Esercizio dubbio sul lavoro
L'esercizio che ho fatto è il seguente:
Un ragazzo tira una cassa di $50 kg$ con una corda che forma un angolo di $30°$ con l'orizzontale. Il coefficiente d'attrito statico tra cassa e pavimento è $\mu_s = 0.3$ e quello dinamico è $\mu_d = 0.2$. Calcolare il modulo della massima forza $F_max$ che il ragazzo può esercitare senza che la cassa si metta in moto. Se il ragazzo esercita una forza di modulo $F_1 = 1.2 * F_max$ calcolare l'accelerazione della cassa e il lavoro fatto da $F_1$ in $10 s$.
Ho risolto in questo modo:
$F = (F * cos\theta ; F * sin\theta)$
$F_(max) = (- F_(max) ; 0)$
$N = (0 ; N)$
$P = (0 ; -P)$
Quindi, mettendo a sistema e sapendo che la cassa deve rimanere ferma(quindi la risultante delle forze deve essere nulla):
$\{(F * cos\theta - F_(max) = 0),(F * sin\theta + N - P = 0):}$
Poi, sapendo che $F_(max) = \mu_s * N$, si ha:
$\{(F * cos\theta - \mu_s * N = 0),(F * sin\theta + N - P = 0):}$
$\{(F * cos\theta - \mu_s * N = 0),(N = P - F * sin\theta):}$
$\{(F * cos\theta - \mu_s * P - \mu_s * F * sin\theta = 0),(N = P - F * sin\theta):}$
$\{(F * (cos\theta - \mu_s * sin\theta) = \mu_s * P ),(N = P - F * sin\theta):}$
$\{(F = (\mu_s * P) / (cos\theta - \mu_s * sin\theta) = 204.4 N),(N = P - F * sin\theta):}$
$\{(F = 204.4 N),(N = 388.3 N):}$
A questo punto la $F_(max) = 0.3 * 388.3 = 116.5 N$ e quindi la forza esercitata dal ragazzo deve essere minore o uguale a questa forza.
Ora il problema chiede nel caso la forza esercitata dal ragazzo sia $F_1 = 1.2 * F_max$. Quindi ora la cassa è in movimento.
L'accelerazione è quindi:
$F_1 * cos\theta - F_d = m * a_x$
$F_1 * sin\theta + N - P = m * a_y$
$a_x = 0.88 m/s^2$
$a_y = -0.77 m/s^2$
A me sembra un po' strano che venga questa accelerazione negativa sull'asse delle ordinate.
Comunque il modulo dell'accelerazione verrebbe $a = sqrt(a_x^2 + a_y^2) = 1.17 m/s^2$.
Per trovare il lavoro fatto dalla forza $F_1$ in $10 s$ bisogna trovare lo spostamente effettuato dalla cassa in quei $10 s$.
Perciò, per sapere $dx$ basta fare:
$a_x = dv / dt$
$dv_x = a_x * dt = 0.88 * 10 = 8.8 m/s$
$v_x = dx / dt$
$dx = v_x * dt = 8.8 * 10 = 88 m$
Quindi:
$L_1 = F_1 * dx = 139.788 * 88 = 12301.344 J$
E' normale che venga così grande il lavoro?
Un ragazzo tira una cassa di $50 kg$ con una corda che forma un angolo di $30°$ con l'orizzontale. Il coefficiente d'attrito statico tra cassa e pavimento è $\mu_s = 0.3$ e quello dinamico è $\mu_d = 0.2$. Calcolare il modulo della massima forza $F_max$ che il ragazzo può esercitare senza che la cassa si metta in moto. Se il ragazzo esercita una forza di modulo $F_1 = 1.2 * F_max$ calcolare l'accelerazione della cassa e il lavoro fatto da $F_1$ in $10 s$.
Ho risolto in questo modo:
$F = (F * cos\theta ; F * sin\theta)$
$F_(max) = (- F_(max) ; 0)$
$N = (0 ; N)$
$P = (0 ; -P)$
Quindi, mettendo a sistema e sapendo che la cassa deve rimanere ferma(quindi la risultante delle forze deve essere nulla):
$\{(F * cos\theta - F_(max) = 0),(F * sin\theta + N - P = 0):}$
Poi, sapendo che $F_(max) = \mu_s * N$, si ha:
$\{(F * cos\theta - \mu_s * N = 0),(F * sin\theta + N - P = 0):}$
$\{(F * cos\theta - \mu_s * N = 0),(N = P - F * sin\theta):}$
$\{(F * cos\theta - \mu_s * P - \mu_s * F * sin\theta = 0),(N = P - F * sin\theta):}$
$\{(F * (cos\theta - \mu_s * sin\theta) = \mu_s * P ),(N = P - F * sin\theta):}$
$\{(F = (\mu_s * P) / (cos\theta - \mu_s * sin\theta) = 204.4 N),(N = P - F * sin\theta):}$
$\{(F = 204.4 N),(N = 388.3 N):}$
A questo punto la $F_(max) = 0.3 * 388.3 = 116.5 N$ e quindi la forza esercitata dal ragazzo deve essere minore o uguale a questa forza.
Ora il problema chiede nel caso la forza esercitata dal ragazzo sia $F_1 = 1.2 * F_max$. Quindi ora la cassa è in movimento.
L'accelerazione è quindi:
$F_1 * cos\theta - F_d = m * a_x$
$F_1 * sin\theta + N - P = m * a_y$
$a_x = 0.88 m/s^2$
$a_y = -0.77 m/s^2$
A me sembra un po' strano che venga questa accelerazione negativa sull'asse delle ordinate.
Comunque il modulo dell'accelerazione verrebbe $a = sqrt(a_x^2 + a_y^2) = 1.17 m/s^2$.
Per trovare il lavoro fatto dalla forza $F_1$ in $10 s$ bisogna trovare lo spostamente effettuato dalla cassa in quei $10 s$.
Perciò, per sapere $dx$ basta fare:
$a_x = dv / dt$
$dv_x = a_x * dt = 0.88 * 10 = 8.8 m/s$
$v_x = dx / dt$
$dx = v_x * dt = 8.8 * 10 = 88 m$
Quindi:
$L_1 = F_1 * dx = 139.788 * 88 = 12301.344 J$
E' normale che venga così grande il lavoro?
Risposte
A me sembra un po' strano che venga questa accelerazione negativa sull'asse delle ordinate.
Anche a me !
Direi che devi imporre che la cassa rimanga aderente al piano, cioè l' accelerazione lungo y sia zero.
Ma anche se l'accelerazione lungo l'asse y è 0, se calcolo la seconda equazione, mi viene $-32.306 = 0$ cosa impossibile.
Forse ho sbagliato a calcolarmi la $F_(max)$? E poi la $F$ che mi sono calcolato nel sistema è la forza che realmente il ragazzo applica alla cassa, giusto?
EDIT: Mi sono appena accorto che mi ero dimenticato che il lavoro è $L_1 = |F_1| * |dx| * cos\theta$. Cioè $L_1 = 10653.2764 J$
Forse ho sbagliato a calcolarmi la $F_(max)$? E poi la $F$ che mi sono calcolato nel sistema è la forza che realmente il ragazzo applica alla cassa, giusto?
EDIT: Mi sono appena accorto che mi ero dimenticato che il lavoro è $L_1 = |F_1| * |dx| * cos\theta$. Cioè $L_1 = 10653.2764 J$
Non è corretto il calcolo della forza massima $F_m$ che si può applicare senza che la cassa si muova. Non ho capito come hai ragionato . Ma in ogni caso quando il ragazzo tira la forza è obliqua, quindi anche la forza massima richiesta lo sarà .
Parto da una forza generica $F$ .
La forza applicata generica $F$ forma un angolo di $30°$ col piano. La componente parallela al piano è $Fcos\theta = 0.866F$. Tale forza deve risultare minore o al limite uguale a $\mu_sN$ . Percio deve essere, al limite, $F=F_m$ e quindi :
$0.866F_m = \mu_sN$ .
LA componente normale della reazione del piano è data , per una forza generica $F$ , da : $N = mg - Fsen\theta = mg-0.5F$ .
PErciò, nella condizione limite deve essere : $0.866F_m = \mu_s(mg - 0.5F_m)$
da cui : $ (0.866 + 0.3*0.5)F_m = 0.3* 50* 9.81 \rightarrow 1.016F_m = 147.15N \rightarrow F_m = 144.8N$
Se ci pensi, ti rendi conto che la componente $Fsen\theta$ del tiro della fune alleggerisce la reazione del piano alla forza peso.
E questo discorso vale anche per la seconda parte. Avendo trovato $F_m$ , non ti resta che moltiplicarla per $1.2$ , scomporla nelle due direzioni, e determinare la reazione normale del piano e quindi la forza di attrito dinamico; questa si oppone al moto di trascinamento, quindi si sottrae alla forza motrice.
E quindi trovi l'accelerazione.
Dopo di che, è un moto unif. accelerato, in cui c'è uno spazio percorso in 10s , non è difficile trovarlo.
Lavoro = forza x spostamento ; il problema ti chiede di trovare il lavoro della sola forza motrice , non il lavoro totale delle forze agenti.
Parto da una forza generica $F$ .
La forza applicata generica $F$ forma un angolo di $30°$ col piano. La componente parallela al piano è $Fcos\theta = 0.866F$. Tale forza deve risultare minore o al limite uguale a $\mu_sN$ . Percio deve essere, al limite, $F=F_m$ e quindi :
$0.866F_m = \mu_sN$ .
LA componente normale della reazione del piano è data , per una forza generica $F$ , da : $N = mg - Fsen\theta = mg-0.5F$ .
PErciò, nella condizione limite deve essere : $0.866F_m = \mu_s(mg - 0.5F_m)$
da cui : $ (0.866 + 0.3*0.5)F_m = 0.3* 50* 9.81 \rightarrow 1.016F_m = 147.15N \rightarrow F_m = 144.8N$
Se ci pensi, ti rendi conto che la componente $Fsen\theta$ del tiro della fune alleggerisce la reazione del piano alla forza peso.
E questo discorso vale anche per la seconda parte. Avendo trovato $F_m$ , non ti resta che moltiplicarla per $1.2$ , scomporla nelle due direzioni, e determinare la reazione normale del piano e quindi la forza di attrito dinamico; questa si oppone al moto di trascinamento, quindi si sottrae alla forza motrice.
E quindi trovi l'accelerazione.
Dopo di che, è un moto unif. accelerato, in cui c'è uno spazio percorso in 10s , non è difficile trovarlo.
Lavoro = forza x spostamento ; il problema ti chiede di trovare il lavoro della sola forza motrice , non il lavoro totale delle forze agenti.
Scusa per il ritardo della risposta.
Il procedimento che ho fatto io ed il tuo a me sembrano uguali.
Insomma, anche io ad un certo punto mi trovo $(cos30° + \mu_s * sin30°)F = \mu_s * m * g$ e mi sono appena accorto di un segno sbagliato nel mio procedimento(invece di fare $(cos30° + \mu_s * sin30°)$ ho fatto $(cos30° - \mu_s * sin30°)$. Per questo poi la F e la N mi vengono sbagliate.
Per quanto riguarda il calcolo dell'accelerazione, in effetti è quella della forza risultate sull'asse $x$ e non di $F_m * 1.2$, giusto?
In questo modo dovrei procedere con:
$F_1 = F_m * 1.2 = 173.76N$
$N = m * g - F_1 sin30° = 403.62 N$
$F_d = \mu_d * N = 80.724 N$
La forza risultante sarebbe:
$F = F_1 cos30° - F_d = 69.756N$
E quindi l'accelerazione $a_x$ sarebbe:
$a_x = F / m = 1.4 m/s^2$
$dx = 1/2 * a_x * t^2 = 70 m$
Il lavoro sarebbe quindi quello svolto da $F_1$, la quale è la forza motrice, cioè quella fatta dal ragazzo, quindi:
$L = F_1 * dx = 12163.2 J$
Giusto?
Il procedimento che ho fatto io ed il tuo a me sembrano uguali.
Insomma, anche io ad un certo punto mi trovo $(cos30° + \mu_s * sin30°)F = \mu_s * m * g$ e mi sono appena accorto di un segno sbagliato nel mio procedimento(invece di fare $(cos30° + \mu_s * sin30°)$ ho fatto $(cos30° - \mu_s * sin30°)$. Per questo poi la F e la N mi vengono sbagliate.
Per quanto riguarda il calcolo dell'accelerazione, in effetti è quella della forza risultate sull'asse $x$ e non di $F_m * 1.2$, giusto?
In questo modo dovrei procedere con:
$F_1 = F_m * 1.2 = 173.76N$
$N = m * g - F_1 sin30° = 403.62 N$
$F_d = \mu_d * N = 80.724 N$
La forza risultante sarebbe:
$F = F_1 cos30° - F_d = 69.756N$
E quindi l'accelerazione $a_x$ sarebbe:
$a_x = F / m = 1.4 m/s^2$
$dx = 1/2 * a_x * t^2 = 70 m$
Il lavoro sarebbe quindi quello svolto da $F_1$, la quale è la forza motrice, cioè quella fatta dal ragazzo, quindi:
$L = F_1 * dx = 12163.2 J$
Giusto?
Adesso ho buttato via i miei calcoli, comunque mi sembra di ricordare che il valore di $F_1$ e il valore dell'accelerazione sono giusti . Lo spostamento quindi è $70 m$ .
Per il lavoro, devi però considerare la componente parallela al piano della forza esercitata dal ragazzo.
Per il lavoro, devi però considerare la componente parallela al piano della forza esercitata dal ragazzo.
Scusami! Recentemente ho avuto problemi con il sito! Diceva sempre di aspettare 2 ore...
Comunque sì! Devo moltiplicarlo per il $cos30°$. Grazie!
Comunque sì! Devo moltiplicarlo per il $cos30°$. Grazie!
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