Esercizio elettrostatica

[cyd1]

una carica puntiforme $q=10^(-6)$ è posta a distanza $D$ da un piano conduttore indefinito collegato a terra. Calcolare la carica indotta su di un cerchio nel piano conduttore con centro sul piede O della perpendicolare condotta dalla carica al piano e dianmetro $D$

come risultato de $Q= -1.06*10^(-7) C$

l'ho svolto cosi:
preso un riferimento con origine in O e asse y coincidente con la congiungente O-q diretta verso q
uso il metodo delle cariche immagini e considero una carica fittizia $-q$ simmetrica rispetto a $q$, cioè in posizione $(0,-D,0)$.
calcolo il potenziale
$Phi(x,y,x) = q/(4 pi epsilon_0) ( 1/ (x^2 + (y-D)^2 + z^2)^(1/2) - 1/( x^2 + (y+D)^2 + z^2)^(1/2) )$
chiaramente $Phi(x,0,z)=0$.

ne ricavo il campo elettrico lungo y tanto sul piano le altre componenti devono essere nulle
$E_y=-(del Phi)/(del y) = q/(4 pi epsilon_0) * ( (y-D)/( x^2 + (y-D)^2 + z^2)^(3/2) - (y+D)/( x^2 + (y+D)^2 + z^2)^(3/2))$

considero il campo sul piano $E_y(x,0,z) = - q/(2 pi epsilon_0) * D/(D^2 + x^2 + z^2)^(3/2)$

ora per trovare la carica totale nel disco di raggio $D/2$ e contro O calcololo il flusso di $E_y hat(n)$ lungo una superficie chiusa cilindrica e applico il teorema di Gauss:
calcolo il flusso sulla faccia con normale diretta come l'asse y, $phi(E)_S = int_0^(2 pi) int_0^(D/2)- E_y Rd theta dR = q/(2 pi epsilon_0) * D int_0^(2 pi) int_0^(D/2) R/(D^2 + x^2 + y^2)^(3/2) d theta dR$ poiche $z=Rcos theta$ e $x=Rsin theta$ si riduce a$phi(E) = q/(2 pi epsilon_0) * D int_0^(2 pi) int_0^(D/2) R/(D^2 + R^2)^(3/2) d theta dR = (q D)/(epsilon_0) * 1/sqrt(D^2 + D^2/4) = -2q/(sqrt(5) epsilon_0)$

ho $phi(E) = 2 * phi(E)_S = Q/epsilon_0 $ cioè $Q = -q4/sqrt(5)$

cosa sbaglio?[/code]

[Sk_Anonymous]

Prova la seguente risorsa: http://www3.unifi.it/clfisi/upload/sub/ ... olo-05.pdf

[cyd1]

grazie speculor,

lui praticamente arriva dove sono arrivato io, solo che io ho raddoppiato il flusso e non ho calcolato il termine dell'integrale relativo ad R=0 e il mio risultato viene il doppio del suo.
morale non tornava perchè non avevo calcolato $1/sqrt(D^2 + rho^2)$ per $rho=0$...