Esercizio disco rotante con forza frenante
Salve a tutti,
volevo chiedervi aiuto con questo esercizio in cui mi sono inbattuto.
"un disco omogeneo di massa $ M $ = 4kg e raggio $ R $ = 0.5m ruota a velocità angolare $ omega0 $ =20 rad/s attorno ad un asse fisso passante per il centro e perpendicolare al disco, in senso orario. Ad un certo istante, tangenzialmente al bordo e perpendicolarmente all'asse di rotazione, viene applicata una forza frenante $ F $ = 4N per un tempo $ t $ = 3s. Calcolare:
1) velocità angolare finale del disco
2) lavoro compiuto per frenare il disco
3) numero di giri compiuti durante il tempo in cui è presente la forza frenante.
Io ho pensato di impostare un sistema ponendo $ Sigma tau =Icm*alphaf $ e $ Sigma F=ma $ , però così mi ritrovo con 3 incognite ( $ alpha $ , $ alphaf $ e $ a $ ) e sebbene le accelerazioni angolari potrei ricavarle usando la velocità angolare ( $ omega(t)=omega0-alphat $ in questo caso specifico) e poi sostituendo, non ho idea di come risolvere l'accelerazione $ a $. Avevo anche pensato di impostare la somma delle forze $ =m*alpha $ ma penso che sia errato.
Per il lavoro, credo io debba andarmi a calcolare la variazione di energia cinetica, ma non saprei come impostare l'equazione/sistema.
Per il numero di giri, una volta che ho la velocità angolare finale del primo punto in teoria dovrei semplicemente dividerla per $ 2pi $ e ottengo i giri giusto?
Spero possiate aiutarmi e se volete esplicitare i passaggi sentitevi liberi di farlo, mi aiuta a capire come impostare equazioni e sistemi visto che con i momenti e le conservazioni devo ancora capire del tutto come funziona ^^
volevo chiedervi aiuto con questo esercizio in cui mi sono inbattuto.
"un disco omogeneo di massa $ M $ = 4kg e raggio $ R $ = 0.5m ruota a velocità angolare $ omega0 $ =20 rad/s attorno ad un asse fisso passante per il centro e perpendicolare al disco, in senso orario. Ad un certo istante, tangenzialmente al bordo e perpendicolarmente all'asse di rotazione, viene applicata una forza frenante $ F $ = 4N per un tempo $ t $ = 3s. Calcolare:
1) velocità angolare finale del disco
2) lavoro compiuto per frenare il disco
3) numero di giri compiuti durante il tempo in cui è presente la forza frenante.
Io ho pensato di impostare un sistema ponendo $ Sigma tau =Icm*alphaf $ e $ Sigma F=ma $ , però così mi ritrovo con 3 incognite ( $ alpha $ , $ alphaf $ e $ a $ ) e sebbene le accelerazioni angolari potrei ricavarle usando la velocità angolare ( $ omega(t)=omega0-alphat $ in questo caso specifico) e poi sostituendo, non ho idea di come risolvere l'accelerazione $ a $. Avevo anche pensato di impostare la somma delle forze $ =m*alpha $ ma penso che sia errato.
Per il lavoro, credo io debba andarmi a calcolare la variazione di energia cinetica, ma non saprei come impostare l'equazione/sistema.
Per il numero di giri, una volta che ho la velocità angolare finale del primo punto in teoria dovrei semplicemente dividerla per $ 2pi $ e ottengo i giri giusto?
Spero possiate aiutarmi e se volete esplicitare i passaggi sentitevi liberi di farlo, mi aiuta a capire come impostare equazioni e sistemi visto che con i momenti e le conservazioni devo ancora capire del tutto come funziona ^^
Risposte
Ciao, innanzitutto siccome il disco in questione ruota attorno ad un asse fisso si tratta di un problema di meccanica rotazionale e la relazione $F=ma$ (che riguarda i moti traslatori) non può essere utilizzata.
Applicando l'equazione fondamentale della meccanica rotazionale $\tau=I\alpha$ ottieni, sostituendo $I=1/2mr^2$ e $\tau=Fr$, $\alpha=(2F)/(mr)=-4s^-2$ (che dovresti considerare negativa perchè si oppone al verso del moto); di conseguenza con la prima legge oraria $\omega_f=\omega_0+\alphat=8s^-1$.
A questo punto il lavoro necessario per frenare il disco può essere ottenuto, come da te correttamente suggerito, dalla variazione di energia cinetica (rotazionale): $W=\DeltaE_(rot)=1/2I\omega_f^2-1/2I\omega_0^2=-84J$ è l'energia ceduta dal sistema, per determinare il lavoro compiuto dai freni basta cambiarne il segno.
Non è corretto invece il metodo che proponi per calcolare il numero di giri compiuti dal disco mentre viene frenato: se utilizzi come velocità angolare $\omega_f$ consideri il disco in moto circolare uniforme, mentre noi sappiamo che decelera.
Con la seconda legge oraria ottieni l'angolo spazzato durante la decelerazione $\theta=\omega_ot+1/2\alphat^2=42rad$ e quindi $42/(2\pi)$ giri.
Se hai dei dubbi o qualcosa non torna dimmi pure!
Applicando l'equazione fondamentale della meccanica rotazionale $\tau=I\alpha$ ottieni, sostituendo $I=1/2mr^2$ e $\tau=Fr$, $\alpha=(2F)/(mr)=-4s^-2$ (che dovresti considerare negativa perchè si oppone al verso del moto); di conseguenza con la prima legge oraria $\omega_f=\omega_0+\alphat=8s^-1$.
A questo punto il lavoro necessario per frenare il disco può essere ottenuto, come da te correttamente suggerito, dalla variazione di energia cinetica (rotazionale): $W=\DeltaE_(rot)=1/2I\omega_f^2-1/2I\omega_0^2=-84J$ è l'energia ceduta dal sistema, per determinare il lavoro compiuto dai freni basta cambiarne il segno.
Non è corretto invece il metodo che proponi per calcolare il numero di giri compiuti dal disco mentre viene frenato: se utilizzi come velocità angolare $\omega_f$ consideri il disco in moto circolare uniforme, mentre noi sappiamo che decelera.
Con la seconda legge oraria ottieni l'angolo spazzato durante la decelerazione $\theta=\omega_ot+1/2\alphat^2=42rad$ e quindi $42/(2\pi)$ giri.
Se hai dei dubbi o qualcosa non torna dimmi pure!
Grazie mille per la risposta e per l'aiuto
Piccola domanda sul primo punto: usando l'equazione della meccanica rotazione in questo caso prendiamo in considerazione solo il momento della forza frenante e lo uguagliamo a $ I*alpha $; il momento del disco che gira praticamente me lo da quindi il secondo membro grazie poi alla legge oraria, senza che devo andarlo a considerare nella somma dei momenti al primo membro giusto? Perchè io pensavo andasse considerato nella somma dei momenti insieme a quello della forza frenante; è per via del fatto che il disco gira e quindi ho solo il momento angolare?
Piccola domanda sul primo punto: usando l'equazione della meccanica rotazione in questo caso prendiamo in considerazione solo il momento della forza frenante e lo uguagliamo a $ I*alpha $; il momento del disco che gira praticamente me lo da quindi il secondo membro grazie poi alla legge oraria, senza che devo andarlo a considerare nella somma dei momenti al primo membro giusto? Perchè io pensavo andasse considerato nella somma dei momenti insieme a quello della forza frenante; è per via del fatto che il disco gira e quindi ho solo il momento angolare?
L'unico momento torcente $\tau$ ad agire sul disco è dato dalla forza frenante, il fatto che il disco abbia una certa velocità di rotazione fa poi sì che abbia anche associato un determinato momento angolare $L$ ma attenzione: si tratta di due grandezze diverse e quest'ultimo NON è coinvolto nella determinazione di effetti dinamici sul disco.
Di nulla, se hai altri problemi chiedi pure
Di nulla, se hai altri problemi chiedi pure
Grazie mille ancora per la precisazione
Purtroppo sto cercando di capire come funzionano entrambi i momenti sia meccanici che angolari, quindi ho ancora delle perplessità a volte.
Purtroppo sto cercando di capire come funzionano entrambi i momenti sia meccanici che angolari, quindi ho ancora delle perplessità a volte.
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