Esercizio Elettromagnetismo
Ciao ragazzi ! sto cercando di risolvere questo problema sull'elettromagnetismo:
All’interno di un condensatore piano con armature circolari di raggio 95 cm è presente un sottilissimo filo conduttore rettilineo che collega i centri delle due armature. Al condensatore viene applicata una tensione che cresce con la legge V(t)=kt con k=0,2 V/s. La capacità del condensatore è 25 nF mentre la resistenza del filo è 31Ω. In un certo istante, il filo viene tolto, mentre la tensione continua a crescere di 0,2V/s.
- Dopo quanto tempo la corrente che attraversa il filo diventa uguale alla cor-rente di spostamento che attraversa il condensatore?
- All’interno del condensatore esiste un campo magnetico. Spiega perché.
- Determina l'intensità di tale campo magnetico in funzione della distanza r dall'asse delle armature.
Allora, io ho risposto alle prime due domande, ma non riesco a fare la terza.... ho pensato che bisogna applicare Biot-Savart ma non so...
Il risultato del libro è il seguente:
$ B(r) = 1/2 mu_0epsilon_0r (DeltaE)/(Deltat) $
Grazie per la risposta...
All’interno di un condensatore piano con armature circolari di raggio 95 cm è presente un sottilissimo filo conduttore rettilineo che collega i centri delle due armature. Al condensatore viene applicata una tensione che cresce con la legge V(t)=kt con k=0,2 V/s. La capacità del condensatore è 25 nF mentre la resistenza del filo è 31Ω. In un certo istante, il filo viene tolto, mentre la tensione continua a crescere di 0,2V/s.
- Dopo quanto tempo la corrente che attraversa il filo diventa uguale alla cor-rente di spostamento che attraversa il condensatore?
- All’interno del condensatore esiste un campo magnetico. Spiega perché.
- Determina l'intensità di tale campo magnetico in funzione della distanza r dall'asse delle armature.
Allora, io ho risposto alle prime due domande, ma non riesco a fare la terza.... ho pensato che bisogna applicare Biot-Savart ma non so...
Il risultato del libro è il seguente:
$ B(r) = 1/2 mu_0epsilon_0r (DeltaE)/(Deltat) $
Grazie per la risposta...
Risposte
Se hai ottenuto la corrente di spostamento $i(t)$ (che mi parrebbe costante) poi basta applicare la relazione di ampere maxwell mi pare si chiami. Comunque devi tener conto appunto del contributo di $\epsilon_0 (dE)/(dt)$ ovvero $\oint B*dl=\mu_0\int_S (J+\epsilon_0 (dE)/(dt))* dS $
Ma appunto se la corrente di spostamento la conosci ed è costante (e integrando su una circonferenza parallela alle armature) trovi
$2\pirB=\mu_0 i$ e quindi $B=1/(2\pir)\mu_0 i$ .
Quel risultato indicato dal libro con i rapporti finiti non so mi puzza un po'. Ma a volte inciampo su questi problemi con pezzi di circuiti, li ho sempre avuti allergici, magari vediamo se qualcuno più ferrato ci dà conferma.
Ma appunto se la corrente di spostamento la conosci ed è costante (e integrando su una circonferenza parallela alle armature) trovi
$2\pirB=\mu_0 i$ e quindi $B=1/(2\pir)\mu_0 i$ .
Quel risultato indicato dal libro con i rapporti finiti non so mi puzza un po'. Ma a volte inciampo su questi problemi con pezzi di circuiti, li ho sempre avuti allergici, magari vediamo se qualcuno più ferrato ci dà conferma.
Quello che hai trovato tu è l'intensità del campo magnetico $ B(t) $ poichè $ i_s $ dipende anch'essa da t...
Non so che dire... lì chiede esplicitamente $ B(r) $
Non so che dire... lì chiede esplicitamente $ B(r) $
Quello che ho trovato io è $B(r,t)$, la vedi la r? Se poi, come ho trovato da un calcolo veloce, la corrente di spostamento è costante è solo $B(r)$.
Cioè non ha senso quello che hai detto a prescindere, che significherebbe che esistono due campi magnetici diversi?
Cioè non ha senso quello che hai detto a prescindere, che significherebbe che esistono due campi magnetici diversi?
ok ma allora perchè il libro dà quella soluzione ? poi tra l'altro per come la scrive lui ci sono dei termini al numeratore, che noi invece abbiamo al denominatore
Questo sarebbe da chiedere a chi ha scritto il libro. Vediamo cosa ne pensa anche qualche altro, ma non mi pare sia complicata la configurazione.
Per il campo magnetico relativo al raggio $r$, per \(r\lt 0.95 \ \text{m}\), della corrente di spostamento deve essere considerata solo la quota parte [nota]E considerarla integralmente solo per raggi superiori.[/nota] interna alla circonferenza di raggio $r$.
Come dicevo ieri, in un messaggio ormai cancellato: non capisco l’uso di quel rapporto incrementale, sarei curioso di sapere a cosa si riferisce quel “certo istante” nel quale il filo viene interrotto e il perché quel risultato non venga espresso in funzione dei dati iniziali.
Per la corrente di spostamento complessiva non serve poi nessun integrale, visto che sarà per forza pari a quella di conduzione associata al condensatore privo del filo interno. Avremo perciò
$i_s=i_c=\frac {\text{d}q}{\text{d}t}=k\ C$
Come dicevo ieri, in un messaggio ormai cancellato: non capisco l’uso di quel rapporto incrementale, sarei curioso di sapere a cosa si riferisce quel “certo istante” nel quale il filo viene interrotto e il perché quel risultato non venga espresso in funzione dei dati iniziali.
Per la corrente di spostamento complessiva non serve poi nessun integrale, visto che sarà per forza pari a quella di conduzione associata al condensatore privo del filo interno. Avremo perciò
$i_s=i_c=\frac {\text{d}q}{\text{d}t}=k\ C$
Ok ma come faccio io a rispondere alla tua domanda? XD
Bisognerebbe chiedere a chi ha scritto il testo..
ma piuttosto, perchè ti preoccupa quel "certo istante" ? cambierebbe qualcosa se si conoscesse t ?
Bisognerebbe chiedere a chi ha scritto il testo..
ma piuttosto, perchè ti preoccupa quel "certo istante" ? cambierebbe qualcosa se si conoscesse t ?
"fede16":
Ok ma come faccio io a rispondere alla tua domanda?
A quale domanda?
... perchè ti preoccupa quel "certo istante" ? cambierebbe qualcosa se si conoscesse t ?
Perchè se il conduttore venisse rimosso a fine problema le cose cambierebbero, non credi?
E' intuitivo pensare che venga rimosso relativamente all'ultima richiesta, ma il testo avrebbe dovuto specificarlo.
Ad ogni modo, hai capito ora come rispondere all'ultima domanda?
"RenzoDF":
$i_s=i_c=\frac {\text{d}q}{\text{d}t}=k\ C$
Sì, mi ritrovo, per questo dicevo che era costante.
"RenzoDF":
Per il campo magnetico relativo al raggio $r$, per \(r\lt 0.95 \ \text{m}\), della corrente di spostamento deve essere considerata solo la quota parte [nota]E considerarla integralmente solo per raggi superiori.interna alla circonferenza di raggio $r$.
Hai ragione, nel ricavare la corrente di spostamento avevo implicitamente moltiplicato e diviso per l'area dell'armatura per esplicitare la capacità ma così effettivamente il risultato vale solo per circonferenze del raggio dell'armatura o superiore.
Guarda, sarà sincero, purtroppo no... adesso ho un po' di confusione con quell'istante di tempo che dici..
"fede16":
Guarda, sarà sincero, purtroppo no... adesso ho un po' di confusione con quell'istante di tempo che dici..
Lasciamo perdere l'istante, è sottinteso che il testo immagina di rimuovere il filo in relazione all'ultima o alle ultime due richieste del problema. (E' quello il testo originale? ... virgole comprese?)
Quello che ti chiedo è: sapresti determinare B(r) con filo rimosso, applicando quello che ti ho suggerito? , ... ovvero che devi considerare solo la frazione di corrente di spostamento interna alla circonferenza di raggio $r$ (o attraversante una superficie che la ha come bordo)?
Due sono le strade possibili:
i) la prima andando a considerare che una salita lineare della tensione nel tempo porta ad una salita lineare anche del campo elettrico nel tempo e quindi ad una sua derivata costante che ti permette di determinare il suo flusso attraverso la superficie circolare sottesa al generico raggio $r$, via semplice prodotto con l'area del generico cerchio di raggio $r$
$i_s(r)=\epsilon_0 \frac {\text{d}\Phi_E}{\text{d}t}=\epsilon_0 \pi r^2 \frac {\text{d}E}{\text{d}t}$
ii) la seconda, quella che passa dalla semplice relazione ricavata in precedenza
$i_s(r)=i_s(R) \frac {\pi r^2}{\pi R^2}=k C \frac { r^2}{ R^2}$
e da queste la $B(r)$, che ovviamente dovrà essere distinta sia per $r\le R$, sia per $r\ge R$.
Io, preferisco la seconda, visto che è funzione dei valori dati, il tuo testo preferisce invece la prima, ma sono ovviamente equivalenti.
i) la prima andando a considerare che una salita lineare della tensione nel tempo porta ad una salita lineare anche del campo elettrico nel tempo e quindi ad una sua derivata costante che ti permette di determinare il suo flusso attraverso la superficie circolare sottesa al generico raggio $r$, via semplice prodotto con l'area del generico cerchio di raggio $r$
$i_s(r)=\epsilon_0 \frac {\text{d}\Phi_E}{\text{d}t}=\epsilon_0 \pi r^2 \frac {\text{d}E}{\text{d}t}$
ii) la seconda, quella che passa dalla semplice relazione ricavata in precedenza
$i_s(r)=i_s(R) \frac {\pi r^2}{\pi R^2}=k C \frac { r^2}{ R^2}$
e da queste la $B(r)$, che ovviamente dovrà essere distinta sia per $r\le R$, sia per $r\ge R$.
Io, preferisco la seconda, visto che è funzione dei valori dati, il tuo testo preferisce invece la prima, ma sono ovviamente equivalenti.
Ah ok... considerando ora, per Biot-Savart che :
$ B = (mu_0i_s)/(2pir) $
Posso dire che
$ B(r) = (mu_0i_s)/(2pir)= (mu_0 epsi_0r^2)/(2pir)(dE)/(dt) $
applico le dovute semplificazioni e viene, giusto come ho fatto?
$ B = (mu_0i_s)/(2pir) $
Posso dire che
$ B(r) = (mu_0i_s)/(2pir)= (mu_0 epsi_0r^2)/(2pir)(dE)/(dt) $
applico le dovute semplificazioni e viene, giusto come ho fatto?
(... ma, occhio al $\pi$)Prova comunque anche l'altra "strada".
Però mi devi scusare... ma io credo proprio di non aver capito il tuo dubbio... sarà che forse sono un po' stanco, ma la mia domanda è: Che cosa non ti quadra in questo esercizio? (escluso il fatto dell'istante di tempo)
Ah già... ho dimenticato un $ pi $ xD
Non mi quadra per quali domande sia da considerare il filo interrotto e non mi quadra neppure il perché lasciare indicata nel risultato la derivata del campo elettrico quando questa è esprimibile attraverso i dati del problema.
... Hai provato la seconda strada? ... a che risultato ti porta?
... Hai provato la seconda strada? ... a che risultato ti porta?
Non torna perché ci sono i piccoli che giocano a fare i grandi. 
In questa versione i risultati sono esplicitati.
https://www.istitutobruni.com/wp-content/uploads/2019/02/Fis-V-2019.01.19-soluzione.pdf
In questa versione i risultati sono esplicitati.
https://www.istitutobruni.com/wp-content/uploads/2019/02/Fis-V-2019.01.19-soluzione.pdf
"Vidocq":
Non torna perché ci sono i piccoli che giocano a fare i grandi.
In che senso?
Dovrebbe essere un esercizio di scuola superiore.
Probabilmente i ragazzi non sono forti con le derivate... che ne so io
Probabilmente i ragazzi non sono forti con le derivate... che ne so io
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