x $, la seconda $ dF_y = (partial F)/(partial y)dy $ lungo $ y $ e così via...? Ti ringrazio ancora.
Si, per calcolare l'infinitesimo ti calcoli il differenziale, le operazioni successive dipendono da quello che devi trovare. Molto spesso, vedi la termodinamica, alcuni $dx_i$ vanno tenuti costanti e il differenziale dipende da una sola variabile nuovamente.
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