Esercizio Due piccole sfere conduttrici

[Polis2]

Buon giorno .

Sto provando a risolvere questo esercizio pero' essendo un argomento nuovo, sto incontrando un po' di diffiolta':


Due piccole sfere conduttrici (Fìgura 1) di ugual raggio R, cariche, poste
con i centri alla distanza s, si respingono con una forza di modulo F. Se le due
sfere sono portate a contatto e poi rimesse nelle precedenti posizioni, la forza di
repulsione risulta avere un modulo pari a k2F. (1) Determinare le cariche iniziali
e ¯nali di ciascuna sfera e i loro potenziali; (2) determinare, nella situazione ¯-
nale, il valore del potenziale e del campo elettrico in un punto generico della retta
congiungente i centri A;B delle due sfere e poi, in particolare, nel punto medio
del segmento AB; (c) caso numerico: s = 6 cm; R = 0:1 cm; k = 1:5; F = 1 N.


Ho ragionato in questo modo:

Prima del contatto le due sfere agiscono attraverso la forza elettrica F1 , data :

$ F1 = k * ( Q * q ) / s^2 $

Dopo il contatto , la carica su entrambe le sfere e'

$ ( Q + q ) / 2 $

in quanto si ripartisce in parti uuali essendo le sfsere identiche , per cui l'intensita' della forza di repulsione F2 e' :


$ F2 = K * ( (Q + q) / 2) ^2 / s^2 $

A questo punto inizio ad avere dubbi . E' giusto secondo voi ugualiare$ F2 $ a $ K^2F $ in questo modo ?


$ K * ((Q + q) / 2) ^2 / s^2 = K^2*F $

Potete dirmi se sto' procedendo bene . Non chiedo di risolvermi il problema ma soltanto qualche indicazione per andare avanti . Grazie
In allegato c'e' il disegno delle due sferette .

[hamilton2]

non confondere la k nell'interazione di Coulomb ($\frac{1}{4\pi \epsilon_0}$) con la k data dal problema (che è un fattore adimensionale.)

Scrivi $k_{e}$ e $K$ e riprova, tutto il resto è corretto.

[Polis2]

Adesso che ho le idee un po' piu' chiare sono arrivato a queso ragionamento pero' non sono riuscito a trovare il valore di q1 e q2 :

Se le due sfere si respingono vuol dire che hanno cariche di uguale segno , quindi suppongo siano cariche positivamnete .
La forza di repulsione iniziale Fi vale :


$ Fi = Ko ( q1 *q2 )/ s^2 $

Quando le due sfere sono poste a contatto , avendo le sfere ugual raggio , avranno ciascuna la carica :

$ qf = ( q1+q2) / 2 $

quindi riportate a distanza s

$ Ff = Ko( (qf)/s )^2 $
ottengo dalla prima


$ q1q2=(Fi*s^2)/(Ko) $

e dalla seconda

$ qf^2=(Ff*s^2)/(Ko) $

Conoscendo la somma e il prodotto delle due cariche dovrei risolvere una eauazione di 2° grado per risalire a q1 e q2 .

Pero' non ci riesco .

[Polis2]

mi basterebbe sapere come impostare l'equazione per ricavarmi l valore di q1 e q2 .

[chiaraotta1]

Se
$F_2=k^2F$,
$q_(f)=(q_1+q_2)/2$,
$q_1q_2=(Fs^2)/K_0$,
$q_(f)^2=(F_2s^2)/K_0$,
allora puoi sostituire $F_2=k^2F$ e $q_(f)=(q_1+q_2)/2$ nell'ultima e poi dividere fra di loro le ultime due:
$(q_1q_2)/((q_1+q_2)/2)^2=((F s^2)/K_0)/((k^2F s^2)/K_0)$
$4k^2q_1q_2=(q_1+q_2)^2$
$2ksqrt(q_1q_2)=q_1+q_2$.
Se inoltre è noto $F$ ed è $q_1q_2=(Fs^2)/K_0$, allora si può sostituire $q_1q_2$ e si ottiene
$q_1+q_2=2ks sqrt(F/K_0)$,
che si combina con
$q_1q_2=(Fs^2)/K_0$.
Così si arriva a un sistema simmetrico nelle due incognite $q_1$ e $q_2$.

[Polis2]

Grazie chiarotta pero' a questo punto ci sono arrivato anche io con qualche errore e in un modo un po' diverso .
pero' rimane sempre il problema come ricavarmi q1 e q2


$ { ( q1+q2 = 2ks rad ((F)/(ko) )),( q1q2= (Fs^2)/ (ko) ):} $

isolando q2 , risulta :

$ q2= (2ks sqrt((f)/(ko))
) / (2) +- sqrt((4ks)^2*(f)/(ko)- (4fs^2)/(ko))/((2)) $

Tralascio tutti i passaggi per motivi di diffolta' a riportarli sul post pero' non
riesco a giungere ad una conclusione q1 e q2 non vengono fuori .

[chiaraotta1]

Risolvendo il sistema
${(q_1+q_2=2ks sqrt(F/K_0)),(q_1q_2=(Fs^2)/K_0):}$
trovo le soluzioni
$q_(1,2)=s*sqrt(F/K_0)*(k+-sqrt(k^2-1))$.

Ponendo
$F=1 \ N$, $k=1.5$, $s=6 \ cm$, $K_0=1/(4 pi epsilon_0)=8.99*10^9 N*m^2*C^-2$
allora le soluzioni risulterebbero
$q_1= 1.66*10^-6 \ C$
$q_2= 2.42*10^-7 \ C$.

Puoi dire da dove hai preso il problema e quali sarebbero i risultati?

[Polis2]

Grazie .

Chiarotta posso dire a questo punto di non averci creduto fino in fondo .

Il mio risultato era molto simile al tuo .

Sono una serie di esercizi di preparazione universitaria pero' non sono riportati i risultati .